2014高三大一轮复习学案—2.13 定积分概念及微积分原理

第十三节 定积分概念及微积分原理
【知识要点】 1:定积分的概念 (1)定义:如果函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分 点 a ? x0 ? x1 ?

数,其中 c 为常数。 一般地,原函数在 [ a, b] 上的改变量 F (b) ? F (a) 简记作

F ( x) a , 因 此 , 微 积 分 基 本 定 理 可 以 写 成 形 式 :

b

? xi ?1 ? xi ? xn ? b 将 区 间 [a ,b ]等

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) .

b

分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点

?i (? ? 1,2, , n) ,作和 Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1

n

b?a f (?i ) , n i ?1
n

说明:求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也 就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数 . 由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算. 4:定积分的几何意义 ( 1 )设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连 续,在 [ a, b] 上,当 f ( x ) ? 0 时,定 积分

当 n ?? 时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫 做函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分.记作 即

?

b

a

f ( x)dx ,

?

b

a

f ( x)dxSn ? lim ?
n ??

b?a f (?i ) ,这里, a 与 b 分 n i ?1
n

?

b

a

f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线

f ( x) 以及直线 x ? a, x ? b 与 x 轴围
成的曲边梯形的面积;如图(1)所示; (2)在 [ a, b] 上,当 f ( x) ? 0 时,由曲线 f ( x ) 以及直

别叫做积分下限与积分上限,区间 [ a, b] 叫做积分区间, 函数 f ( x ) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫 做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近 似代替;③求和;④取极限. 2:定积分的性质 (1) (2) (3)

线 x ? a, x ? b 与 x 轴围成的曲边梯形位于 轴下方, 定 积分

?

b

a

f ( x)dx 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

(3)在 [ a, b] 上,当 f ( x ) 既取正 值又取负值时, 定积分

?
?

b

a b

; kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k 为常数)
a b 1 2 a

b

?

b

a

f ( x)dx 的

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
a
b c a a

, f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ;
a
b c

b

几何意义是曲线 f ( x ) ,两条直线

x ? a, x ? b 与 x 轴所围成的各部
分面积的代数和. 在 x 轴上方的面积积分时取正号,在 x 轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示. 5:应用 (一)应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如 图 , 由 三 条 直 线 x ? a, x? b, x 轴 ( 即 直 线

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(a ? c ? b)

(4)利用函数的奇偶性求积分: 若函数 f ( x) 在区间 [?b, b] 上是奇函数,则 若函数 f ( x) 在区间 [?b, b] 上是偶函数,则

?

b

?b

f ( x)dx ? 0 ;

?

b

?b

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
0

b

y ? f ( x) ? 0) 及一条曲线 y ? f ( x) ( f ( x) ? 0 )围成的
曲边梯形的面积: S ?

3:微积分基本定理
' 如 果 F ( x)? f ( x) , 且 f ( x ) 在 [ a, b] 上 连 续 , 则

?

b

a

f ( x)dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ;
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ,其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函

' 数.由于 [ F ( x) ? c] ? f ( x) ,F ( x) ? c 也是 f ( x ) 的原函

1

2. 如 图 , 由 三 条 直 线 x ? a, x ? b , x 轴 ( 即 直 线 及一条曲线 y ? f ( x) ( f ( x) ? 0 )围成的 y ? f ( x) ? 0 ) 曲边梯形的面积:S ? ?

A.

2 gt0 3

2 B. gt0

C.

2 gt0 2

D.

2 gt0 6

?

b

a

f ( x)dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ;
a

b

3. 曲线 y ? cos x, x ?[0, A.4 4. B.2
1 x

3 ? ] 与坐标周围成的面积 ( ) 2 5 C. D.3 2


? (e
0

? e? x )dx =(
B. 2e C.

A. e ? 3.如图,由曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) 及直线 x ? a, x ? b 围成图形的面积公式为:

1 e

2 e

D. e ?

1 e

5.求由 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积时, 若选择 x 为积分变量,则积分区间为( ) A. [0, e ] B. [0,2] C. [1,2] D. [0,1] 【考点讲评】
2

S ? ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

b

b

b

y1 ? f ( x)

例 1.计算由曲线 y ? x 与直线 x ? 0, x ? 1, x 轴所围

y1 ? g ( x)
4.利用定积分求平面图形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大 致图像; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定 积分的上、下限; (3)写出定积分表达式; (4)求出平面图形的面积。 (二)利用定积分解决物理问题 1.变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 S ,等于其速度函 数 v ? v(t )(v(t ) ? 0) 在 时 间 区 间 [ a ,b ]上 的 定 积 分 , 即

成的图形的面积。

S ? ? v(t )dt ;
a

b

变 式 1 - 1 : 计 算 由 曲 线 y ? x ? 3x ? 4 与 直 线
2

2.变力作功 物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动,并且物体沿着 与 F ( x) 相同的方向从 x ? a 移动到 x ? b ( a ? b ) ,那 么变力 F ( x) 所作的功 S ? 【课前自测】 1.下列等于 1 的积分是 A. 轴所围成的图形的面积。 x ? 0 , x? 4 ,x

?

b

a

F ( x)dx .

1 0



?

1

0

xdx B. ? ( x ? 1)dx C. ? 1dx
0

1

D.

?

2 .已知自由落体运动的速率 v ? gt ,则落体运动从

1 dx 0 2
1

t ? 0 到 t ? t0 所走的路程为 (



2

变式 1-2: 计算由曲线 y ? x2 ?1 与直线 x ? 0, x ? 2, x 轴所围成的封闭图形的面积。

规律总结: 在公共积分区间[a,b]上, 当 f1(x)>f2(x)时, 曲边梯形的面 积为 S ? ? ( f 1 ( x) ? f 2 ( x))dx ? ;
a b

(曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分) 例 3:计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 围图形的面积 S.

