高考数学函数的应用题

函数的应用题
【热点聚焦】
最近几年的高试题,加强了对函数应用题的考查,主要的是将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、 一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数 类型增长的含义等等.

【基础知识】
运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法: 1)建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为函数问题; 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解,从而解决实际问题. 根据收集到的数据的特点建立函数模型,解决实际问题的基本过程:

【课前训练】
1.老师今年用 7200 元买一台笔记本.电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年计算机的价格 降低三分之一.三年后老师这台笔记本还值( A.7200× ( )

1 3 2 1 2 ) 元 B.7200× ( )3 元 C.7200× ( )2 元 D.7200× ( )2 元 3 3 3 3
+ + + -

2.化学上常用 pH 来表示溶液酸碱性的强弱,pH=-1g{c(H ) } ,其中 f(H )表示溶液中 H+的浓度.若 一杯胡萝卜汁的 c(H )=1× 10 5mol/L,则这杯胡萝卜汁的 pH 是( A.2 B.3 C.4 D.5 )

3.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长 10.4%,那么经过 x 年可以增长到原来的 y 倍,则函数 y =f(x)的图象大致为图中的( . )

4.邮局规定,邮寄包裹,在 5 千克内每千克 5 元,超过 5 千克按每千克 3 元收费,邮费与邮寄包裹重量的 函数关系式为____.

5.某工厂八年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法: (1)前三年中产量增长的速度越来越快; (2)前三年中产量增长的速度越来越慢; (3)三年后,这种产品停止生产了; (4)第三年后,年产量保持不变. 其中说法正确的是____.

【试题精析】
【例 1】(2007 年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如 是边长为 0 .4 米的正方形 ABCD , 点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上,△ CFE 、 四边形 AEFD 均由单一材料制成, 制成△ CFE 、 △ ABE 和四边形 AEFD 的每平方米价格之比依次为 3:2:1. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设, 深色阴影部分成四边形 EFGH . (1) 求证:四边形 EFGH 是正方形; (2) E、F 在什么位置时, 定制这批地砖所需的材料费用最省? 图 1 所示) △ ABE 和 的三种材料 能使中间的
图1

图2

【例 2】 (2003 北京春)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆 每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化为数学问题并加以解决. 【例 3】 (2000 全国卷)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿 市场售价与上市时间的关系用图 2—10 中(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 2—10 中(2)的抛物线表示.

(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ;写出图中(2)表示的种植成本与时间的 函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的 单位:元/102 ,kg,时间单位:天)

【评述】 本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的 能力. 【例 4】 (2001 上海卷)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次 的效果作如下假定:用 1 .... 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的

1 , 用水越多洗掉的农药量也越多, 但总还有农药残留在蔬菜上. 设 2

用 x 单位量的水清洗一次 以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x). .... (1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质; (3)设 f(x)=

1 ,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也 1 ? x2

可以把水平均分成 2 份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力.以及函数概念、性质和不等式证明的 基本方法. 【例 5】据世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为 2.5 亿,1600 年为 5 亿,1830 年为 10 亿,1930 年为 20 亿,1960 年为 30 亿,1974 年为 40 亿,1987 年为 50 亿,到 1999 年底,地球上的人口数达到了 60

亿. 请你根据 20 世纪人口增长规律推测, 到哪年世界人口将达到 100 亿?到 2100 年地球上将会有多少人口?

【例 6】(2007 年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的 变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的 注意力开始分散,设 f (t ) 表示学生注意力随时间 t (分钟)的变化规律( f (t ) 越大,表明学生注意力越集中),经 过实验分析得知:
?? t 2 ? 24t ? 100 0 ? t ? 10 ? f (t ) ? ?240 10 ? t ? 20 ?? 7t ? 380 20 ? t ? 40 ?

(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2)讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经过适当安排,老师能 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?

【针对练习】
1.(2007 年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服,假定每次能洗去污垢的

3 ,若要使存留的污垢不超过原有的 4

1%,则至少要漂洗( ) A.3 次 B.4 次 C.5 次 D.6 次 2.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,…,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个 数 y 与 x 的函数关系式是 ( ) Ay=2x(x∈N*) B.y=2x(x∈N*) C.y=2x+1(x∈N*) D.y=log2x(x∈N*) 3.对山东省某县农村抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率 49%,电视机拥有率 85%,洗衣机拥有率 44%, 至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占 63%,三种电器齐全的占 25%,那么一种电器也没有的相对贫 困户所占比例为 ( ) A.35% B.10% C.15% D.资料不全,难以判断 4.北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》 ,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小蜥蜴体长 15cm, 体重 15g,问:当小蜥蜴长到体长为 20cm 时,它的体重大约是( A.20g B.25g C.35g D.40g )

5.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 y 与水深入的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的 形状是……( )

