2013届高考数学第一轮复习教案第22讲 任意角的三角函数及诱导公式


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 22 讲 任意角的三角函数及诱导公式
一.课标要求:

1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α, π±α 的正 弦、余弦、正切) 。
二.命题走向

从近几年的新课程高考考卷来看, 试题内容主要考察三角函数的 图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公 式,在处理一些复杂的三角问题时,同角的三角函数的基本关系式是 解决问题的关键。 预测 2013 年高考对本讲的考察是: 1.题型是 1 道选择题和解答题中小过程; 2.热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这也是新 课标教材的热点内容。
三.要点精讲

1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆 时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫 做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,

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我们称它形成了一个零角。

[来源:学科网]

2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么, 角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个 象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角 α 具有同终边的所有角, 它们彼此相 差 2kπ(k∈Z),即 β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终 边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如 α∈{α|
5? ]。 6 5? ? ? ≤α≤ }=[ , 6 6 6

3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad , 或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分, 如-π, -2π 等等, 一般地, 正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是:? ? , 其中, 是圆心角所对的弧长, l
r 是半径。
l r

角度制与弧度制的换算主要抓住180? ? ? rad 。 弧 度 与 角 度 互 换 公 式 : 1rad = 180 °≈57.30°=57°18ˊ 、 1°=
?
?
180

≈0.01745(rad) 。

[来源:Zxxk.Com]

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弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ? l r ? | ? | r 2 。 4.三角函数定义 在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ? a 2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .则
sin ? ? MP b OM a MP b ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? 。 OP r OP r OM a 1 2 1 2
[来源:学科网]

利用单位圆定义任意角的三角函数, 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点 P( x, y) ,那么: (1) y 叫 做 ? 的 正 弦 , 记 做 s i n , 即 ?
sin ? ? y ;

a的终边

y P(x, y)) O

x

(2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即
cos? ? x ;

(3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。 5.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地 表示出角的各种三角函数值的一种图示 方法。利用三角函数线在解决比较三角 函数值大小、解三角方程及三角不等式 等问题时,十分方便。
[来源:学科网]

y x

y x

y a角的 P T 终边 O MA x

以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定

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就是 1 厘米或 1 米) 。当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必 有一个交点 P( x, y) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数 的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos? | 。 我们知道, 指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的 终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线 段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点 的横坐标.这样,无论那种情况都有
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

OM ? x ? cos?

同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点, 规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正向, 且有正值 y ; 当线段 MP 与 y 轴反向时,MP 的方向为负向, 且有正值 y ; 其中 y 为 P 点的横坐标。 这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带 有方向的线段,叫做有向线段。 如上图,过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它 与 ? 的终边交于点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借 助有向线段 OA、AT ,我们有
tan ? ? AT ? y x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT ,分别叫做 角 ? 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。 6.同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时,经常把“切”、“割”用“弦”表示,即化

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弦法,这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式:sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα;(三式之间可 以互相表示)

同理可以由 sinα-cosα 或 sinα·cosα 推出其余两式。
?? ? ② 1 ? sin ? ? ?1 ? sin ? . 2? ?
2

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x 。 2?

7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180? ? ? ) ? ? sin ? ; 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
c o s ( 1? 8 ? ? ? ? ?0 )cos
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cos(?? ) ? cos?
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诱导公式四: sin(180? ? ? ) ? sin ? ; cos(180? ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360? ? ? ) ? cos ? -? sin cos -sin ? cos ?
? ??
? ??
2? ? ?

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2k? ? ? ?k ? Z ?

?
2

??

sin ? -cos ?

-sin ? -cos ?

-sin ? cos ?

sin ? cos ?

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180? ? ? ( k 为常整数) ; (2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”; (3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα;cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
? ? ? ? ? (4) sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

四.典例解析
题型 1:象限角

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例 1.已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720 ?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有 相 同 终 边 的 角 ? ;( 2 ) 集 合 M ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? , ? ?
? k 2 ?
k ? ? N ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? 那么两集合的关系是什么? 4 ? ?

