浙江省2014届理科数学专题复习试题选编19:平面向量(教师版)

浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 19:平面向量
一、选择题 1 . (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)给出下列命题:

⑴若 a // b , b // c ,则 a // c ; ⑵有向线段就是向量,向量就是有向线段; ⑶零向量的方向是任意的,零向量与任何一向量都共线; ⑷a ? a . 其中正确的命题个数 A. 0 个 B. 1 个 【答案】C ( C. 2 个 D. 3 个 )
2 2

2 . (浙江省六校联盟 2013 届高三回头联考理科数学试题)平行四边形 ABCD 中 AC 交 BD 于 O,AC=5,BD=4,则

??? ????? ? ??? ???? ? ( AB ? DC) · ( BC ? AD) ?
A.41
【答案】C

( C.9 D.-9



B.-41

3 . (浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学(理)试题)如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若

??? ? ???? ???? ??? ? | AB |=a,| AD |=b,则 AC ? BD =
A.b -a
2 2


2


2

B.a -b
D C

2

2

C.a +b

D.ab

A (第 6 题图)

B

【答案】A 4 . (浙江省“六市六校”联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)设 a 、 b 都是非零向量,下列

四个条件中,能使

a a

?

b b

成立的是





A. a ? -b
【答案】C

B. a ∥ b

C. a ? 2b

D. a ∥ b 且 a ? b

5 . (浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学 (理) 试题) 已知向量 a ? (1,3 ) , b ? (?2, m ) ,若 a 与 a ? 2b

垂直,则 m 的值为 A. 1
【答案】B

( B. ?1 C. ?



1 2

D.

1 2 ? 3 2 ? 1 3

6 . (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学(理)试题)若向量 a ? ( , sin ? ), b ? (cos ? , ) ,

且 a // b ,则锐角 ? 为
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?

?





A. 300
【答案】B

B. 450

C. 600

D. 750

7 . 浙 江 省 诸 暨 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数学 ( 理 ) 试 题 ) 已知两个非零向量 (

a 与 b , 定义
( )

a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.
若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为 A. ?8
【答案】D 8 . (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题) 已知 a

B. ?6

C.8

D.6

? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则
( )

| a ? b | 的最小值为
A.

3 5 5

B.

55 5

C.

5 5

D.

11 5

【答案】A 9 . (浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期末联考理科数学试卷)在 ?ABC 中,点 D 在线段 BC 的延

长线上,且 BC ? 3CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合)若 AO ? x AB ? (1 ? x) AC 则 x 的取值范 围 ( ) ( )

A. ? 0, ?
【答案】D

? ?

1? 2?

B. ? 0, ?

? ?

1? 3?

C. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

D. ? ? , 0 ?

? 1 ? 3

? ?

10. 浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷) ( 若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满

足 CM ? A.

8 9

1 1 CB ? CA ,则 MA ? MB ? 3 2 13 B. 9

( C. ?



8 9

D. ?

13 9

【答案】C 11. (浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 )已知点 P 是△ABC 所在平面内一点,边 BC

的中点为 D,若 2 PD ? (1 ? ? ) PA ? CB ,其中 ? ? R ,则 P 点一定在 A.AB 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 【答案】C B.BC 边所在的直线上 D.△ABC 的内部





12 . 浙 江 省 宁 波 市 金 兰 合 作 组 织 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 x, y ? R, 向 量 (

? ? a ? ( x,1), b ? (1, y ), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 a ? b ?
A. 5
【答案】B

( D.10



B. 10

C. 2 5

13. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第二次联考数学(理)试题)已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两
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2? ??? ? ??? ? ??? ? 点 且 ?AOB ? 3 , MN 是一 条直 径, 点 C 在圆 内且 满足 OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) , 则

???? ???? ? CM ? CN 的最小值为

( A.-2
【答案】C



B.-1

C.-3

D.-4

14 .( 浙 江 省 金 华 十 校 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 △ABC 中 , 已 知

??? ??? ? ? AB ? AC ? 9 , s iB ? n

cA ? s CsS?n , ,P 为线段 AB 上的点,且 o i ABC ? 6
( D.4[来源:学.科.网 Z.X.X.K] )

??? ? ??? ? ??? ? CA CB ? ? CP ? x ? ??? ? y ? ??? , 则xy 的最大值为 | CA | | CB |
A.1
【答案】C

B.2

C.3

15 .( 浙 江 省 宁 波 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 空 间 向 量

a, b满足 | a |?| b |? 1, 且a, b的夹角为

?
3

,O 为空间直角坐标系的原点,点

( (

) )

A.B 满足 OA ? 2a ? b, OB ? 3a ? b ,则△OAB 的面积为 A.

