湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


湖北省荆州中学 2015-2016 学年高二数学上学期期末考试试题 理
一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.下面哪组变量具有相关关系( A.出租车费与行驶的里程 C.人的身高与体重 ) B.房屋面积与房屋价格 D.铁的体积与质量

2.设一组数据的平均数是 2.8 , 方差是 3.6 , 若将这组数据中的每一个数据都加上 10 , 得到一组新数据, 则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A. 12.8 3.6 B. 2.8 13.6 C. 12.8

13.6 D. 13.6 12.8 3.“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) =0 的解”是“方程 f ( x, y ) =0 是曲线 C 的方程”的( )条
件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要

π 4. 已知命题 p : ? x∈(0, ),使得 cos x≥x, 则该命题的否定 是 ( ) .. 2 π A. ? x∈(0, ),使得 cos x>x 2 π C. ? x∈(0, ),使得 cos x<x 2 5.如图给出的 是计算 入的是 A. i ? 2013 C. i ? 2017 B. i ? 2015 D. i ? 2019 )
2 π ? x2 e 2π
2

π B. ? x∈(0, ),使得 cos x≥x 2 π D. ? x∈(0, ),使得 cos x<x 2

1 1 1 1 ? ? ?L ? 的值的程序框图,其中判断框内应填 2 4 6 2016

6.下列函数是正态分布密度函数的是( A . f ( x) ?

1 2 π? 1 2 π e2

e

( x?r ) 2?

2

B . f ( x) ?

f ( x) ?
C.

1 2 2 π

e

( x ?1)2 4

f ( x) ?
D.

x2

7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 且支出在[20,60)元的样本,其 频率分布直方图如图所示,根据此图估计学生 在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )

1

A.45

390 B. 9

400 C. 9

D.4 6 )

8.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查, 若每个路口 4 人, 则不同的分配方案共有 (
4 4 A. C12 C84 C4 4 4 B. 3C12 C84 C4 4 4 4 3 C. C12 C8 C4 A3

D.

4 4 C12 C84 C4 3 A3

9.有一个公用电话亭,在观察使用这个 电话的人的流量时,设在某一时刻,有 n 个人正在使用电话或

? 1 n ?( ) ? P(0) (1 ? n ? 5) 等待使用的概率为 P (n) ,且 P (n) 与时刻 t 无关,统计得到 P(n) ? ? 2 ,那么在 ? ?0 (n ? 6)
某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率 P (0) 的值是( A. )

32 33

B.1

C.

32 63

D.

16 33

10.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,?1) 的弦,恰好被点 P 平分,则这条弦所在的直线方程是() 6 5
B. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 C. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 D. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

A. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

11.设 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ???? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ???? ? an xn , 当

a0 ? a1 ? a2 ???? ? an ? 254 时,n 等于(
A. 5 B.6

) C.7 D.8

12.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, O 是坐标原 81 25
) 4 C. 8 D.

点,则线段 ON 的长为( A. 2 B.

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 由其散点图知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归方程是 y=-0.7x+a,则 a=________. 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

?1 1? 14.阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间? , ?内,则输入的实数 x 的取值范围是____. ?4 2?
15. 若在区间 [-5,5] 内任取一个实数 a, 则使直线 x+y+a=0 与圆 (x-1) +(y+2) =2 有公共点的概率
2
2 2





16. 甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙 同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以2后再减去 12;如果 出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以2后再加上 12,这样就可得到一个新的实数 a2 .对实 数 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a3 ,当 a3 ? a1 时,甲获胜,否则乙获胜.若甲 胜的概率为

3 ,则 a1 的取值范围是 a1 ? 4



三、计算题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分 )若 (6 x ? (1) 求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项?若有,求出常数项,若没有,说明理由。

1
6

x

) n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等 差数列.

18. (本小题满分 12 分)某班共有 36 名学生,其中有班干部 6 名.现从 36 名同学中任选 2 名代表参加 某次活动.求:(1) 恰有 1 名班干部当选代表的概率; (2) 至少有 1 名班干部当选代表的概率; (3) 已知 36 名学生中男生比女生多,若选得同性代表的概率等于

1 ,则男生比女生多几人? 2

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 命 题 p : 函 数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的 定 义 域 为 R ; 命 题 q : 函 数

f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上单调递减.
(1)若命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M;命题 p 为真命题时, a 的取值集合 为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分)为了解荆州中学学生健康状况,从去年高二年级体检表中抽取若干份,将他们 的体重数据作为样本。将样本的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12. (Ⅰ)求样本的容量; 频率 (Ⅱ)以荆州中学的样本数据来估计全省的 组距 总体数据,若从全省高二年级的所有学生中
3

(人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望。

0.037

0.013 50 55 60 65 70 75 体重

21.(本题满分 12 分)有红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球,每种小球数量不限且它们除颜色不同外,其余完 全相同,将小球放入编号为 1,2,3,4,5 的盒子中,每个盒子只放一只小球. (1)求事件 A: “对任意的正整数 j(1≤j≤5),至少存在另一个正整数 k(1≤k≤5,且 j≠k)使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率; (2)记 X 为 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值,求 X 的概率分布和数学期望 E(X).

22. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 椭圆相交于 A 、 B 两点。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 与 a2 b2

(1) 若 ?AF1 F2 ? 60 ,且 AF 1 ? AF 2 ? 0 求椭圆的离心率。
0

(2)若 a ?

2, b ? 1 ,求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值。

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级:高二 科目:数学(文科)

参 考 答 案 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. ( ??, ?2) 15. n ? 10000 14. 双曲线靠近 B 点的那一支

S ? 6000

16. ①③
4

三、计算题: 17. 解: (1)?在 20 岁至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 名 观众 中有 27 名观 众收看新闻节目 ?经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的 (2)大于 40 岁的观众抽取

27 3 ? 5 ? ? 5 ? 3 (名) 45 5

18. 解: p : m ? ?1

q : ?2 ? m ? 2

由已知 p, q 一真一假 当 p 真 q 假时, ?1 ? m ? 2 当 p 假 q 真时, m ? ?2

? m ? ?2 或 ?1 ? m ? 2
19. 解:设事件 A 为“方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 有 2 个不相等的实数根” ,事件 B 为“方程
2 2

9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 有实数根”
(1)由题意,知基本事件有 9 个,即(1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2)其中第一个表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 由 ? ? 36a 2 ? 36(?b2 ? 4) ? 36a 2 ? 36b2 ? 36 ? 4 ? 0 得a ?b ? 4
2 2

事件 A 要求 a , b 满足条件 a ? b ? 4 ,可知包含 6 个基本文件: (1,2) , ( 2,2) , (2,2) , (3,
2 2

0) , (3,1) , (3,2)

?方程有 2 个不同实根的概率 P ( A) ?
6 ?? ? ? 1? 6 6

6 2 ? 9 3

2

(2)由题意方程有实根的区域为图中阴影部分

..

?所求概率为 P ( B ) ?

2 3

20. 解 :( 1 ) 当 x ? 64 千 米 / 小 时 , 要 行 驶 1000 千 米 需 要

1000 小时,要耗油 64

(

1 3 1000 ? 643 ? ? 64 ? 8) ? ? 119.5 升 128000 80 64 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得
5

1 3 a ? x 3 ? x ? 8) ? ? 22.5 128000 80 x 22.5 ?a ? 1 8 3 x2 ? ? 128000 x 80 1 8 3 x2 ? ? 令 h( x ) ? 则当 h( x ) 最小时, a 取 max 128000 x 80 (

h?( x ) ?

1 8 x 3 ? 803 x? 2 ? 64000 x 64000 x 3
当 x ? (0,80) 时, h?( x ) ? 0

令 h?( x ) ? 0 ? x ? 80

h( x ) 为减函数

当 x ? (80,20) 时, h?( x ) ? 0

h( x ) 为增函数

?当 x ? 80 时, h( x ) 取最小值,此时, a 取最大值 200. ?若油箱有 22.5 升油,则最多可行驶 200 千米
21. 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 2 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2

当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 (2)令 f ( x) ? 2 x ? m 即

? f ( x ) 单调递增区间为 (??,1),(2, ??)

? f ( x ) 单调递减区间为 (1, 2)
1 3 3 2 x ? x ? 2x ? 5 ? 2x ? m 3 2

1 3 ? x3 ? x2 ? 5 ? m 3 2 1 3 3 2 令 g ( x) ? x ? x ? 5 3 2
即考察函数 y ? g ( x ) 与 y ? m 何时有三个公共 令 g ?( x) ? 0

?x ? 0 或 x ? 3

当 x ? 0 或 x ? 3 时, g ?( x ) ? 0 当 0 ? x ? 3 时, g ?( x ) ? 0

? g ( x ) 在 ( ??,0) , (3, ??) 上单调递增,在 (0,3) 上单调递减, g (0) ? 5
g (3) ? 1 2
6

由图象可得

1 ?m?5 2

1 ? 1 ? 2 ?1 2 ? 6 3 ? a b 22. 解: (1)将 (1,1),( , ) 两点坐标代入椭圆 C ,得 ? 2 2 ? 3 ? 3 ?1 ? ? 2 a 2 4b 2

? a2 ? 3 ? ?? 2 3 b ? ? ? 2

? 椭圆 C 的方程为

x2 2 y2 ? ?1 3 3

(2)由 MA ? MB 知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对 称,①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OM
2

?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2( 2 ? 2 ) ? 2 2 b b a a b

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 是椭圆的一个短轴顶点,此时,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

?

1 1 2 ? 2? 2 2 a a b

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) 则直线 OM 的方程为 y ? ?

1 x ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) k

? y ? kx 3 ? 2 由 ? x2 2 y2 解得 x1 ? 1 ? 2k 2 ? ?1 ? 3 ?3
3(1 ? k 2 ) ? OA ? OB ? x ? y ? 1 ? 2k 2
2 2 2 1 2 1

3k 2 y ? 1 ? 2k 2
2 1

同理, OM

2

?

3(1 ? k 2 ) 2 ? k2
? 2 Om
2

?

1 OA
2

?

1 OB
2

? 2?

1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) ? ?2 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 )



1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 Om
2

? 2 为定值.
7


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