重庆市巫山中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


重庆市巫山中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试 数学试题(文史类)
考试时间:120 分钟 总分 150 分
注意事项: 1. 答卷前,考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号。 2.请将各题在答题卡上用 0.5cm 黑色签字笔在规定的答题区域内作答.

命题人:胡厚松

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1、已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( A. 30 2.已知椭圆 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 ( C. ( ,0) ) D. 7 ) D. ( ,0) B. 45 C. 60 ) D. 135

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

3、抛物线: y ? x 2 的焦点坐标是 A. (0, )

1 2

B. (0, )

1 4

1 2

1 4

4.下面图形中是正方体展开图的是(

5、若点 (1, ?1) 在圆 x ? y ? x ? y ? m ? 0 外,则 m 的取值范围是(
2 2



1 1 1 C. 0 ? m ? D. 0 ? m ? 2 2 2 6、设长方体的长、宽、高分别为 2a , a , a , 其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为(
A. m ? 0 B. m ?
-1-

)

A. 3? a

2

B. 6? a

2

C. 12? a (

2

D. 24? a 2 )

7、下列有关命题的说法正确的是

A.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. B. “ x ? ?1 ” 是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . D.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . 8、若 ? , ? 为两个不同的平面, m, n 为不同直线,下列推理: ①若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , 则直线m ? n ; ②若直线 m // 平面?,直线n ? 直线m,则直线n ? 平面? ; ③若直线 m / / n , m ? ? , n ? ?,则平面? ? 平面? ; ④若平面 ? / / 平面?,直线m ? 平面?,n ? ? , 则直线m ? 直线 n ; 其中正确说法的个数是( A.1 B.2 9、已知双曲线 ) C.3 D. 4

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为 c ( c 为双 2 3 a b
) C.

曲线的半焦距长) ,则该双曲线的离心率为( A. 3 5 B.

5 2

3 5 2

D.

3 2

10、设 A ? {( x, y) | y ? 1 ? 4 ? x 2 } , B ? {( x, y) | y ? k ( x ? 2) ? 4} ,若 A ? B 中含有两个 元素, 则实数 k 的取值范围是( A .[ )

5 ,?? ) 12

B. (

5 3 , ] 12 4

C. (

5 5 , ] 12 4

D .( , ]

1 3 3 4

第Ⅱ卷(非选择题 100 分)
二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11、抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 1 ,则点 M 到 x 轴的距离是
2

12、在圆 x ? y ? 8 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足,当点 P 在圆上
2 2

-2-

运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 13、已知 A( ?3,8) , B (2, 2) ,在 x 轴上有一点 M ,使 AM ? BM 的值最小,则点 M 的坐标是 14、某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的 圆弧是半圆) ,则该几何体的表面积为

x2 y 2 ? ?1 15、已知圆 C 的方程 ? x ? 1? ? y ? 1 ,P 是椭圆 4 3
2 2

上一点,过 P 作圆的两条切线,切点为 A、B,则 PA ? PB 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16、(本小题 13 分)第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)题 8 分 (Ⅰ)已知直线 l 过点 M (?2,3) 且与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求直线 l 的方程. (Ⅱ)已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且平行于直线

x ? 3 y ? 1 ? 0 .求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积;

17、(本小题 13 分)第(Ⅰ)小题 6 分,第(Ⅱ)题 7 分 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,点 D 是 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: AC1 // 平面CDB1 ; ( Ⅱ)求证: AC ? BC1 ;

-3-

18、(本小题 13 分)
2 已 知 命 题 P : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 , 命 题 q : 关 于 x 的 不 等 式

mx2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0
对任意的实数 x 恒成立,若“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求实数 m 的取值范围。

19. (本小题 12 分)第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)题 7 分 如图,在四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 600 , PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC
上,且 PM ? 2 MC , N 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PNB ; (Ⅱ)若平面 PAD ? 平面 ABCD , 求三棱锥 P ? NBM 的体积;

-4-

20.(本小题 12 分)第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)题 7 分 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M ,使 | MA |? 2 | MO | ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

21. (本小题 12 分)第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)题 7 分 已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1,0) 的椭圆 C 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,

F1 到直线 AB 的距离为

7 | OB | . 7
x2 y 2 ? ? 1( m ? n ? 0 ) , m2 n2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C1 方程为: 椭圆 C2 方程为:

x2 y 2 ? ? ? ( ? ? 0 ,且 ? ? 1 ) ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭圆. m2 n2 已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆,若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M 、 N ,试 求弦长 | MN | 的取值范围.

-5-

巫山中学高 2016 级 2014 年秋期末考试
数学试题(文史类)参考答案:

15 11、 16

x2 y2 ?1 12、 ? 8 2

13、 (1,0)

14. 104 ? 16?

56 ? ? 15. ? 2 2 ? 3, ? 9? ?

