苏州市第一中学2014—2015学年度第二学期高一数学期中测试卷(PDF版)


苏州市第一中学 2014—2015 学年度第二学期 高一数学期中测试卷 2015/04
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填写在答题卡相应位置.) 1. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=1,b= 3,∠C=30? ,则△ABC 的面积是 ▲ . 2. 数列{an}成等差数列,a3=10,则 a1+a2+a6= 3. 4. 5. x?3 不等式 <3 的解集为 x+1 ▲ . ▲ .

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a∶b∶c=2∶3∶4,则最小角的余弦值 为 ▲ . 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,3S2,5S3 成等差数列,则{an}的公比为 x-y≥0, ? ? 设变量 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y+2≥0,
A
45° 30°





6.

则 x+3y 的最大值为

▲ . 7. 在等腰△ABC 中,D 是底边 BC 上一点,∠BAD=45° ,∠DAC= BD 30° ,则 = DC 8. 9. ▲ . ▲

B

D

C

第7题 时,Sn 取最大值.

13 在数列{an}中,前 n 项和为 Sn,an= ?1,当 n= 2n 函数 y=x2+ 49 的最小值为 x2+1 ▲ .

A b+2c 10. 在△ABC 中, cos2 = (a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边), 则△ABC 的形状为 2 4c 11. 数列{an}中,an+an?1=( 2) ,则数列{an}的前 10 项的和为
n







.(用数值表示)

12. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c,不等式 f(x)>0 的解集为(1,4),函数 y=f(x)?9x 的值域为(?∞,0], 则 a= ▲ . 1 4 13. 等差数列{an}各项大于 0,公差 d=2,bn= ,数列{ bn }前 100 项的和 S100= ,则数列 anan+1 41 {an}首项 a1= ▲ . tanB 3 14. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, = , 边 c=1,△ABC 面积最大值= tanC 2 ▲ .

1

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 1 如图,在△ABC 中,tanB= ,AB=2 5,点 D 在 BC 边上,且 2 CD=1,∠ADC=45° . (1) 求 sin∠BAD; (2) 求 BD,AC 的长.
A

B

D

C

16. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27, S4?b4=10. (1) 求数列{an}与{bn}的通项公式;
[来源:Z|xx|k.Com]

4 4 4 (2) 是否存在 m(m∈N*),使得 a7?m, a7, a7+4m 为数列{bn 2 }中的连续三项?说明理由. m m m

17. (本小题满分 14 分) π 在△ABC 中,B= ,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 3 c (1) 若 2c=3a+b,求 的值; a (2) 若 b=1,设∠C 为 x,( 3+1)a+c 是关于 x 的函数 f(x),求其最大值,并指出此时 x 的值.

2

18. (本小题满分 16 分) 特种运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶在 500 千米的路段上(50≤x≤a).a 为公路的最高限 x2 速(a>50) ,假设汽油的价格是每升 6 元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小时 400 84 元. (1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2) 当卡车以什么速度行驶时,这次行车的总费用最低?

19.

(本小题满分 16 分)
2 2

已知数列{an}与{cn}满足 cn = an ?1 ? an ,n∈N* (1) 若数列{an}是等差数列,求证:数列{cn}是等差数列; (2) 已知{an}各项都大于 0,cn=n. ① 若 a1=1,求{an}的通项公式; ② a1 为何值时,{an}为等差数列.

3

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}各项都不为 0,数列{bn}满足 bn = an ,记{an}的前 n 项和 Sn,数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 2Tn=Sn(Sn+1). (1) 求{an}的首项 a1; (2) 求{Sn}的通项公式; (3) 求数列{nan } 的前 n 项和 Kn.
2

命题: 审阅:
4

朱 亮 盛 淳

苏州市第一中学 2014—2015 学年度第二学期 高一数学期中测试答案 2015/04
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填写在答题卡相应位置.) 1. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=1,b= 3,∠C=30? ,则△ABC 的面积是 2. 3. 4. ▲ . 3 4 ▲ . 30

数列{an}成等差数列,a3=10,则 a1+a2+a6= x?3 不等式 <3 的解集为 x+1 7 8 ▲

. (?∞,?3)∪(?1,+∞)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a∶b∶c=2∶3∶4,则最小角的余弦值 为 ▲ .

5.

等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,3S2,5S3 成等差数列,则{an}的公比为 x-y≥0, ? ? 设变量 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y+2≥0,



1 . 5

6.