5 3 2

B.

5 3 4

C.

7 3 4

D.

11 4

【答案】B 16. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足

PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,记 ?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP
的面积依次为 S1 、 S 2 、 S 3 ,则 S1 : S 2 : S 3 等于 A. 1 : 2 : 3
【答案】D 17 . 浙 江 省 建 人 高 复 2013 届 高 三 第 五 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 点 G 是 ?ABC 的 重 心 , 若 (

( D. 3 : 1 : 2



B. 1 : 4 : 9

C. 3 : 2 : 1

?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 AG 的最小值是





A.

3 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

3 4

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【答案】B 18. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题) 设 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且

??? ? ??? ???? ? 5 AP ? 2 AB ? AC ? 0 ,则 ?PAB 的面积与 ?ABC 的面积之比等于
A.





1 4

B.

2 5

C.

1 5

D.不确定

【答案】C 19.浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学 ( (理) 试题) 在直角坐标中,A(3,1),B(-3,-3),C(l.4).P

是 AB 和 AC 夹角平分线上的一点,且[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AP =2,则 AP 的坐标是





A. (-

5 26 26 , ) 13 13

B. (-

2, 2)

C. (-

4 5 2 5 , ) 5 5

D (-

3,1)

【答案】A 20. (浙江省宁波市 2013 届高三第一学期期末考试理科数学试卷) △ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ? AC ? 2 AO,| AB |? 3 | OA |, 则CA ? CB 的值是
A.3
【答案】D 21. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )已知





B. 3

C.

3 2

D.1

a ? 2 b ? 0, 且关于 x 的函数
( )

f ?x ? ?
A. ?0,

1 3 1 x ? a ? x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围是 3 2
B. ?

? ?? ? ? 6?

?? ? ,? ? ?6 ?

C. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

D. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

【答案】C 22.浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学 ( (理) 试题) ? 在

ABC ,已知 AB ? AC ? AB ? CB ? 1 ,
( )

则| AB |的值为 A.1
【答案】B

B. 2

C. 3

D.2

23. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)△ABC 中,点 E 为 AB 边的中点,点 F 为

AC 边的中点,BF 交 CE 于点 G,若 AG ? x AE ? y AF ,则 x ? y 等于 A.

????

??? ?

??? ?





3 2

B.

4 3

C. 1

D.

2 3

【答案】B
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24. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 ?ABC, P 是边 AB 上一定点, ) 0

满足 P0 B ?

1 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C .则 4
B. ?BAC ? 900 C. AB ? AC D. AC ? BC





A. ?ABC ? 900
【答案】D

25. (浙江省一级重点中学 (六校) 2013 届高三第一次联考数学 (理) 试题) 在△ ABC 中,( AB ? 3AC) ? CB,

uur u

uuu r

uur

则角 A 的最大值为 A.

( B.



?
6

?
4

C.

?
3

D.

?
2

【答案】A 二、填空题 26. (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题)已知向量 a ? 1 , b ? 2 , a ? (a ? b) ,则向

?? ?

?? ?

?

? ?

量 a 与 b 的夹角的大小是___________.
【答案】

?

?

? 3

27. (浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学(理)试题)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BD ?

??? ?

1 ???? DC , 2

则 AD ? CD 的值等于____________.
【答案】

???? ??? ?
1 9

28. (浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学(理)试题(word 版) )已知 a , b 为平面内两个互相垂

直的单位向量,若向量 c 满足 c a ? + )(? ? R ) , + =( b c 则 | c | 的最小值为______.

【答案】

2 2

29. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题) 在△OAB 中,C 为 OA 上的一点,且

???? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OC = OA, D 是 BC 的中点,过点 A 的直线 l ∥OD,P 是直线 l 上的动点, OP = l 1OB + l 2 OC 3



l 1 - l 2 =__________ _.

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【答案】?

3 2

30 . 浙 江 省 嘉 兴 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 一 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 (

a, b

是两个非零向量,且

| a |?| b |? ? | a ? b |, ? ? [
【答案】 [

3 ,1] 3 ,则 b 与 a ? b 的夹角的

取值范围是____.

2? 5? , ] 3 6

31. (温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题) 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120? , AB ? AC

? ?1 ,则

??? ? | BC | 的最小值是
__
【答案】

6

32.浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题 ( (word 版)) 已知 a

? (cos ? ,1), b ? (2,? sin ? ) ,

若 a ? b ,则 tan ? 的值为______.
【答案】2 33. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试一数学(理)试题)如图,Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ? ,其内切圆切

AC 边于 D 点,O 为圆心.若 | AD |? 2 | CD |? 2 ,则 BO ? AC ? _____________.