解析: 1)所有与角? 有相同终边的角可表示为: (
45? ? k ? 360 ? (k ? Z ) ,

则令

? 720 ? ? 45? ? k ? 360 ? ? 0? ,

得 ? 765 ? ? k ? 360 ? ? ?45? 解得 ?
765 45 ?k?? 360 360

从而 k ? ?2 或 k ? ?1 代回 ? ? ?675 ? 或 ? ? ?315 ? (2) 因为 M ? ?x | x ? (2k ? 1) ? 45?, k ? Z ?表示的是终边落在四个象限 的平分线上的角的集合; 而集合 N ? ?x | x ? (k ? 1) ? 45?, k ? Z ? 表示终边落 在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而: M ? N 。 点评: (1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有 与角 ? 有相同终边的角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的 整数 k ,代回 求出所求解; (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论。 例 2.若 sinθcosθ>0,则 θ 在(
A.第一、二象限 C.第一、四象限 B.第一、三象限 D.第二、四象限


[来源:学科网 ZXXK]

解析:答案:B;∵sinθcosθ>0,∴sinθ、cosθ 同号。
当 si nθ>0,cosθ>0 时,θ 在第一象限,当 sinθ<0,cosθ<0 时,θ 在第三象限,因此, 选 B。

例 3.若 A、B 是锐角△ ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,

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sinB-cosA)在(
A.第一象限


B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90° ,∴B> 90° -A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B。 例 4.已知“ ? 是第三象限角,则 是第几象限角? 解法一:因为 ? 是第三象限角,所以 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ?k ? Z ? , ∴
2k ? ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ?k ? Z ? , 3 3 3 3 2 ? ∴当 k=3m(m∈Z)时, 为第一象 3 3 2

? 3



角; 当 k= 3m+1(m∈Z)时, 为第三 限角, 当 k= 3m+2(m∈Z)时, 为第四象限角, 故 为第一、三、四象限角。 解法二: 把各象限均分 3 等份, 再从 x 轴的正向的上方起 依次将
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? 3



? 3

? 3

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各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并依次循环一周,则 ? 原来是第Ⅲ象限 的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域。 由图可知, 是第一、三、四象限角。 点评: 已知角 ? 的范围或所在的象限, 求 所在的象限是常考题之一, 一般解法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:把各象限均 分 n 等份,再从 x 轴的正向的上方起,依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ,并循环一周,则 ? 原来是第几象限的符号所表示的区域即为
? n

? 3

? 3

? n

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(n∈N*)的终边所在的区域。 题型 2:三角函数定义 例 5.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。 解析:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , x ? a, y ? 2a 。
sin 当 a ? 0时, ? ? y 2a 2a 2 5 ? ? ? ; r 5 5|a| 5a

c o? ? s

x a 5 a ? ? , tan? ? 2 。 r 5 5a

sin 当 a ? 0时, ? ?

y 2a 2a 2 5 x a 5a ? ? ?? ?? , cos ? ? ? ; r 5 r ? 5a 5 5 | a | ? 5a

tan? ? 2 。

例 6. 已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) , nis ? ? 且 的值。

2m , ns, ? 求si o c 4

?

解析:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 , 得 r ? 3 ? m2 , 从而 sin ? ?
2m m m ? ? , r 4 3 ? m2

解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m2 ? m ? ? 5 。 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , cos ? ? ? ?1, tan ? ? ? 0 ; 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ?
x r x r 6 y 15 ; , tan ? ? ? ? 4 x 3 6 y 15 。 , tan ? ? ? 4 x 3

x r

y x

当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ?
题型 3:诱导公式

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例 7. tan300° +
A.1+

cos 405 0 的值是( sin 405 0
B.1-


C.-1-

3

3

3

D.-1+

3

cos(360 0 ? 45 0 ) cos 405 0 解析:答案:B tan300° + =tan(360° -60° )+ =-tan60° + sin(360 0 ? 45 0 ) sin 405 0

cos 45 0 =1- 3 。 sin 45 0

例 8.化简:
(1)

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) ; tan(? ? 180? ) ? cos(?? ) ? cos(180? ? ? )

(2)

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) 。 sin(? ? n? ) cos(? ? n? )

解析: (1)原式 ?

sin ? ? sin ? ? tan ? tan ? ?? ? ?1 ; tan ? ? cos ? ? cos ? tan ?
sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 。 ? sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ?
[来源:

(2)①当 n ? 2k , k ? Z 时,原式 ?
学&科&网]

②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时,原式 ?

sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 。 ?? sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ?