6.1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为 20%,即储蓄利息的 20%由各银行储 蓄点代扣代缴, 某人在 1999 年 11 月 l 日存入人民币 1 万元, 存期 2 年, 年利率为 2.25%,则到期可净得本金和利息总计____元. 7.已知函数 f(x)的图象如右图,试写出一个可能的解析式____. 8.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999 年上海 市完成 GDP(GDP 是指国内生产总值)4035 亿元,2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%.若 GDP 与人口均按这样的 速度增长,则要使本市年人均(GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需____年. (按 1999 年本市常住人口 总数约 1300 万计算) 9.我国水资源相对贫乏,某市节水方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低 限量 pm3 时,只付基本费 8 元和每户每月定额损耗费 q 元;若用水量超过 pm3 时,除了付上述的基本费和损 耗外,超过部分每 m3 付 r 元的超额费,已知每户每月的定额损耗不超过 5 元,该市一家庭某季度的用水量支 付如下表:

月份 1 2 3

用水量(m3) 9 15 22

水费(元) 9 19 33

(1)写出水费 y(元)与用水量 x(m3)的函数关系式(这里的 p,q,r 可作为已知数) ; (2)根据数据表,求 p,q,r 的值.

10. 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元, 而每件产品的可变成本为 2500 元, 每件产品的售价为 3500 元. (1)分别求出总成本 y1、单位成本 y2、销售总收入 y3、总利润 y4 与总产量 x 的函数解析式; (2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益作出简单分析

第七节参考答案 【课前训练】 1.答案:B 再过一年降价为 2.答案:D 4.答案:f(x)= ? 解析:此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义.设原价为 1,一年后降价为

2 , 3

2 2 2 2 2 2 × ,……,三年后降价为 × × =( )3,故选 B. 3 3 3 3 3 3
3.答案:D 解析:y=(1+0.104%)x,如图 D

?5 x ?3x

( x ? 5) ( x>5)

5.答案: (2) (3) (4) 解析:从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢,所以(2)是正确的;三 年后总产量不变,说明没有新的产量增加,所以(3)或(4)都是正确的. 【试题精析】 【例 1】 (1) 证明: 图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90 ? 后得到, △ CFE 为等腰直角三角形,

? 四边形 EFGH 是正方形.
(2) 解:设 CE ? x ,则 BE ? 0.4 ? x ,每块地砖的费用为 W ,制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 三种材 料的每平方米价格依次为 3a、2a、a (元),则
W? 1 2 1 1 1 ? ? x ? 3a ? ? 0.4 ? (0.4 ? x) ? 2a ? ?0.16 ? x 2 ? ? 0.4 ? (0.4 ? x)? a 2 2 2 2 ? ?

? a x 2 ? 0.2x ? 0.24 ? a ( x ? 0.1) 2 ? 0.23 , 0 ? x ? 0.4 .
由 a ? 0 ,当 x ? 0.1 时, W 有最小值,即总费用为最省. 答:当 CE ? CF ? 0.1 米时,总费用最省. 【例 2】解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为: 3600 ? 3000 =12,所以这时租出 50 了 88 辆车. (2) 设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为: ( f x) = (100-

?

?

?

?

x ? 3000 x ? 3000 ) (x-150) - × 50, 50 50

1 x2 整理得:f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050.所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大 50 50
值为 f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元. 【例 3】解: (1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

?300 ? t ,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,

? 1 2 1 175 ? t ? t? ,0 ? t ? 200, ? ? 200 2 2 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300. ? 2 2 ? 200
当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=- 200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100,所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0, 200 1 (t-350)2+100,所以,当 t=300 时,h(t)取得区间 200

(200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从二月一 日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 【例 4】解: (1)f(0)=1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样. (2)函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质是:f(0)=1,f(1)= 在[0,+∞)上 f(x)单调递减,且 0<f(x)≤1. (3)设仅清洗一次,残留的农药量为 f1=
2

1 , 2

1 ,清洗两次后,残留的农药量为 1? a2

? ? ? 1 ? 16 1 16 a 2 (a 2 ? 8) f2= ? ,则 f1-f2= . ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2? ( 4 ? a ) 1 ? a ( 4 ? a ) ( 1 ? a )( 4 ? a ) ?1 ? ( ) ? ? 2 ?
于是,当 a>2 因此,当 a>2 当 0<a<2

2 时,f1>f2;当 a=2 2 时,f1=f2;当 0<a<2 2 时,f1<f2. 2 时,清洗两次后残留的农药量较少;当 a=2 2 时,两种清洗方法具有相同的效果;

2 时,一次清洗残留的农药量较少.