则 x+3y 的最大值为

A
45° 30°

▲ . 4 7. 在等腰△ABC 中,D 是底边 BC 上一点,∠BAD=45° ,∠DAC= BD 30° ,则 = DC 8. 9. ▲ . 2 ▲

B

D

C

第7题 时,Sn 取最大值. 6

13 在数列{an}中,前 n 项和为 Sn,an= ?1,当 n= 2n 49 函数 y=x2+ 2 的最小值为 x +1 ▲ . 13

A b+2c 10. 在△ABC 中, cos2 = (a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边), 则△ABC 的形状为 2 4c 腰三角形 11. 数列{an}中,an+an?1=( 2) ,则数列{an}的前 10 项的和为
n



. 等



.(用数值表示) 62

12. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c,不等式 f(x)>0 的解集为(1,4),函数 y=f(x)?9x 的值域为(?∞,0], 则 a= ▲ . ?1 和?9 1 4 13. 等差数列{an}各项大于 0,公差 d=2,bn= ,数列{ bn }前 100 项的和 S100= ,则数列 anan+1 41 {an}首项 a1= ▲ . 5 tanB 3 14. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, = , 边 c=1,△ABC 面积最大值= tanC 2 ▲ 5 . 8
5

h h 5h 2 设 BC 边上的高 AD=h,tanB=3x,tanC=2x,则 BD= ,CD= ,面积= 2x 3x 12 x
x2 5 5 1 ? h ? 2 ,故 S= ? ≤ h ? ? ? ?1, h ? 1 12 x ? 1 8 ? 3x ? x2 ? 9 9x
2 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 1 如图,在△ABC 中,tanB= ,AB=2 5,点 D 在 BC 边上,且 2 CD=1,∠ADC=45° . (1) 求 sin∠BAD; (2) 求 BD,AC 的长. 解:(1)∵tanB=
B A

D

C

1 1 2 ,B∈(0,π),∴sinB= ,cosB= ,------------------2 分 2 5 5

∴sin∠BAD=sin(

?
4

? B )=

1 ------------------5 分 10

(2)

BD AD 2 5 ,解得 BD=2,------------------9 分 ? ? sin ?BAD sin B sin 3? 4

AD=2 2 ------------------11 分

AC=

AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos

?
4

= 5 ------------------14 分

16. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27, S4?b4=10. (1) 求数列{an}与{bn}的通项公式;
[来源:Z|xx|k.Com]

4 4 4 2 (2) 是否存在 m(m∈N*),使得 a7?m, a7, a7+4m 为数列{bn }中的连续三项?说明理由. m m m 解: (1)设数列{an}公差为 d,{bn}公比为 q,则

?2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 ,解得 ------------------4 分 ? ? 3 q ? 2 8 ? 6 d ? 2 q ? 10 ? ?
6

an =3n?1, bn ? 2n ------------------7 分
(2)数列{bn }中的连续三项仍为等比数列,∴ ?
2
2

4 4 ?4 ? a7 ? ? a7?m ? a7?4 m m ?m ? m

2

代入得: 20 ? ? 20 ? 3m ??12m ? 20 ? ,------------------10 分 解得 m=0(舍去)或 5.------------------12 分 经检验这三个数为 4,16,64,分别是数列{bn }的第 1,2,3 项, 故存在 m=5 适合题意.------------------14 分
2

17. (本小题满分 14 分) π 在△ABC 中,B= ,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 3 c (1) 若 2c=3a+b,求 的值; a (2) 若边 b=1,设∠C 为 x,求( 3+1)a+c 的最大值,并指出此时 x 的值. π 解: (1)∵B= ,∴ b2 ? a 2 ? c2 ? ac 3
2

∴ ? 2c ? 3a ? ? a ? c ? ac ------------------3 分
2 2 2

c 8 ?c? ?c? 整理得: 3 ? ? ? 11? ? ? 8 ? 0 ,解得 =1 或 ------------------6 分 a 3 ?a? ?a?


c c 8 c 8 =1 时,b=?c,舍去, = 时检验适合,综上所述: = .------------------7 分 a a 3 a 3
2 ? ? 3?

(2) ( 3+1)a+c=

?

?? ? ? 3 ? 1 sin ? x ? ? ? sin x ? ------------------9 分 3? ? ?

?

=

?

?? 2? ? 6 ? 2 sin ? x ? ? ,x∈(0, ) ------------------12 分 4? 3 ?

?

当 x=
2

? 时,ymax= 6 ? 2 ------------------14 分 4
2

法 2: a ? c ? ac ? 1,设 t=( 3+1)a+c, 代入得: 6 ? 3 3 a ? 2 3 ? 3 ta ? t ? 1 ? 0 ,关于 a 的方程有解,
2 2

?

?

?

?

Δ≥0,解得 t ? 6 ? 2 ------------------11 分 ,
7

当a ?

3 ?1 ? 时,即 x= 时“=”成立.------------------14 分 4 6

18. (本小题满分 16 分) 特种运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶在 500 千米的路段上(50≤x≤a).a 为公路的最高限 x2 速(a>50) ,假设汽油的价格是每升 6 元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小时 400 84 元. (1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2) 当卡车以什么速度行驶时,这次行车的总费用最低? 解: (1)y=500 ?

