2013年高考数学总复习 12-3 不等式选讲但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 12-3 不等式选讲但因为测试 新人教 B 版
1.若不等式|ax+2|<4 的解集为(-1,3),则实数 a 等于( A.8 C.-4 [答案] D [解析] 由-4<ax+2<4,得-6<ax<2. ∴(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),∴a=-2. [点评] 可用方程的根与不等式解集的关系求解. 2.(2011·山东理,4)不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( A.[-5,7] C.(-∞,-5]∪[7,+∞) [答案] D [解析] 当 x≤-3 时,|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x≥10,即 x≤-4,∴x≤ -4. 当-3<x<5 时,|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=8≥10,不成立,∴无解. 当 x≥5 时,|x-5|+|x+3|=x-5+x+3=2x-2≥10,即 x≥ 6,∴x≥6. 综上可知,不等式的解集为(-∞,-4 ]∪[6,+∞),故选 D. [点评] 可用特值检验法,首先 x=0 不是不等式的解,排除 A、B;x=6 是不等式的解, 排除 C,故选 D. 1 1 1 a b 3.(文)已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M<N C.M=N [答案] B 1 [解析] ∵0<a< ,∴ab<1,a>0,b>0, B.M>N D.不确定 ) B.[-4,6] D.(-∞,-4]∪[6,+∞) ) B.2 D.-2 )

b

1-a 1-b ∴M-N= + 1+a 1+b = ? 1-a? ? 1+b? +? 1+a? ? ? 1+a? ? 1+b? 1-b? = 2? 1-ab? >0, ? 1+a? ? 1+b?

∴M>N. (理)若 a, ∈(0, b +∞), a≠b, = 且 M

a b + , = a+ b, M, 的大小关系为( N 则 N b a

)

A.M>N C.M≥N [答案] A [解析] 解法一:∵a≠b,∴ ∴

B.M<N D.M≤N

a b + b>2 a, + a>2 b. b a

a b + b+ + a>2 a+2 b, b a a b + > a+ b.即 M>N,故选 A. b a



解法二:∵a>0,b>0,a≠b, ∴M-N= ?

a-b b-a + b a a- b? ab
? =



a-b? ?

a- b?

2

·?

a+ b?

ab

>0,

∴M>N. 4.(文)(2011·皖南八校联考)不等式|x+3|+|x-1|≥a -3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] C.[-2,5] [答案] A [解析] 由绝对值的几何意义易知:|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所以不等式|x+3| +|x-1|≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a -3a≤4,解得-1≤a≤4. (理)已知命题 p:? x∈R,|x+2|+|x-1|≥m,命题 q:? x∈R,x -2mx+m +m-3= 0,那么,“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 [答案] A [解析] 由绝对值不等式的几何性质可知, x∈R,x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)| ? | =3,故若命题 p 为真命题,则 m≤3;当命题 q 为真命题时,方程 x -2mx+m +m-3=0 有 根,则 Δ =(-2m) -4(m +m-3)=12-4m≥0,解得 m≤3;所以“命题 p 为真命题”是“命 题 q 为真命题”的充要条件. 5.若 a,b∈R 且 a≠b,则在①a +ab>2b ;②a +b >a b +a b ;③a +b ≥2(a-b-1); ④ + >2.这四个式子中一定成立的有( A.4 个
2 2 5 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-1]∪[4,+∞)

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b a a b

) B.3 个

C.2 个 [答案] D

D.1 个

b 2 9 2 2 2 [解析] ①中 a +ab-2b =(a+ ) - b >0 不一定成立, 2 4
②中 a +b -a b -a b =a (a -b )+b (b -a ) =(a -b )(a -b )=(a-b) (a+b)(a +ab+b ). 当 a+b<0 时,不等式不成立, ③中 a +b -2a+2b+2=(a-1) +(b+1) ≥0 故③成立,④中 ab<0 时不成立,故只 有③正确. 6.设 a、b、c 为正数,且 a+2b+3c=13,则 3a+ 2b+ c的最大值为( A. 169 3 13 3 3 B. 13 3 )
2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 5 5 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2

C.

