高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第3课时)word教案[www.7cxk.net]

第三课时 一、教学目标: 导数的实际应用(三) 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题. 通 过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数, 解决一些生活中的优化问题.b5E2RGbCAP (二) 、新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下 几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关 系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的 函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导 数是一个有力的工具.p1EanqFDPw 利用导数解决优化问题的基本思路: 1 / 9 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答 案 (三) 、典例分析 作答 用导数解决数学问题 例 1、磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单 元通常被称为比特(bit) 。DXDiTa9E3d 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 ,每比特所占用的磁道长度不得小 于 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。RTCrpUDGiT 问题:现有一张半径为 的磁盘,它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域. (1)是不是 越小,磁盘的存储量越大?(2) 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外 面的磁道不存储任何信息)?5PCzVD7HxA 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 存储任何信息,故磁道数最多可达 ,且最外面的磁道不 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量, 。所以,磁盘总存储量 jLBHrnAILg 最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 × (1)它是一个关于 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 越小,磁盘的存储 量越大. (2)为求 令 的最大值,计算 ,解得 当 时, . ;当 时, . 因此 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 例 2、汽油的使用效率何时最高 2 / 9 我们知道,汽油的消耗量 系,汽油的消耗量 (单位:L)与汽车的速度 (单位:km/h)之间有一定的关 是汽车速度 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:xHAQX74J0X (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2)“汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析: 研究汽油的使用效率 (单位: L/m) 就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值. 如 果用 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 ,其中, 表示汽油消耗量(单位:L) , 的 表示汽油行驶的路程(单位:km) .这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求 最小值的问题.LDAYtRyKfE 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油 平均消耗率 (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 (单位:km/h) 之间有如图所示的函数关系 .Zzz6ZB2Ltk 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油 平均消耗率 (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 (单位:km/h) 之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.dvzfvkwMI1 解:因为 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的 . rqyn14ZNXI 斜率. 进一步发现, 当直线与曲线相切时, 其斜率最小. 在此切点处速度约为 90 因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小, 此时的车速约为 90 为 L.EmxvxOtOco 例 3、在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出售 x 单位产 品的收益称为收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。SixE2yXPq5 (1) 、如果 C(x)= ,那么生产多少单位产品时,边际 最 .从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即 ,约 低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)6ewMyirQFL (2) 、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利润最 3 / 9 大?kavU42VRUs 变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函 数关系式为 .求产量 q 为何值时,利润 L 最大?y6v3ALoS89 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产 量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.M2ub6vSTnP 解:收入 , 利润 令 ,即 ,求得唯一的极值点 答:产量为 84 时,利润 L 最大 (四) 、课堂练习:在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的

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