2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式课件理_图文

第2讲

同角三角函数基本关系式 与诱导公式

最新考纲

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=

sin α π 1, =tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± 2 cos α

α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知识梳理
1.同角三角函数的基本关系

sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:________________. sin α ? ? π = tan α ? ? cos α (2)商数关系:______________ ?α ≠ 2 +kπ ,k∈Z?. ? ? 2.三角函数的诱导公式

公式



2kπ+α (k∈Z)






π-α


π 2 -α


π +α 2

π+α -α

正弦

sin α

-sin α _______ -sin α _______ sin α cos α _______ _____ -cos α ______ -cosα ______ - tan α ______ - cos α ______

cos α ____

余弦

cos α

sin α - sin α ______ _____

正切

tan α

tan α _____

-tan α _______
函数名改变,符 号看象限

口诀

函数名不变,符号看象限

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.(

精彩PPT展示
) )

(1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.(

(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中 π 的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变 化.( ) )

1 1 (4)若 sin(kπ-α)=3(k∈Z),则 sin α=3.(

解析 (1)对于 α∈R,sin(π+α)=-sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时,sin α=3, 1 当 k 为偶数时,sin α=-3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(2017· 泰安模拟)sin 600° 的值为( 1 A.- 2 3 B.- 2

) 1 C. 2 3 D. 2

解析

sin 600° =sin(360° +240° )=sin 240° =sin(180° +60° ) 3 =-sin 60° =- 2 .

答案 B

3.已知 2 A.-5

?5π ? 1 sin? 2 +α?=5,那么 ? ?

cos α=( 1 C.5

) 2 D.5

1 B.-5

解析

?5π ? ?π ? ∵sin? 2 +α?=sin?2+α?=cos ? ? ? ?

α,

1 ∴cos α= .故选 C. 5
答案 C

? π ? 1 ? 4.已知 sin(π -α)=log84,且 α∈?- ,0? ?,则 tan(2π -α)的 2 ? ?

值为( 2 5 A.- 5

) 2 5 C.± 5 1 2 sin(π-α)=sin α=log8 =- , 4 3 2 5 B. 5 5 D. 2

解析 又

? π ? ? α∈?- ,0? ?,得 2 ? ?

5 cos α= 1-sin α= , 3
2

sin α 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = 5 . cos α

答案 B

sin α+cos α 5.(必修 4P22B3 改编)已知 tan α=2,则 的值为________. sin α-cos α

tan α+1 2+1 解析 原式= = =3. tan α-1 2-1
答案 3

考点一 同角三角函数基本关系式的应用
5 【例 1】 (1)(2015· 福建卷)若 sin α=-13,且 α 为第四象限角, 则 tan α 的值等于( ) 12 12 5 5 A. 5 B.- 5 C.12 D.-12 1 5π 3π (2)(2017· 贵阳模拟)已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α- 8 4 2 sin α 的值为( ) 3 3 3 3 A.- 2 B. 2 C.-4 D.4

3 (3)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan α=4,则 cos2α+2sin 2α=( ) 64 48 16 A.25 B.25 C.1 D.25
5 解析 (1)∵sin α=-13,且 α 为第四象限角, 12 sin α 5 2 ∴cos α= 1-sin α= ,∴tan α= =- ,故选 D. 13 cos α 12 5π 3π (2)∵ <α< ,∴cos α<0,sin α<0 且 cos α>sin α, 4 2 ∴cos α-sin α>0. 1 3 2 又(cos α-sin α) =1-2sin αcos α=1-2×8=4, 3 ∴cos α-sin α= . 2

2 cos α+2sin 2α 1+4tan α 64 3 2 (3)tan α= ,则 cos α+2sin 2α= = = . 4 cos2α+sin2α 1+tan2α 25

答案 (1)D (2)B (3)A
规律方法 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互

sin α 化,利用cos α=tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α, sin α-cos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知 一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α.

【训练 1】 (1)已知 sin α-cos α= 2, α∈(0, π), 则 tan α=( 2 A.-1 C. 2 D.1 1 (2)若 3sin α+cos α=0,则 2 的值为( cos α+2sin αcos α 10 5 2 A. 3 B.3 C.3 D.-2
解析
? ? ?

)

2 B.- 2

)

? ?sin α-cos α= 2, (1)由? 2 得 2 ? ?sin α+cos α=1,

2cos2α+2 2cos α+1=0,

2 ?2 ? 2cos α + 1 即 ? =0,∴cos α=- 2 .又 α∈(0,π), 3π 3π ∴α= ,∴tan α=tan =-1. 4 4

1 (2)3sin α+cos α=0?cos α≠0?tan α=-3, cos2α+sin2α 1+tan2α 1 = = cos2α+2sin αcos α cos2α+2sin αcos α 1+2tan α
? 1?2 1+?-3? ? ?



2 1-3

10 =3.

答案 (1)A (2)A

考点二 诱导公式的应用
【例 2】 (1)化简:sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° ); (2)求值: 2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) 设 f(α)= (1+ ? ? ? ? 3π π 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ? ? 23π? 2sin α≠0),求 f ?- 6 ?的值. ? ?