? 96 6 x ? ? ? ,x∈[50,a] ------------------5 分 ? x 400 ?

(2)①当 50<a≤80,函数在[50,a]上是减函数, x=a 时,ymin=500 ?

? 96 3a ? ? ? ;------------------10 分 ? a 200 ? ? 96 6 x ? ? ? ≥500 ?2 ? x 400 ?

②当 a>80,y=500 ?

96 6 x ? =1200 x 400

19.

x=80 时,等式成立.------------------15 分 综上所述:当 50<a≤80,卡车应以速度 a 千米/小时行驶; 当 a>80,卡车应以速度 80 千米/小时行驶.------------------16 分 (本小题满分 16 分)
2 2

已知数列{an}与{cn}满足 cn = an ?1 ? an ,n∈N* (1) 若数列{an}是等差数列,求证:数列{cn}是等差数列; (2) 已知{an}各项都大于 0,cn=n. ① 若 a1=1,求{an}的通项公式; ② a1 为何值时,{an}为等差数列. 解: (1)设数列{an}公差为 d, cn = ? an ?1 ? an ?? an ?1 ? an ? =d ? an ?1 ? an ?
2 ∴ cn?1 ? cn = d ? ?? an ? 2 ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? ? ? =2d 为常数

∴{cn}为等差数列.------------------5 分 (2)累加得: an ? a1 =1+2+…+(n-1) ------------------8 分
2 2

∵a1=1, an>0,∴ an =

1 2 1 n ? n ? 1 ------------------11 分 2 2
8

(3)法 1:设 an = 则

1 2 1 (k>0,a1>0) n ? n ? a12 =kn+b, 2 2

1 2 1 n ? n ? a12 =k 2 n 2 ? 2kbn ? b 2 ,该方程有无数多解,------------------13 分 2 2

? 2 1 ? k ?2 ? 2 1 ? ∴ ?2kb ? ? 解得: a1 ? ------------------16 分 4 2 ? 2 ? b ? a12 ? ?
法 2:

2 1 2 1 n ? n ? a12 是完全平方式,Δ=0,解得 a1 ? ------------------16 分 4 2 2
2 2 2 2

法 3:{an}前三项 a1 , 1 ? a1 , 3 ? a1 成等差,即 2 1 ? a1 =a1 + 3 ? a1 , a1>0,解得 a1 ?

2 ,------------------14 分, 4

检验: an =

1 2 1 1 2 n ? n? = ? 2n ? 1? 为等差数列。------------------16 分 2 2 8 4

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}各项都不为 0,数列{bn}满足 bn = an 2 ,记{an}的前 n 项和 Sn,数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 2Tn=Sn(Sn+1). (1) 求{an}的首项 a1; (2) 求{Sn}的通项公式; (3) 求数列{nan } 的前 n 项和 Kn. 解: (1) 2a1 ? a1 ? a1 ? 1? ,解得 a1 ? 1 (0 舍去)------------------3 分
2

(2)2Tn=Sn(Sn+1)
2

2Tn?1=Sn?1(Sn?1+1)

(n≥2)

相减得:2 an = ? S n ? S n ?1 ? an ? an ∵an≠0,∴2 an = ? S n ? S n ?1 ? ? 1 ∴ 2 ? S n ? S n ?1 ? = ? S n ? S n ?1 ? ? 1 , Sn ? 3Sn?1 ? 1 ------------------7 分
9

∴ Sn ? ∴ Sn ?

1 1? ? 1? 1 3 ? ? 3 ? Sn ?1 ? ? , ? S n ? ? 是以 S1 ? = 为首项,公比为 3 的等比数列. 2 2? ? 2? 2 2 ?

1 3 n ?1 1 ? ? 3 , Sn ? ? 3n ? 1? ------------------10 分 2 2 2
n ?1

(3)∴ an ? 3

( a1 检验成立)------------------12 分(不检验 a1 扣 1 分)

错位相减法得: K n ?

? 2n ? 1? 3n ? 1 ------------------16 分
4 4

法 2:由 2 an = ? S n ? S n ?1 ? ? 1 得 an =2Sn?1 ? 1 , ∴ an?1 =2Sn?2 ? 1 (n≥3) 相减得: an ? 3an?1 ,即

an =3(n≥3)------------------8 分 an ?1

a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ,∴

a2 ?3 a1



an =3(n≥2)∴ ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列. an ?1
n ?1

∴ an ? 3 ∴ Sn ?

------------------10 分(不检验

a2 ? 3 扣 1 分) a1

1 n ? 3 ? 1? ------------------12 分 2

(以下同法 1)

10


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