2018年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法活页作业3北师大版选修4_5

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

活页作业(三)

绝对值不等式的解法

一、选择题 1 1 1.如果 <2 和|x|> 同时成立,那么实数 x 的取值范围是( x 3
? ? 1 1? A.?x?- <x< ? 2? ? ? 3 ? ? 1? C.?x?x> ? 2? ? ? ? ? 1 1? B.?x?x> 或x<- ? 2 3? ? ? ? ? 1 1? D.?x?x<- ,或x> ? 3 3? ? ?

)

1 1 解析:解不等式 <2,得 x<0 或 x> . x 2 1 1 1 解不等式|x|> ,得 x> 或 x<- . 3 3 3

? ? 1 1? ∴实数 x 的取值范围为?x?x> 或x<- ? 2 3? ? ?

.

答案:B 2.不等式 2<|2x+3|≤4 的解集为(
? ? 7 5 1 1? A.?x?- <x<- 或- <x≤ ? 2 2 2 2? ? ? ? ? 7 5 1 1? C.?x?- ≤x<- 或- <x≤ ? 2 2 2 2? ? ?

)
? ? 7 5 1 1? B.?x?- <x<- 或- <x< ? 2 2 2 2? ? ? ? ? 7 5 1 1? D.?x?- ≤x≤- 或- <x≤ ? 2 2 2 2? ? ?

解析:由 2<|2x+3|≤4,可得 2<2x+3≤4 或 -4≤2x+3<-2. 1 1 7 5 解得- <x≤ 或- ≤x<- . 2 2 2 2 答案:C 3. 关于 x 的不等式?

?ax-1?>a 的解集为集合 M, 且 2?M, 则实数 a 的取值范围为( ? ? x ? ?1 ? B.? ,+∞? ?4 ? ? 1? D.?0, ? ? 2?

)

?1 ? A.? ,+∞? ?4 ? ? 1? C.?0, ? ? 2?
解析:因为 2?M,所以 2∈?RM.

1

所以?

?2a-1?≤a,即-a≤2a-1≤a.解得 a≥1. ? 2 4 ? 2 ?
)
? ? ? 7 B.?x?x> 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

答案:B 4.不等式|3-x|+|x+4|>8 的解集是(
? ? ? 9 A.?x?x<- 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 9 7 ? C.?x?x<- 或x> 2 2 ? ? ?

D.R

? ?x≤-4, 解析:|3-x|+|x+4|>8?? ?3-x-x-4>8 ? ?-4<x<3, ? ? ?3-x+x+4>8 ? ? ?x≥3, ? ?2x>7. ?


?-4<x<3, ? 或? ?7>8 ?

或?

?x≥3, ? ?x-3+x+4>8 ?

?x≤-4, ? ?? ?-1-2x>8 ?



9 7 ∴x<- 或 x> . 2 2
? ? 9 7? ∴原不等式的解集为?x?x<- 或x> ? 2 2? ? ?

.

答案:C 二、填空题
? ? ? 5 1 5.若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x?- <x< 3 3 ? ? ? ? ? ?,则 a=________. ? ?

5 1 解析:由原不等式的解集,可知- , 为原不等式对应的方程 |ax- 2|= 3 的根,即 3 3

?-5a-2?=3, ? ? ?? ? 3 ? ? ?1 ? a-2?=3. ?? ? ?3 ?
解得 a=-3. 答案:-3 6.已知函数 f(x)=|2x-1|+x+3,若 f(x)≤5,则实数 x 的取值范围是________. 解析:由已知,有|2x-1|+x+3≤5,即|2x-1|≤2-x.所以 x-2≤2x-1≤2-x,
?2x-1≤2-x, ? 即? ?2x-1≥x-2, ?

即?

?x≤1, ? ?x≥-1. ?

所以-1≤x≤1.

答案:[-1,1]

2

三、解答题 7.已知一次函数 f(x)=ax-2. (1)当 a=3 时,解不等式|f(x)|<4; (2)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (3)若关于 x 的不等式|f(x)|≤3 对任意 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=3 时,f(x)=3x-2, 所以|f(x)|<4?|3x-2|<4?-4<3x-2<4? 2 -2<3x<6?- <x<2. 3
? ? ? 2 所以原不等式的解集为?x?- <x<2 ? ? ? 3 ? ? ?. ? ?

(2)|f(x)|<4?|ax-2|<4?-4<ax-2<4?-2<ax<6.
? ? ? 2 6 当 a>0 时,原不等式的解集为?x?- <x< ? ?

? a ?a

a

? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?

? ? ?6 2 当 a<0 时,原不等式的解集为?x? <x<- ? ?

a

(3)|f(x)|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3? -1≤ax≤5??
? ?ax≤5, ?ax≥-1. ?

因为 x∈[0,1], 所以-1≤a≤5. 所以实数 a 的取值范围为[-1,5].