D. 13

[答案] C [解析] ( a+2b+3c)[( 3) +1 +( ≥( 3a+ 2b+ c) , 169 2 ∵a+2b+2c=13,∴( 3a+ 2b+ c) ≤ , 3 13 3 ∴ 3a+ 2b+ c≤ , 3 当且仅当
2 2 2

1 3

)]

2

a
3



2b 3c = 取等号, 1 1 3

3 1 13 3 又∵a+2b+2c=13,∴a=9,b= ,c= 时, 3a+ 2b+ c取最大值 . 2 3 3 7.(文)(2011·西安市八校联考)如果关于 x 的不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集不是空 集,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-1,+∞) [解析] 设 y=|x-3|-|x-4|,则

?-1,x≤3 ? y=?2x-7,3<x<4 ?1,x≥4 ?

的图象如图所示:

由图象可知-1≤y≤1, ∴当 a>-1 时,不等式的解集不是空集. (理)(2011·郑州二检)不等式|x+1|-|x-2|>k 的 解集为 R,则实数 k 的取值范围为 ________. [答案] (-∞,-3) [解析] 解法一:根据绝对值的几何意义,设数 x,-1,2 在数轴上对应的点分别为 P、

A、B,则原不等式等价于|PA|-|PB|>k 恒成立.∵|AB|=3,∴-3≤P(A)-P(B)≤3,∴|x
+1|-|x-2|的最小值为-3.故当 k<-3 时,原不等式恒成立.

?-3,x≤-1 ? 解法二: y=|x+1|-|x-2|, y=?2x-1,-1<x<2, 令 则 ?3,x≥2 ?
恒成立,从图象中可以看出,只要 k<-3 即可.故 k<-3 满足题意.

要使|x+1|-|x-2|>k

8.已知 a、b∈R+,且 a+b=1,则 4a+1+ 4b+1的最大值是________. [答 案] 2 3

[解析] ∵a、b∈R+,a+b=1, ∴ 4a+1+ 4b+1 ≤ 2[? 4a+1?
2

+?

4b+1?

2

]=2 3.

9.设 m=a b +5,n=2ab-a -4a,若 m>n,则实数 a,b 满足的条件是________. [答案] ab≠1 或 a≠-2 [解析] ∵m-n=a b +5-(2ab-a -4a) =a b -2ab+1+a +4a+4 =(ab-1) +(a+2) >0, ∴ab≠1 或 a≠-2. 10.(2010·江苏)设 a、b 为非负实数,求证:
2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

a3+b3≥ ab(a2+b2).
[解析] ∵a,b 是非负实数, ∴a +b - ab(a +b )=a
5 3 3 2 2 2

a( a- b)+b2 b( b- a)
5

=( a- b)(( a) -( b) ). 当 a≥b 时, a≥ b,∴( a) ≥( b) , ∴( a- b)(( a) -( b) )≥0; 当 a<b 时, a< b,∴( a) <( b) , ∴( a- b)(( a) -( b) )>0. ∴a +b ≥ ab(a +b ).
3 3 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5

11.(文)(2011·课标全国文,24)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0, (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集. (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. [解析] (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤=-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为 {x|x≥3 或 x≤-1}. (2 )由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式化为不等式组?
?x≥a, ? ?x-a+3x≤0, ?

或?

?x≤a, ? ?a-x+3x≤0, ?

?x≥a, ? 即? a ?x≤4, ?

?x≤a, ? 或? a ?x≤-2. ?

因为 a>0,所以 x≤- , 2

a

所以原不等式的解集为{x|x≤- }. 2

a

由题设可得- =-1,故 a=2. 2 (理)(2011·大同市高三模拟)已知函数 f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a-1>0(a∈R); (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围. [解析] (1)不等式 f(x)+a-1>0 即|x-2|+a-1>0, 当 a=1 时,解集为(-∞,2)∪(2,+∞); 当 a>1 时,解集为 R; 当 a<1 时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞) (2)f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方, 即为|x-2|>-|x+3|+m 对任意实数 x 恒成立, 即|x-2|+|x+3|>m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得 m<5, 即 m 的取值范围是(-∞,5). 12. (文)(2011·山西省四校联考)设对于任意实数 x, 不等式|x+7|+|x-1|≥m 恒成立. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式|x-3|-2x≤2m-12. [解析] (1)设 f(x)=|x+7|+|x-1|,

a

?-6-2x,x≤-7 ? 则有 f(x)=?8,-7<x<1 ?2x+6,x≥1 ?
当 x≤-7 时,f(x)有最小值 8, 当-7<x<1 时,f(x)恒等于 8, 当 x≥1 时,f(x)有最小值 8, 综上可知,f(x)有最小值 8, 所以 m≤8. (2)当 m 取最大值 8 时, 原不等式等价于:|x-3|-2x≤4. 即?
? ?x≥3 ? ?x-3-2x≤4 ? ?x<3 或? ? ?3-x-2x≤4

.