(1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°=

- sin(3×360 °+ 120 ° )cos(3×360 °+ 210 ° ) - cos(2×360 °+ 300°)sin(2×360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°

= - sin(180 ° - 60 ° )cos(180 ° + 30 ° ) - cos(360 ° - 60°)· sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2=1.

(-2sin α )(-cos α )+cos α (2)∵f(α)= 1+sin2α +sin α -cos2α 2sin α cos α +cos α cos α (1+2sin α ) 1 = = = , 2 2sin α +sin α sin α (1+2sin α ) tan α
? 23π ∴f? ?- 6 ? ? ? ?= ?

1 1 1 ? 23π ?= ? ?= π π ? ? ? ? tan?- ? tan?-4π + 6 ? tan 6 6 ? ? ? ?

= 3.

规律方法 (1)诱导公式的两个应用

①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π的整数倍的 三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算,

如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.

sin(kπ +α) cos(kπ +α) 【训练 2】(1)已知 A= + (k∈Z), sin α cos α 则 A 的值构成的集合是( A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} ) B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}
? 3π ? -α)sin?-α+ 2 ? ? ? ? ?

tan(π -α)cos(2π (2)化简: cos(-α-π )sin(-π -α)

=______.

解析

sin α cos α (1)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α

-sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α
-tan α·cos α·(-cos α) (2)原式= cos(π+α)· [-sin(π+α)] sin α ·cos α cos α tan α·cos α·cos α = = =-1. -cos α·sin α -sin α

答案 (1)C (2)-1

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的活用
?5 ? 3 ? π+α?=________. 【例 3】 (1)已知 ,则 tan 3 ?6 ? ?5π ? 1 π ? ? (2)(2017· 衡水模拟)已知 cos 12+α = ,且-π<α<- ,则 2 ? ? 3 ?π ? cos?12-α?等于( ) ? ? 2 2 1 A. 3 B.3 1 2 2 C.-3 D.- 3 ?π ? tan?6-α?= ? ?

解析

?5π ? ?π ? (1)∵? 6 +α?+?6-α?=π, ? ? ? ?

?5π ? ? ?π ?? ?π ? ∴tan? 6 +α?=tan?π-?6-α??=-tan?6-α?=- ? ? ? ? ?? ? ? ?5 ? ?π ? π (2)因为?12π+α?+?12-α?= , ? ? ? ? 2

3 3.

所以

?? ?π ? π ?π ? ?5π ? cos?12-α?=sin?2-?12-α??=sin?12+α?. ? ?? ? ? ? ? ?

π 7π 5π π 因为-π<α<-2,所以-12<α+12<-12. ?5π ? 1 π 5π π 又 cos?12+α?= >0,所以- <α+ <- , 2 12 12 ? ? 3 ?5π ? ?5π ? ?1?2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 所以 sin 12+α =- 1-cos 12+α =- 1- 3 =- . 3 ? ? ? ? ? ?

答案

3 (1)- 3

(2)D

规律方法

π π π π (1)常见的互余的角:3 -α 与 6 +α;3 +α 与 6 -

π π α; +α 与 -α 等. 4 4 π 2π π 3π (2)常见的互补的角: 3 +θ 与 3 -θ; 4 +θ 与 4 -θ 等.

【训练 3】 (1)已知

?π ? 1 sin?3-α?=2,则 ? ?

?π ? cos?6+α?=________. ? ?

(2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x,当 0≤x<π 时, ?23π? f(x)=0,则 f ? 6 ?=( ) ? ? 1 3 1 A.2 B. 2 C.0 D.-2

解析

?π ? ?π ? π (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

?? ?π ?π ?π ? ?π ? 1 ∴cos?6+α?=cos?2-?3-α??=sin?3-α?=2. ? ?? ? ? ? ? ?

(2)由 f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π) ?23 ? ?11 ? =f(x)+sin x-sin x=f(x),所以 f ? 6 π?=f ? 6 π+2π? ? ? ? ? ?11 ? ? ?5 ? 5 ? 5 =f ? 6 π?=f ?π+6π?=f ?6π?+sin π. 6 ? ? ? ? ? ? ?23 ? 1 1 ? ? π 因为当 0≤x<π 时,f(x)=0.所以 f 6 =0+ = . 2 2 ? ?

1 答案 (1)2 (2)A

[思想方法] 1. 同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要 用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简 和证明,已知一个角的某一三角函数值,求这个角的其 它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用.

2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方 sin x 法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tan x=cos x进行切化弦或 asin x+bcos x 弦化切,如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可 csin x+dcos x 进行弦化切.(2)和积转换法: 如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化 .(3) 巧用 “1” 的变换: 1 = sin2θ + cos2θ = cos θ(1+tan
2 2

θ)=sin2θ?1+
?

?

1 ? π ? tan2θ?=tan 4=?.

[易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的

三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注 意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.


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