【答案】 ?3 34.浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试 ( (三) (理) 数学 试题 ) ?ABC 中,若 BC ? 4 , cos B ? 在

1 , 4

则 AB? AC 的最小值为:________.
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【答案】 -

1 4 1 4

2 解析:方法一:: AB ? AC ? AB ? ( AB ? BC ) ? c ? 4c ? (? )

1 1 1 ? c 2 ? c ? (c ? ) 2 ? ? ? , 2 4 4
2 2 方法二:由余弦定理 b ? c ? 16 ? 2 ? 4 ?

1 c ? c 2 ? 2c ? 16 , 4

所以 AB ? AC ? bc cos A ?

b 2 ? c 2 ? 16 1 1 1 1 ? c 2 ? c ? (c ? ) 2 ? ? ? ,故最小值为- 2 4 4 4 2
4 15 sin C cos A 4 15 sin( A ? B) cos A ? sin 2 A sin 2 A

方法三: AB ? AC ? bc cos A ?

?

1 15 sin A cos A ? 15cos2 A 1 ? 15cot2 A ? 15 cot A ? ? ,故最小值为 - 2 4 4 sin A
2 2

35. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)P 是圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 上的一个动点,A(

3 ,1),则

??? ??? ? ? OP? 的最小值为______ OA
【答案】2(

3 -1)

【解析】如图:作 PQ?OA 于 Q,CD?OA 于 D,根据向量数量积的几何意义得

??? ??? ? ? OP? min=|OA|?|OQ|min=|OA|?|OT|=2 (|OD|-1)=2( 3 -1) OA
36 .( 浙 江 省 五 校 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

a ? ?1,1 ? sin ? ? , b ? ?1, cos ? ? ,
【答案】 ?1,

?
4

?? ?

?
2

,则 a ? b 的取值范围是_______.

? 3? 2 ? ? 2 ? ?

37 .( 浙 江 省 温 州 十 校 联 合 体 2013 届 高 三 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? ? a ? (2,1), a ? ? 10,| a ? b |? 5 2, 则|b|= ____. b
【答案】5 38 . 浙 江 省 绍 兴 一 中 2013 届 高 三 下 学 期 回 头 考 理 科 数 学 试 卷 ) 已 知 非 零 向 量 (

a , b 满足

,则向量 a ? b与a ? b 的夹角的最大值为_______. |a ? b| ? |a ? b|=? |b|(? ? 2)
第 7 页,共 12 页

【答案】

?
3

39. 浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 ( (理) 试题) 己知正 Δ ABC 的边长为 1,

AD ? DB, AE ? 2 EC .

则 BE.CD =
【答案】 ?

1 2
2

40. (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷)如图,已知圆 M : ( x ? 3)

? ( y ? 3) 2 ? 4 ,四

边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E 为边 AB 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动,同时点 F 在 边 AD 上运动时, ME ? OF 的最大值是__________.
y C D F M B A O E x

(第 17 题)
【答案】8 41. (浙江省嘉兴市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学试卷)设△ ABC 的三边长分别为 a, b, c ,重心为 G ,

则 | GA |2 ? | GB |2 ? | GC |2 ? ____.
【答案】

a 2 ? b2 ? c2 ; 3

42. (浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷)如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点

A,D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大值是______

??? ??? ? ?

【答案】 2 43 . 浙 江 省 重 点 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 联 谊 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 O 为 △ABC 的 外 (

心, | AB |? 16, | AC |? 10 2 , 若 AO ? x AB ? y AC , 且 32 x +25 y =25,则 | AO |? __________.
【答案】10 44. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题)在等边三角形 ABC 中,点 P 在线

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 段 AB 上,满足 AP ? ? AB ,若 CP ? AB ? PA ? PB ,则实数 λ 的值是_______________.
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【答案】 1 ?

2 . 2


45 . 浙 江 省 “ 六 市 六 校 ” 联 盟 2013 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 △ABC 中 , BC (

→ → → → = 2 BD,AD⊥AB,|AD|=1,则AC·AD等于__________.
【答案】

2
? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2mAO ,则 m =______________. sin C sin B

46. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,

且 ?A ?

?
4

,若

【答案】

2 . 2

47 . 浙 江 省 杭 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 七 校 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 四 边 形 (

ABCD

中, AB ? DC ? (1,1) ,

1 BA

BA ?

1 BC

BC ?

3 BD

BD ,则四边形 ABCD 的面积为__.

【答案】

3
??

48. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上

的一个动点.若 OC ? x OA? y OB ,则 x ? 3 y 的取值范围是___________.

??

??