点评:关 键抓住题中的整数 n 是表示 ? 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别,所以必 须把 n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。 题型 4:同角三角函数的基本关系式

例 9. 已知 的集合。
[来源:学。科。网]

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 试确定使等式成立的角 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

解析:∵ =

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? , cos 2 ? cos 2 ?

|1 ? sin ? | |1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? ? = = 。 | cos ? | | cos ? | | cos ? | | cos ? |

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又∵ ∴

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?

[来源:Zxxk.Com]

2 sin ? 2sin ? ? ?0, | cos ? | cos ?
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即得 sin ? ? 0 或 | cos? |? ? cos ? ? 0

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所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ?

3? , k ? Z} 。 2 2 2?cos? ? sin ? ? cos? sin ? 例 10. (1)证明: ; ? ? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? 1 ? cos? cos x 1 ? sin x (2)求证: 。 ? 1 ? sin x cos x ? ? ? 2k? ?

?

解析: (1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分 析法,即要证
A C D=B· C,从而将分式化为整式 ? ,只要证 A· B D
cos? ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ?
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证法一:右边= =
?

?cos? ? sin? ??1 ? cos? ? sin? ?
1 ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?

2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? 2?1 ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? ? 2 1 ? sin ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin ? cos?

=

2?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? 左边 ?1 ? sin? ? cos? ?

[来源:Z&xx&k.Com][来源:Z§xx§k.Com]

证法二:要证等式,即为
2?cos? ? sin ? ? ?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? ?1 ? sin? ??1 ? cos? ? 1 ? sin ? ? cos?

只要证 2(1? sin? ) 1? s ? )= ?1 ? sin ? ? cos? ?2 ( o c 即证: 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?
? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? ? 2 cos? ? 2 sin? cos? ,

即 1= sin 2 ? ? cos2 ? ,显然成立,

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故原式得证。
点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔 细观察题目的特征,灵 活、恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多 。 (2)同角三角函数的 基本关系式有三种,即平方关系、 商的关系、倒数关系。

(2)证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 ∴左边=
cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? ? 右边。 (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x cos x

∴原式成立。 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos x ? cos x , ∴
cos x 1 ? sin x 。 ? 1 ? sin x cos x

证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。
cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? 0, ? ? (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x)cos x 1 ? sin x cos x

[来源:Zxxk.Com]

cos x 1 ? sin x 。 ? 1 ? sin x cos x

点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明 时常用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边(如例 5 的证法一)(2)证明左右 ; 两边同等于同一个式子(如例 6)(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式 ; 成立。

五.思维总结

[来源:学&科&网]

1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为: 角的终边所在位 角的集合 置 X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴

?? | ? ? k ? 360 ?,

k ? Z? k ? Z? k ? Z?
[ 来

?? | ? ? k ? 360? ? 90?, ?? | ? ? k ? 360 ? ? 180 ?,
源:Z.xx.k.Com]

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Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴
? 2

?? | ? ? k ? 360 ? ? 270 ?, ?? | ? ? k ?180?,
k ? Z?

k ? Z?

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
? 2 ? 2 ? 2 ? 2
k ? Z?

k ? Z?

2.α、 、2α 之间的关系。 若 α 终边在第一象限则 终边在第一或第三象限;2α 终边在第 一或第二象限或 y 轴正半轴。 若 α 终边在第二象限则 终边在第一或第三象限;2α 终边在第 三或第四象限或 y 轴负半轴。 若 α 终边在第三象限则 终边在第二或第四象限;2α 终边在第 一或第二象限或 y 轴正半轴。 若 α 终边在第四象限则 终边在第二或第四象限;2α 终边在第 三或第四象限或 y 轴负半轴。 3.任意角的概念的意义,任意角的三角函数的定义,同角间的三 角函数基本关 系、诱导公式 由于本重点是任意角的三角函数角的基
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础,因而三学习本节内容时要注意如下几点: (1)熟练地掌握常用的 方法与技巧,在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限 制; (2)要注意差异分析,又要活用公式,要善于瞄准解题目标进行 有效的变形,其解题一般思维模式为:发现差异,寻找联系,合理转 化。 只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点 P 在终边上 的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离

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r ? x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ?y
2 2

, tan ? ? 。所以,三角函

y x

数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函 数也可以看成实数为自变量的函数。 4.运用同角三角函数关系式化简、证明 常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等,应用 “弦化切” 的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的 cos? ,得到一个只含 tan ? 的教简单的三角函数式。

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