景德镇市2016届高三第三次质检试题数学(理)参考答案

一选择题、1-5、

景德镇市 2016 届高三第三次质检试题 数 学(理)答案
D A D B C 6-10、 B B A C C 11-12、 D C

二、填空题:13、 6 14、 (? 3 , 4) 15、 6 16、 ( 2 , 3 ) 55

三、解答题

17. 解 :( 1 )

a2 n ?1

? 3an?1an

?

2an2

?

0 ?(an?1

? 2an )(an?1

? an )

?

0

? an?1

?

2an



? ? an?1 ? an 又 数列 an 是非常数数列? an?1 ? 2an 又 a1 ? 1? an ? 2n?1(n ? N *) 3 分

111 ???
b1 b2 b3

1 ?
bn

?

n2 ;当 n ?1 时, 1 b1

? 1?b1

?1;

当 n ? 2 时, 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? n2 ,? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? (n ?1)2 ,

b1 b2 b3

bn

b1 b2 b3

bn?1

?1 bn

? n2

? (n ?1)2

? 2n ?1 ? bn

?

1 2n ?

1

?

bn

?

1 (n ? N*) 2n ?1

6分

(2)

cn

?

an bn

? (2n ?1)2n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ? 1?1? 3? 2 ? 5? 22 ? ? (2n ?1)2n?1

8分

?2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ? (2n ?1)2n

??Tn ? 1?1? 2 ? (2 ? 22 ? 23 ? ? 2n?1) ? (2n ?1)2n

10 分

? 1? 2? 2? (1? 2n?1) ? (2n ?1)2n ? (3 ? 2n)2n ? 3 1? 2

?Tn ? ( 2n ? 3 )n2?

18.(1)由 2t ?100 ? 200 ? t ?150 当 t ? 150时, k ? 50 , P(t ? 150) ? 50 ? 0.5 100

312 分
5分

(2)设 xi ? ln ti ,则 x ? 7, y ? 600 b ? 42500 ? 42000 ? 50 , a ? y ? bx ? 600 ? 5? 7 ? 250 500 ? 490 y ? 250 ? 50ln t

12 分

19.(1)设 OE ? a 则 CE ? 2a 又 OE ? EC ? 3

?a ?1, CO ?

3 , SABEF

? 7 ,?VC?ABEF

? 1 OC 3

S

? ABEF

7 3

3

(2)分别以 OA 、 OB 、 OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系

则 A(3, 0, 0), B(0,3, 0), C(0, 0, 3) , E(0, ?1, 0), F(2, ?1, 0)

EF ? (2, 0, 0), EC ? (0,1, 3) , CA ? (3, 0, ? 3),CB ? (0,3, ? 3)

设 n 为平面 CEF 的法向量

??n ?

EF

?

0

?

n

?

(0, ?

3,1)

??n EC ? 0

mn

c o s? ?

?0

mn

设 m 为平面 ABC 的法向量

??m ?

CA

?

0

?

m

?

(1,1,

3)

??m CB ? 0

6分 12 分

20.(1) 2a ? AF1 ? AF2 ? 4 , a ? 2 ,设 A(x, y) , F2 (c, 0)

???(x ? ?(x ??

? c)2 ? c)2

? ?

y2 y2

? ?

(7)2 3 (5)2 3

?

cx

?

2 3

,由

x

?

c

?

5 3



? ?

x

?

??c

?2 3
?1



?x ? ???c

?1 ?2
3

(舍去)

3分

b2 ? a2 ? c2 ? 3,椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1,抛物线方程为 y2 ? 4x

6分

43

(2)①若直线 ON 的斜率不存在,

ON ? 2 3 , OM ? 2 , MN ? 4

OM ON

d?

?3

8分

MN

②若直线 ON 的斜率存在

设直线 OM

方程为:

y

? kx

代入

x2 4

?

y2 3

?1得 x2

?

12 3 ? 4k 2

y2

?

12k 2 3 ? 4k 2

直线 ON 的方程为 y ? ? 1 x 代入 y ? 2 3 得 N (?2 3k, 2 3) k

MN

2

?

ON

2

?

OM

2

?

12(1? k 2 ) 3 ? 4k 2

?

(?2

3k)2 ? (2

3)2

MN

2

?

48(1? k 2 )2 3 ? 4k 2

设原点 O 到直线 l 的距离为 d

MN

d ? OM

ON

? d2

?