1 解得 x≥3 或- ≤x<3. 3 1 所以原不等式的解集为{x|x≥- }. 3

(理)(2011·开封市模拟)已知函数 f(x)=|x-7|-|x-3|. (1)作出函数 f(x)的图象; (2)当 x<5 时,不等式|x-8|-|x-a|>2 恒成立,求 a 的取值范围.

?4,? x≤3? , ? [解析] (1)∵f(x)=?10-2x,? 3<x<7? , ?-4? x≥7? , ?
图象如图所示:

(2)∵x<5,∴|x-8|-|x-a|>2,即 8-x-|x-a|>2, 即|x-a|<6-x,对 x<5 恒成立. 即 x-6<x-a<6-x 对 x<5 恒成立, ∴?
?a<6 ? ? ?a>2x-6

对 x<5 恒成立.

又∵x<5 时,2x-6<4,∴4≤a<6. ∴a 的取值范围为[4,6).

x y z 1 1 1 13.已知 x,y,z 均为正数,求证: + + ≥ + + . yz zx xy x y z
[证 明] 所以 + 因为 x,y,z 都为正数,

x y 1 x y 2 = ( + )≥ . yz zx z y x z y z 2 z x 2 ≥ , + ≥ , zx xy x xy yz y

同理可得 +

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2 得,

x y z 1 1 1 + + ≥ + + . yz zx xy x y z
14.(2011·福建质检)已知 a,b 为正实数. (1)求证: + ≥a+b;

a2 b2 b a

? 1-x? (2)利用(1)的结论求函数 y=

2

x



(0<x<1)的最小值. 1-x

x2

[解析] (1)证法一:∵a>0,b>0, ∴(a+b)( + )=a +b + + ≥a +b +2ab=(a+b) .
2 2 2

a2 b2 b a

2

2

a3 b3 b a

a2 b2 ∴ + ≥a+b,当且仅当 a=b 时等号成立. b a a2 b2 a3+b3-a2b-ab2 证法二:∵ + -(a+b)= b a ab
= = ?
[

a3-a2b-? ab2-b3? a2? a-b? -b2? a-b? = ab ab a-b?
2

?

a+b?

ab

.
2

? a-b? 又∵a>0,b>0,∴

?

a+b?

ab

≥0,

a2 b2 当且仅当 a=b 时等号成立.∴ + ≥a+b. b a
(2)解:∵0<x<1,∴1-x>0, ? 1-x? 由(1)的结论,函数 y=
2

x

+ ≥(1-x)+x=1. 1-x

x2

1 当且仅当 1-x=x 即 x= 时等号成立. 2 ? 1-x? ∴函数 y=
2

x

+ (0<x<1)的最小值为 1. 1-x

x2

1 1 x y 15.已知 a、b、x、y 均为正实数,且 > ,x>y.求证: > . a b x+a y+b [解析] 证法一:∵

x y bx-ay - = , x+a y+b ? x+a? ? y+b?