A

C

O
(第 17 题)

B

【答案】 1,3 解:方法(一):特殊点代入法.

? ?

C 与 A 重合时, x ? 1, y ? 0 ,此时 x ? 3 y ? 1 ; C 与 B 重合时, x ? 0, y ? 1,此时 x ? 3 y ? 3 . 注意到,C 从 B 点运动至 A 点时,x 逐渐变大,y 逐渐变小. 显然,一开始 x 趋于 0,而 y 趋于, 故 x ? 3 y 的范围受 y 的影响较大. 故猜想, x ? 3 y ?[1, 3] 方法(二):设扇形的半径为 r 考虑到 C 为弧 AB 上的一个动点, OC ? x OA? y OB . 显然 x, y ?[0,1]
第 9 页,共 12 页
??

??

??

两边平方: ? OC ? ? r 2 ? ? xOA? y OB ? ? x 2 ? r 2 ? 2 xy OA ?OB? y 2 ? r 2 ? ? ? ?
?? ?? ?? ?? ??

2

2

?

?

?

?

消 r 2 : y 2 ? x ? y ? x2 ?1 ? 0 ,显然 ? ? 4 ? 3x2 ? 0 得: y ?

? x ? 4 ? 3x 2 ( y ? 0) , 2 1 3 4 ? 3x 2 . x? 2 2 1 3 4 ? 3x 2 x? ( x ? [0,1]) 2 2

故 x ? 3y ? ?

不妨令 f ( x) ? ?

1 9x f '( x) ? ? ? ? 0, 2 2 4 ? 3x 2
所以 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上单调递减, f (0) ? 3, f (1) ? 1,得 f ( x) ?[1,3] .
49. (浙江省一级重点中学 (六校) 2013 届高三第一次联考数学 (理) 试题) Rt?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 2 , 在

已知点 P 是 ?ABC 内一点,则 PC ? ( PA ? PB) 的最小值是_______.
【答案】 ?1 50 . 浙 江 省 宁 波 市 金 兰 合 作 组 织 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 (

?ABC

??? ????? 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB?BC ? 1 ,则 BC ? ______________.
【答案】

3

51. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 e1 ,e2 为单位向量,非零向量 )

b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 ,e2 的夹角为
【答案】2

|x| ? ,则 的最大值等于________. 6 |b|

52. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)已知 O 是△ABC 的外心,AB=2,AC=3,若

AO ? x AB ? y AC , x+2y=1,则 cos ?BAC ? ________;
【答案】

3 2 或 4 3

53. (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学(理)试题)在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,

??? ??? ???? ? ? 若 AM=4,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值是____
【答案】-8; 54. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学 (理) 试题) ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 60o ,若 P 在

第 10 页,共 12 页

??? ??? ? ? 是 ?ABC 所在平面内一点,且 AP ? 2 ,则 PB ? PC 的最大值为____.
【答案】 10 ? 2 37 ; 55 . 浙 江 省 杭 州 二 中 2013 届 高 三 6 月 适 应 性 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD (

中, AD ? AB , AB ∥ DC , AD ? DC ? 1 , AB ? 2 ,动点 P 在以点 C 为圆心,且与直线 BD 相切的圆上

??? ? ???? ??? ? 或圆内移动,设 AP ? ? AD ? ? AB ( ? , ? ? R ),则 ? ? ? 取值范围是_____________.

第 17 题图
【答案】 三、解答题 56. (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学 (理) 试题) 已知向量a=(

[1, 2]
1 -1 , ),b=(2,cos2x). sinx sinx

π (1)若x∈(0, ],试判断a与b能否平行? 2 π (2)若x∈(0, ],求函数f(x)=a·b的最小值. 3
【答案】

57 .( 浙 江 省 杭 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 七 校 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

?ABC

??? ? ??? ? 中, AB ? ( ? 3 sin x,sin x ), AC ? (sin x,cos x )
⑴设 f ( x ) ? AB ? AC ,若 f ( A) ? 0 ,求角 A 的值; ⑵若对任意的实数 t ,恒有 | AB ? t AC |?| BC | ,求 ?ABC 面积的最大值.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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【答案】解: f ( x ) ? AB ? AC ? ? 3 sin x ? sin x cos x ? ? 3
2

??? ??? ? ?

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2

sin(2 A ?

?
3

)?

3 ? ?? ?? ? 且 2 A ? ? ? ,2? ? ? A ? 2 6 3 ?3 3?
??? ?

(2) ?| AB ? t AC |?| BC |

??? ?

??? ?

? BC ? AC
??? ? ???? 3 ?| AB |? 4sin 2 x ? 2,| AC |? 1 ? S ? 2

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