【例 5】解:题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差.因此寻找人口增长规律时不需 要,也不应该过分强调规律与数据完全吻合.数据中 20 世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准 确程度主要受到 20 世纪人口增长规律的影响,因而组建预报模型时,不必考虑 20 世纪以前的数据资料,在 20 世纪人口增长速度是逐渐变快的,因此用直线变化(匀速增长)建模做预报是不恰当的.做为人口增长的 模型,一般可以使用指数关系 N(t)=ae,其中 N(t)为 t 时人口数,a、r 为参数. 将 N(t)=aen 式取对数可得 lnN(t)=lna+rt,它是关于 t 的线性模型,这里 ln 为以 e 为底的对数.利用 1930~1999 年的数据可以得到 lna=-28.33,r=0.0162,a= e
?28 .33

=4.97× 10

-13



模型为 N(t)=4.97× 10

-13

e 0.0162 t (亿) (1930≤t≤1999) .
模型的拟合效果如下表(人口单位:亿) 年代 人口数 拟合数 1930 20 19.49 1960 30 31.70 1974 40 39.78 1987 50 49.11 1999 60 56.61

拟合效果较好,可用于预报. 令 N(t)=100,可求出 t=2030.84,故可知如果照此规律大约在 2031 年世界人口将达到 100 亿,而于 2100 年世界人口将达到 307 亿. 【例 6】(1)解:当 0<t≤10 时, f (t ) ? ?t 2 ? 24t ? 100 ? ?(t ? 12) 2 ? 244 是增函数,且 f (10) ? 240 当 20<t≤40 时, f (t ) ? ?7t ? 380 是减函数,且 f (20) ? 240 所以,讲课开始 10 分钟,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟 (2)解: f (5) ? 195,f (25) ? 205 ,所以,讲课开始 25 分钟时,学生的注意力比讲课开始后 5 分钟更集中 (3)当 0<t≤10 时,令 f (t ) ? ?t 2 ? 24t ? 100 ? 180 得: t ? 4 当 20<t≤40 时,令 f (t ) ? ?7t ? 380 ? 180 得: t ? 28.57 则学生注意力在 180 以上所持续的时间 28.57 ? 4 ? 24.57 ? 24 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题。 【针对练习】 1.答案:B 2.答案:B 解析:从第二年开始,每年的细胞数是前一年的 2 倍. 3.答案 B 解析:至少有一种家用电器的用户占[49+85+44-(63+25)]%=90%,故一种家用电器也没有的用 户占 10%. 4.答案:C 解析:假设小蜥蜴从 15cm 长到 20cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体 积与体长的立方成正比.记体长为 l 的蜥蜴的体重为 ?1 ,因此有 ? 20 = ? 15 该是 35g. 5. B 解析:本题要求根据上边函数关系的大约图象(粗略的) ,对图中四个形状容器可能相符的容器作出 判断, 这里没有数值的运算, 甚至没有严格的形式推理, 生活常识、 图形的变化趋势 (性质) 是判断的依据. 从

203 ,合理的答案应 ? 35.56(g) 153

H H 时变化状况与 到 H 变化状况相比,注水量在减少,符合这一性质 2 2 H V 的只有选项 B.此题也可取特殊值,取 h= 可知 V1> . 2 2
上图图象可见,若水深 h 从 0 变化到 6.答案:10364.05
2

解析:本金到期后本息和为 104(1+2.25%)2 元,扣除的利息税为[104(1+2.25%)

-104]× 20%,到期净得本金和利息总计为 104(1+2.25%)2-[104(1+2.25)2-104]× 20%=10364.05. 解析:根据图象的增长趋势,估计属于对数模型,再根据图象所过的已知点(10,3) ,

7.答案:y=lgx+2

写出 y=lgx+2. 8.答案:9 解析:假设需要 x 年,本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,x 年后上海市的 GDP 为

4035(1+9%)x,人口增长为 1300(1+0.08%)x, 人均 GDP 为

4035 4035 (1+9%) x 4035 (1+9%) x (1+9%) x ,令 = 2× ,即 =2. 1300 1300 (1+0.08 %) x 1300 (1+0.08 %) x (1+0.08 %) x

利用计算器或计算机得 x≈8.13, 根据图象或函数性质可知,

4035 (1+9%) x 于是随 x 增长而增长的.所以至少需要 9 年,本市人均 GDP 1300 (1+0.08 %) x

达到或超过 1999 年的 2 倍. 9.解: (1)设水费为 y(元) ,用水量为 x(m3) ,则得分段函数 ?

(0<x ? p) ?8+q ?8+q( x-y)r ( x>p)

(2)根据表中数据,可列式 8+q=9,q=1,若 8+q=19,q=11 与 q≤5 矛盾. 故?

-p)r+9= 19 ? p= 10 ?(15 ∴? r=2. 1 ?(22-p)r+9=33 ?q=

10.解: (1)y1=150+0.25x,y2=

150 ? 0.25x ,y3=0.35x,y4=0.1x-150. x (2)当 x<1500 时,该公司亏本;当 x=1500 时,该公司不赔不赚; 当 x>1500 时,该公司赢利.


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