1 1 又 > ,且 a、b 均为正实数,

a b

∴b>a>0. 又 x>y>0,∴bx>ay. ∴

bx-ay x y >0,即 > . ? x+a? ? y+b? x+a y+b a b

1 1 证法二:∵ > >0,x>y>0, ∴ > >0,

x y a b

∴0< < ,∴0< ∴

a b x y

x+a y+b < . x y

x y > . x+a y+b

1. (2011·山东烟台调研)实数 x 满足 log3x=1+sinθ , x-1 |+|x-9|的值为( 则| A.8 C.0 [答案] A [解析] ∵-1≤sinθ ≤1, ∴log3x=1+sinθ ∈[0,2],∴1≤x≤9, ∴|x-1|+|x-9|=(x-1)+(9-x)=8,故选 A. 2.f(x)=2 x+3 1-x的最大值为( A.5 C. 13 [答案] C [解析] (2 x+3 1-x) ≤(2 +3 )[( x) +( 1-x) ]=13, ∴2 x+3 1-x≤ 13,等号在 4 即 x= 时成立. 13 3.已知 M=a +b ,N=ab+a+b-1,则 M,N 的大小关系为( A.M>N C.M≥N [答案] C [解析] ∵(a +b )-(ab+a+b-1)=a +b -ab-a-b+1 1 2 2 = (2a +2b -2ab-2a-2b+2) 2 1 2 2 2 2 = [(a -2ab+b )+(a -2a+1)+(b -2b+1)] 2 1 2 2 2 = [(a-b) +(a-1) +(b-1) ]≥0, 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.-8 D. 10

) B. D. 12 13 13 5 2 2

x
2



1-x , 3

)

B.M<N D.M≤N

∴a +b ≥ab+a+b-1,故选 C. 4 4.(2011·南昌调研)若不等式|x-2|+|x+3|≥a+ 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a

2

2

a

的取值范围是________. [答案] a<0 或 1≤a≤4 [解析] 令 y=|x-2|+|x+3| (x∈R), 4 易知 y≥5,由题意可知,a+ ≤5,

a

? a-1? 变形为

? a-4?

a

≤0,

解之得,a<0 或 1≤a≤4. 5.对任意 x∈R,|2-x|+|3+x|≥a -4a 恒成立,则 a 的取值范围是( A.-1≤a≤5 C.-1≤a<5 [答案] A [解析] 因为|2-x|+|3+x|≥5, 要使|2-x|+|3+x|≥a -4a 恒成立, 5≥a -4a, 即 解得-1≤a≤5.
2 2 2

)

B.-1<a≤5 D.-1<a<5

a b ? a+b? 6. (2011·豫南九校联考)若 a, 是正常数, ≠b, , ∈(0, b a x y +∞), + ≥ 则 x y x+y

2

2

2



a b 2 9 1 当且仅当 = 时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数 f(x)= + (x∈(0, ))的 x y x 1-2x 2
最小值为________. [答案] 25 [解析] 依据给出的结论可知 f(x)= 4 9 ? 2+3? + ≥ 2x 1-2x 2x+? 1-2x?
2

=25 等号在

2 = 2x

3 1 ,即 x= 时成立. 1-2x 5

a+b
7.若 a>0,b>0,则 p=(ab) [答案] p≥q 2 ,q=a ·b 的大小关系是________.
b a

a+ b
[解析] ∵a>0,b>0,∴p=(ab) 2 >0,q=a ·b >0,
b a

a+b
2

p ? ab? = q abba

a-b
=a 2

b - a
·b 2

?a? =? ? 2 ?b?

a-b
.

a-b a a-b ?a? 2 >1; 若 a>b,则 >1, >0,∴? ? b 2 ?b?
若 a<b,则 0< <1,

a b

a-b
2

<0,

?a? ∴? ? 2 ?b?

a-b
>1;

a -b a a-b ?a? 2 =1. 若 a=b,则 =1, =0,∴? ? b 2 ?b?

?a? ∴? ? 2 ?b?

a-b

≥1,即 ≥1.∵q>0,∴p≥q.

p q

[点评] 可运用特值法,令 a=1,b=1,则 p=1,q=1,有 p=q; 令 a=2,b=4,有 p=8 =512,q=2 ×4 =256,∴p>q,故填 p≥q.
3 4 2


相关文档

2013年高考数学总复习 12-3 不等式选讲测试 新人教B版
2013年高考数学总复习 12-1 几何证明选讲但因为测试 新人教B版
2013年高考数学总复习 7-1 不等式的性质及解法但因为测试 新人教B版
2013年高考数学总复习 7-2 基本不等式但因为测试 新人教B版
2013年高考数学总复习 12-3 不等式选讲 新人教B版
2013年高考数学总复习 12-1 几何证明选讲测试 新人教B版
2013年高考数学总复习 7-2 基本不等式 新人教B版
2013年高考数学总复习 12-3 不等式选讲课件 新人教B版
2013年高考数学总复习 基本不等式课件 新人教B版
2013年高考数学总复习 (7-2) 基本不等式课件 新人教B版
电脑版