16 解: (Ⅰ) 由题意可设所求直线 l 的方程为 3x ? y ? m ? 0 ,由于直线 l 过点 M (?2,3) , 代入解得 m ? 9 , 故直线 l 的方程为 3x ? y ? 9 ? 0 。 ???????????????????5 分

(Ⅱ)由 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 解得 ? ,则点 P( ?2, 2) ??????????????7 分 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

又因为所求直线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,可设 l 为 x ? 3 y ? C ? 0 (C ? ?1) 将点 P( ?2, 2) 代入得 C ? 8 ,故直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 8 ? 0 令 x ? 0 得直线 l 在 y 轴上的截 距为 ??????????9 分

8 ,令 y ? 0 得直线 l 在 x 轴上的截距为 ?8 ,???11 分 3 1 8 32 ? ?8 ? . ?????????? 13 2 3 3

所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ? 分

17.证明: (Ⅰ)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E ,连结 DE ,

∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点,∴ DE // AC1 , ∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ∴ AC1 // 平面CDB1 (Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ∵底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,∴ AC ? BC , ???????8 分 又直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 ???????6 分

AC ? CC1 ,且 BC ? CC1 ? C ???????10 分
∴ AC ? 平面BCC1 B1 ∴ AC ? BC1 ;
-6-

BC,CC1 ? 平面BCC1 B1
而 BC1 ? 平面BCC1 B1

???????12 分 ???????13 分

2 18、 解: 因为方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实根, 所以△ ? m ? 4 ? 0 解得 m ? ?2 或

m?2,
则 命 题

P

m?2

m ? ?2 : ??????????2 分



又因为不等式 mx2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 对任意的实数 x 恒成立。 ①当 m ? 0 时, 原不等式化为 x ? 3分

1 不满足题意, 所以 m ? 0 舍去。 2

??????????

?m ? 0 ②当 m ? 0 时, 则? 解得 m ? ?1 , 即命题 q :m ? ?1 。 ????? 2 ?4(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0
6分 又由于“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假可知 p 和 q 一真一假。 8分 (1)若 p 真 q 假,则 ? 10 分
[

??????????

?m ? ?2或m ? 2 解得 m ? 2 ; m ? ? 1 ?
? ?2 ? m ? 2 解得 ?2 ? m ? ?1 ; ?m ? ?1

??????????

(2)若 p 假 q 真,则 ? 12 分

??????????

综上述,实数 m 的取值范围为 ?2 ? m ? ?1 或 m ? 2 。 13 分

??????????

19.证明: (I) PA ? PD , N 为 AD 的中点,? PN ? AD ,又底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? ,? BN ? AD , ? AD ? 平面 PNB ,


---------------------4 ----------------------------5

Q AD // BC , ? BC ? 平面 PNB .

分 (II) Q 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD ? AD , PN ? AD ? PN ? 平面 ABCD ,? PN ? NB ,

Q PA ? PD ? AD ? 2 ? PN ? NB ? 3 ,? SV PNB ?
又 BC ? 平面 PNB , PM ? 2 MC ,

3 2
------------------------12

2 2 1 1 2 ? VP ? NBM ? VM ? PNB ? VC ? PNB ? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 ? . 3 3 3 2 3

20.解: (1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为 (3, 2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
-7-

∴圆 C 的方程为:( x ? 3)

2

? ( y ? 2) 2 ? 1

???????????????????1


显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或 k ? ?

3 4

??????3


∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ??????5 4

分 (Ⅱ)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为 (a, 2a ? 4)
则圆 C 的方程为: ( x ? a ) ? y ? ( 2a ? 4)
2

?

?2 ? 1 ???????????????????7


又 | MA |?| 2 MO | ∴设 M 为 ( x, y ) 则 整理得:x
2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2
?????????????????????10

? ( y ? 1) 2 ? 4

记为圆 D


∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴
2

即圆 C 和圆 D 有交点

2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

????????????????

11 分
解得, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? 5? ?

????????????????12



所以直线 AB 方程为:

x y ? ?1 ?a b
2

??????????????????1 分

∴ F1 (?1,0) 到直线 AB 距离为 d ? 又 b ? a ? 1,
2 2

| b ? ab | a ?b
2

?

7 b ? a2 ? b2 ? 7(a ?1)2 7

?? 2 分

??????????????????3 分 ??????????????????4 分
-8-

解得: a ? 2 , b ? 3

故:椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??????????????????? 5 分

(2) 椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 12 9

????????????6 分

①若切线 m 垂直于 x 轴,则其方程为: x ? ?2 ,易求得 | MN |? 2 6 ②若切线 m 不垂直于 x 轴,可设其方程为: y ? kx ? b 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

??????7 分

∴ ? ? (8kb)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4b2 ?12) ? 48(4k 2 ? 3 ? b2 ) ? 0 即b2 ? 4k 2 ? 3(*) ?8 分 记 M 、 N 两点的坐标分别为 ( x1 , y2 ) 、 ( x2 , y2 )
2 2 2 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ? 36 ? 0

????? 9

分 此时: x1 ? x2 ? ? 分 ∴ 分 ∵ 3 ? 4k ? 3
2

4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 8kb 4b 2 ? 36 x x ? , ? | x ? x | ? 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 10

4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 1? k 2 1 | MN |? 1 ? k ? ?4 6 ? 2 6 1? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2

? 11

∴1 ? 1 ?

1 4 ? 2 3 ? 4k 3



2 6 ? 2 6 1?

1 ?4 2 3 ? 4k 2

综合①②,得:弦长 | MN | 的取值范围为 [2 6, 4 2] . 分

?????????????12

-9-

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