OM 2 ON 2 MN 2

?3

d? 3

原点 O 到直线 l 的距离为定值 3

12 分

21.(1) f ?( x) ? ax ? 2a ? 1 ? ax2 ? 2ax ? 1 ( x ? 0) f ?( x) ? 0 ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,

x

x

?

?? ? 4a2 ? 4a ? 0

所以

? ?

x1

?

x2

?

2

?

0

,所以 a ?1.所以 a 的取范围为 (1, ??)

?

? ?

x1

x2

?

1 a

?

0

5分

(2)由 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? a ?

a2 a

?

a

,

x2

?

a

?

a2 ? a , a

∵ 1 ? a ? 2 ,∴ x2 ? 1 ?

1? 1 ?1? a

2. 2



f

( x) 在 ( x2 ,??)

上单调递增,∴

f

(x)

在[9 5

, 2] 上单调递增.

∴在[9 , 2] 上, 5

f ( x)max

?

f (2) ?

?2a

?

ln 2 .

8分

所以,“存在

x0

?[9 5

, 2] ,使不等式

f

(x0 )

?

ln(a

?

1)

?

m(a 2

?

1)

?

(a

?

1)

?

2 ln

2

恒成立”

等价于“不等式 ? 2a ? ln 2 ? ln(a ? 1) ? m(a 2 ? 1) ? (a ? 1) ? 2 ln 2 恒成立”,

即,不等式 ln(a ? 1) ? ma 2 ? a ? m ? ln 2 ? 1 ? 0 对任意的 a (1 ? a ? 2 )恒成立.

令 g(a) ? ln(a ? 1) ? ma 2 ? a ? m ? ln 2 ? 1 ,则 g(1) ? 0 .

g?(a) ? 1 ? 2ma ? 1 ? ? 2ma 2 ? 2ma ? a .

a?1

a?1

①当

m

?

0

时,

g?(a)

?

?

2ma 2 ? 2ma a?1

?

a

?

0



g(a)

在 (1,2)

上递减.

g(a)

?

g(1)

?

0

.

②当 m

?

0

时,

g?(a)

?

?

2ma(a a

?1? ?1

1 2m

)



若 1 ? ? (1 ? 1 ) ,记 t ? min(2,?1 ? 1 ) ,则 g(a) 在 (1, t) 上递减.

2m

2m

10 分

在此区间上有 g(a)

?

g(1)

?

0

,不合题意.因此有

??m ? 0

???? 1 ?

1 2m

,解得 m ?1

?

?1, 4

所以,实数

m

的取值范围为

(??,?

1 4

]



12 分

22、(1)连结 OD , ?ODB ? ?ABC ? ?ACB 由 DF ? AC 得 ?ODB ? ?FDC ? 90?, OD ? DF (2) BE AC ? BC AD ? BE ? 24
5

23.解:(1)曲线

M



?x

? ?

y

? 1? sin 2? ? 2sin? ? 2cos?

(?

为参数)即

y2

?

4x

5分 10 分

又 x ?1? sin 2? ??0,2?

? y2 ?4 x( x?? 0 ,?2 )

曲线 N 的极坐标方程为: ? cos(? ? ? ) ? 2 t (其中 t 为常数),化为直角方程 42
为 x? y ?t 因为曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,曲线 M 是抛物线的一部分,所以曲线 N 与 曲线 M 相交于一点或相切于一点,?2 ? 2 2 ? t ? 2 ? 2 2 或 t ? ?1 5 分
(2)当 t ? ?4 时,曲线 N 即 x ? y ? 4 ? 0 ,当直线与曲线 M 相切时,由(1)知 t ? ?1. 故曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离,即直线 x? y?4?0 和直线

x ? y ?1 ? 0 之间的距离,为 4 ?1 ? 3

2
.

22

10 分

??1(x ? 1)

24.(1)

f

?x?

?

??2x ? 3(1 ? ??1(x ? 1)

x

?

2)

,所以解集为

? ?

x

?

x

?

7?

4

? ?

5分

(2) 由题意得

f

?x?

?

t2

?t



x ??1, 2? 上有解,故

f

?x? max

?

t2

?t

当 x ??1, 2? f ? x? ? 2x ? 3 f ? x?max ? 1

t2 ?t ?1

解得: 1? 5 ? t ? 1? 5

2

2

10 分


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