? 5? 8.已知对区间?0, ?内的一切实数 a,满足关于 x 的不等式|x-a|<b 的 x 也满足不等 ? 4?
1 2 式|x-a |< ,试求实数 b 的取值范围. 2 解:设 A={x||x-a|<b},

B=?x?|x-a |<
2

? ? ? ?

? ?

1 2

? ? ?, ? ?

则 A={x|a-b<x<a+b,b>0},
2 ? 2 B=?x?a - <x<a +

? ? ? ?

?

1 2

1 2

? ? ?. ? ?

5 由题意,知当 0<a≤ 时,A? B. 4

3

a-b≥a - , 2 ? ? 1 所以?a+b≤a + , 2 5 ? ?0<a≤4.
2

1

2

1 1 2 2 所以 b≤-a +a+ 且 b≤a -a+ . 2 2 5 因为 0<a≤ , 4 1 12 3 ? 3 3? 1 ? 1?2 1 ?1 13? 2 2 所以-a +a+ =-a- + ∈? , ?,a -a+ =?a- ? + ∈? , ?. 16 4 2 2 4 ? 2 ? 2? 4 ?4 16? ? 3 1 3 所以 b≤ 且 b≤ .从而 b≤ . 16 4 16 3? ? 故实数 b 的取值范围为?0, ?. ? 16?

一、选择题 1.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若 A? B,则实数 a,

b 必满足(

) B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3

A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 解析:由|x-a|<1,得 a-1<x<a+1. 由|x-b|>2,得 x<b-2 或 x>b+2. ∵A? B,∴a-1≥b+2 或 a+1≤b-2. ∴a-b≥3 或 a-b≤-3.∴|a-b|≥3. 答案:D

2.若关于 x 的不等式|2x+1|-|x-4|≥m 恒成立,则实数 m 的取值范围为( A.(-∞,-1] 9? ? C.?-∞,- ? 2? ? 解析:设 F(x)=|2x+1|-|x-4| 5? ? B.?-∞,- ? 2? ? D.(-∞,-5]

)

4

-x-5,x<- , 2 ? ? 1 =? 3x-3,- ≤x≤4, 2 ? ?x+5,x>4. 1 3 9 如图所示,F(x)min=- -3=- . 2 2 9 故 m≤F(x)min=- . 2

答案:C

二、填空题

? 1? 2 3.已知 a∈R,若关于 x 的方程 x +x+?a- ?+|a|=0 有实根,则实数 a 的取值范围 ? 4?
是________.

? 1? 2 解析:∵关于 x 的方程 x +x+?a- ?+|a|=0 有实根, ? 4?
1 ?? 1? ? ? 1? 2 ∴Δ =1 -4??a- ?+|a|?≥0,即?a- ?+|a|≤ . 4 ?? 4? ? ? 4? 1 根据绝对值的几何意义,知 0≤a≤ . 4

? 1? 答案:?0, ? ? 4?
4.若函数 f(x)是 R 上的减函数,且函数 f(x)的图像经过点 A(0,3)和 B(3,-1),则不 等式|f(x+1)-1|<2 的解集是________. 解析:∵|f(x+1)-1|<2,∴-2<f(x+1)-1<2,即-1<f(x+1)<3.∴f(3)<f(x +1)<f(0). ∵函数 f(x)在 R 上是减函数, ∴0<x+1<3.解得-1<x<2. 答案:{x|-1<x<2} 三、解答题

5

5.如图所示,点 O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点.设

x 表示点 C 与原点的距离, y 表示点 C 到点 A 的距离的 4 倍与点 C 到点 B 的距离的 6 倍之和.

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,实数 x 应该在什么范围内取值? 解:(1)依题意,得 y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30. (2)由题意,得 x 满足
?4|x-10|+6|x-20|≤70, ? ? ? ?0≤x≤30.

(*)

当 0≤x≤10 时,不等式组(*)化为 4(10-x)+6(20-x)≤70,解得 9≤x≤10. 当 10<x<20 时,不等式组(*)化为 4(x-10)+6(20-x)≤70,解得 10<x<20. 当 20≤x≤30 时,不等式组(*)化为 4(x-10)+6(x-20)≤70,解得 20≤x≤23. 综上,实数 x 的取值范围是[9,23]. 6.已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若关于 x 的不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤

x≤5},求实数 a 的值;
(2)在(1)的条件下,若关于 x 的不等式 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 解:法一 (1)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3. 解得 a-3≤x≤a+3. 又关于 x 的不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以?
?a-3=-1, ? ? ?a+3=5.

解得 a=2.

(2)由(1),得 a=2,f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5),于是 -2x-1,x<-3, ? ? g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ? ?2x+1,x>2. 所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5;

6

当 x>2 时,g(x)>5. 综上,函数 g(x)的最小值为 5. 从而若关于 x 的不等式 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围为(-∞,5]. 法二 (1)同法一. (2)由(1),得 a=2,f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立),得函数

g(x)的最小值为 5.
从而若关于 x 的不等式 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围为(-∞,5].

7


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