高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切 课堂导学 三点剖析 1.二倍角与降幂公式 ? ? 1 ? +x)sin( -x)= ,x∈( ,π ),求 sin4x 的值. 6 4 4 2 ? ? ? 思路分析:注意到 +x+ -x= ,可用诱导公式变形后计算. 4 4 2 ? ? 1 解:由 sin( +x)sin( -x)= 可得 6 4 4 ? ? 1 1 ? 1 sin( +x)cos( +x)= ,即 sin( +2x)= , 6 2 6 4 4 2 ? 1 1 ∴sin( +2x)= ,即 cos2x= . 3 3 2 ? 又∵x∈( ,π ),∴2x∈(π ,2π ). 2 【例 1】 已知 sin( ∴sin2x= ? 1 ? ( ) ? ? 2 1 3 2 2 . 3 ∴sin4x=2sin2xcos2x= ? 4 2 . 9 友情提示 在应用二倍角的同时,也用诱导公式或同角的三角函数关系. 各个击破 类题演练 1 5 ? ,α ∈( ,π ),求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值. 13 2 5 ? 解析:∵sinα = ,α ∈( ,π ), 13 2 已知 sinα = ∴cosα = ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 5 13 12 , 13 5 12 120 ×( ? )= ? , 13 169 13 5 2 119 2 cos2α =1-2sin α =1-2×( )= , 13 169 sin 2? 120 169 120 ?? ? ?? tan2α = . cos 2? 169 119 119 ∴sin2α =2sinα cosα =2× 变式提升 1 (2006 上海高考,文 6) 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是___________. 解析:化简,得 y= 1 sin2x, 2 1 ∴T=π . 答案:π 2.二倍角公式的变式应用 【例 2】已知 cos( ? 3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x +x)= , <x< ,求 的值. 5 12 4 4 1 ? tan x 2 2 sin x sin(x ? 2 cos(x ? 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值,再由条件求出这些值. 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 2 sin x(sin x ? cos x) 解:原式= ? ? sin x cos x ? sin x 1? cos x cos x ? Sin2xtanx(x+ ). 4 ? 3 17? 7? ∵cos( +x)= , <x< , 5 12 4 4 ? 4 ∴sin(x+ )= ? 4 5 ? 4 Tan(x+ )= ? , 3 4 ? sin2x=-cos( +2x) 2 ? 7 2 =-[2cos ( +x)-1]= . 25 4 7 4 28 ∴原式= ×( ? )= ? . 25 3 75 友情提示 分析角与角的关系,如 突破口. 类题演练 2 求下列各式的值 : ? ? 4 ) cos x ) 4 ? ? -x 与 +x 互为余角;2x 是 x 的倍角.角的关系往往是解题的 4 4 ? ? ? ? -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 1 2? (2) -cos . 2 8 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 解析:(1)(cos -sin )(cos +sin )=cos -sin 12 12 12 12 12 12 (1)(cos =cos ? 3 = . 6 2 (2) 1 1 2? 2? -cos = ? (2cos -1) 2 8 2 8 1 ? 2 cos = ? . 2 4 4 2 =? 变式提升 2 已知 θ ∈( A. ? 5? 3? 1 , ),|cos2θ |= ,则 sinθ 的值是( 4 2 5 B. ) 10 5 10 5 C. ? 15 5 D. 15 5 5? 3? 5? , ),∴sinθ <0,且 2θ ∈( ,3π ). 4 2 2 1 ∴cos2θ <0.∵|cos2θ |= , 5 1 ∴cos2θ =- . 5 解析:∵θ ∈( 由 cos2θ =1-2sin θ , 得 sin θ = 2 2 1 ? cos 2? 3 ? , 2 5 ∴sinθ = ? 15 . 5 ∴应选 C. 答案:C 3.升降幂公式的应用 6 6 【例 3】 求函数 y=sin x+cos x 的最值. 3 3 2 2 2 2 思路分析:见“高次”降为“低次”,利用 a +b =(a+b)(a -ab+b )和 sin x+cos x=1 求解. 6 6 解:y=sin x+cos x 2 2 4 2 2 4 =(sin x+cos x)(sin x-sin xcos x+cos x) 2 2 2 2 2 =(sin x+cos x) -3sin xcos x =1-3sin xcos x=1= 2 2 3 2 sin 2x 4 5 3 ? cos4x, 8 8 k? ∴当 x= (k∈Z)时,y 取最大值为 1. 2 k? ? 1 当 x= + (k∈Z)时,y 取最小值 . 2 4 4 友情提示 遇到高次就降幂, sin x+cos x=1,sin x= 2 2 2 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 2 ,cos x= 都起到了降幂的 2 2 作用,在应用 cos2α 公式变形时,当心出现符号错误. 类题演练 3 4 4 已知函数 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈[0, ? ],求 f(x)的最大值、最小值. 2 4 4 解:(1)因为 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x 3 =(cos x+sin x)(cos x-

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