【世纪金榜】2016届高三文科数学一轮复习课件(人教A版)第三章 三角函数、解三角形3.6_图文

第六节 简单的三角恒等变换 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 2cos2α 2α 1 ? 2sin 2 ? 2 2sin2α α 2cos2 ? ?1 2 1-cos? ? 2 ? 1+cos? 2 ? 1 ? cos? 1+cos? 2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)辅助角公式: a 2 ? b2 asinx+bcosx=________sin(x+ φ), 其中sinφ= (2)tan α = 2 b a ?b 2 2 ,cosφ= a a ?b 2 2 . sinα 1 ? cosα ? 1 ? cosα sinα 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:整体代入法、数形结合法. (2)数学思想:转化化归,函数与方程. 【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)当α是第一象限角时, sin ? ? 1 ? cos ? . 2 2 (2)对任意角α, tan 2 ? ? 1 ? cos ? 都成立.( 2 1 ? cos ? ( ) ) (3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来 的.( ) (4)公式 asin x ? bcos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 中φ的取值与a,b的值有 关.( ) 【解析】(1)错误.α在第一象限时, ? 在第一或第三象限. 当 ? 在第一象限时, sin ? ? 1 ? cos ? ,当 ? 在第三象限时, 2 ? 1 ? cos ? sin ? ? . 2 2 2 2 2 2 (2)错误.此式子必须使tan ? 有意义且1+cosα≠0.即 ? ≠kπ+ ? 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). 2 2 2 (3)正确.由半角公式推导过程可知正确. (4)正确.由 cos ? ? 有关. 答案:(1)× (2)× a a ?b 2 2 ,sin ? ? b a ?b 2 2 , 可知φ的取值与a,b的值 (3)√ (4)√ 2.教材改编 链接教材 练一练 4 (1)(必修4P142 T4(2)改编)函数y=2cos2 x +1的最小正周期为 x 2 +1=cos 1 x+2, 【解析】因为y=2· 2 2 所以函数的最小正周期T= 2π =4π. 1 2 1 ? cos . 答案:4π (2)(必修4 P143B组T2改编)若sin80°=m,则用含m的式子表示 cos5°= . 【解析】由题意,得sin80°=cos10°=m, 又cos10°=2cos25°-1, 所以2cos25°-1=m,cos25°= 所以cos5°= 答案: 2 ? 2m 2 1? m , 2 1? m 2 ? 2m ? . 2 2 3.真题小试 感悟考题 试一试 3 2 (1)(2015·合肥模拟)已知cos α= 1 ,α∈(π,2π),则cos α 等于( A. ) 6 6 3 3 ????????B.- ????????C. ????????D.- 3 3 3 3 α 【解析】选B.因为cos α= 1 ,α∈(π,2π),所以 ∈ 2 3 1 1? 3=- 6 . ( π ,π),所以 cos α =- 1 ? cosα=- 2 2 2 3 2 (2)(2014·山东高考)函数y= 3 sin 2x+cos2x的最小正周期为____. 【解析】因为y= 3 sin 2x+cos2x= 3 sin 2x+ 1 cos 2x+ 1 =sin(2x+ 答案:π π 2π )+ 1 ,所以T= =π. 6 2 2 2 2 2 2 2 考点1 利用三角恒等变换化简与证明 【典例1】(1)(2015·枣庄模拟)化简:sin2α·sin2β+cos2α· cos2β- 1 cos2α·cos2β= 2 . θ?φ θ?φ sin . 2 2 (2)证明:cosθ-cosφ= ?2sin 【解题提示】(1)可以从统一角入手进行化简. (2)联想两角和与差的余弦公式,进行整体变换证明. 【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角) 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(2cos2α-1)· (2cos2β-1) =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- 1 (4cos2α·cos2β2 1 2 2cos2α-2cos2β+1) =sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β- 1 2 =sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β=sin2β+cos2β- 1 =1- 1 = 1 . 2 2 2 1 2 方法二(从“角”入手,单角→倍角) 原式= 1 ? cos 2α 1 ? cos 2β ? 1 ? cos 2α 1 ? cos 2β 2 2 2 2 - 1 cos2α·cos2β 2 = 1 (1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+ 1 (1+cos2α·cos2β+ 4 4 cos2α+cos2β)- 1 ·cos2α·cos2β 2 = 1. 2 答案: 1 2 (2)因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以两式相减,得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ, 令α+β=θ,α-β=φ, 则 α ? θ ? φ ,β ? θ ? φ , 2 2 所以cosθ-cosφ= ?2sin θ?φ θ?φ sin . 2 2 【一题多解】解答本例(1),(2),还有其他方法吗? 解答本题(1),还可以从统一名称和式子的形式的变化入手进行化简 . 方法一:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·co

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