2 x 以及 x 轴所

规律总结:1.求平面图形的面积的五个步骤: (1)作图象; (2)求积分区间(交点) ; (3)确定被积 函数; (4)用定积分表示所求的面积; (5)用微积分基 本定理求面积。 2.常见图形面积与定积分的关系

变式 3-1:计算由直线 y ? 6 ? x ,曲线 y ? 8x 以及
(1)当 f ( x) ? 0 时,S= ; (2)当 f ( x) ? 0 时,S= ; x 轴所围图形的面积 S.

(3) 当 a ? x ? c ,f ( x) ? 0 , c ? x ? b , f ( x) ? 0 时, S=|

2 2 例 2. 计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的图形

的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两 条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

变式 2-1: 求直线 y ? x ? 2 , 曲线 y ? 围成的图形面积。

x 以及 x ? 0 所

规律总结:分割型图形面积的求解时,可将积分区间进 行细化分段,然后根据图象对每个区段分别求面积进而 求和,在每个区段上被积函数均是由上减下。

3

【课后检测】 1、阴影部分的面积为( ) A. B. C. D.

10.求由曲线 y ? 面积。

1 x , y ? 2 ? x, y ? ? x 所围成图形的 3

?

b

a b

f ( x)dx g ( x)dx

?

a b

? ? f ( x) ? g ( x)? dx
a

? [ g ( x) ? f ( x)]dx
0

a

2.曲线 y=sinx(-?≤x≤2?)与 x 轴所围成的封闭区域的 面积为( ) A.0 B.2 C.-2 D.6 y y=2x 3.图中阴影部分的面积为( ) A.2 3 B.- 2 3 C.

32 3

D.

35 3

O

x y=3-x2

4. 若两曲线 y ? x2 与 y ? cx3 (c ? 0) 围 成的图形面积是

1 A. 3

2 ,则 c 等于( ) 3 1 2 B. C.1 D. 2 3

3 题图

强化练习 2 11.有一直线与抛物线 y=x 相交于 A,B 两点,AB 与抛物线 所围成的图形的面积恒等于 迹方程.

5.(2013 北京)直线 l 过抛物线 C: x2 ? 4 y 的焦点且 与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )

4 ,求线段 AB 的中点 P 的轨 3

A.

4 3

B. 2 C.

8 3

D.

16 2 3

6. 一次函数 f(x) 图象经过点 (3,4), 且 f (x)dx ? 1 , 则
0

?

1

f(x)的表达式为 . 2 7. 由曲线 y=x +1,x+y=3,及 x 轴 ,y 轴所围成的区域的面积 为: . 8. 如图 , 直线 y=kx 分抛物线 2 y=x-x 与 x 轴所围成图形为面 积 相 等 的 两 部 分 , 则 k= .
2

8 题图

9.求抛物线 y ? x 与直线 x+y=2 所围图形的面积.

4

【课后检测答案】 1、解:选 C. 2.解:选 D.三块区域的面积都是 2,故总面积为 6. y 3. 解:选 C.可计算到两交点的横坐 y=2x 标 为 -3,1, 所 以 S=

得 x=a+1,y=a +2a+2,消去参数 a,可得 y=x +1,∴线段 AB 2 的中点 P 的轨迹方程为 y=x +1.

2

2

?

1

?3

[(3 ? x 2 ) ? 2x ]dx =

32 . 3

O

x y=3-x2

4. 解:选 B. 5. 解:选 C. 6. 解 : 设 f(x)=kx+b, 则 3k+b=4,

3 题图

? f (x)dx ? ? (kx ? b)dx ? 2 ? b ? 1
0 0

1

1

k

?k=

2 6 6 2 ,b= .∴f(x)= x+ . 5 5 5 5

7. 解:S= (1 ? x 2 )dx ? (3 ? x)dx ?
0 1
2

?

1

?

3

10 。 3

8. 解 : 抛 物 线 y=x-x 与 x 轴 所 围 成 图 形 面 积

1 2 ,直线 y=kx 与抛物线 y=x-x 的交点 6 1? k (1 ? k ) 3 2 ( x ? x ? kx ) dx ? 的横坐标为 x=0,1-k,∴S= ? , 0 6 3 (1 ? k ) 3 1 4 又 S=2S? ? 2 ? ?k=1. 6 6 2
S= (x ? x 2 )dx ?
0

?

1

? y ? x2 9.解:由 ? 解得 ? y ? ?x ? 2

? x ? ?2 ? x ? 1 或? . 于是两 ? ?y ? 4 ?y ?1
曲线的交点坐标是 A(-2,4) ,B(1,1) 。 9 题图 设两曲线所围成的封闭图形的面积是 第 S,则
1 1 11 S ? ? [(? x ? 2) ? x 2 ]dx ? (? x 2 ? 2 x ? x 2 ) |2 ? ? 2 ?2 2 6 11 ? 抛物线 y ? x 2 与直线 x+y=2 所围图形的面积是 . 6 13 10.答案: 6

强化练习 11. 解 : 如 图 13 所 示 , 设 抛 物 线 上 的 两 点 为 2 2 A(a,a ),B(b,b ), 不妨设 a<b, 直线 y AB 的方程为 :y=(a+b)x-ab, 设它与 抛物线所围成的图形的面积为 S,则 B S=

1 4 3 ?a [(a ? b)x ? ab ? x ]dx ? 6 (b ? a) ? 3
b 2

A O 13 题图 x

?b-a=2(※),设 AB 的中点 P(x,y), 则 x=

a ?b a?b , y= ,由(※)式 2 2
2 2

5


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