江苏省淮安市2012-2013学年高一数学下学期期中试题苏教版

2012-2013 学年高一下学期期中考试数学试题
一.填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分,答案写在答卷纸上) 1、等差数列 {an } , a1 ? 0, 公差 d ? 2、 sin 75 ?
2
?

1 ,则 a8 ? 7



.

▲ .

3、不等式 ? 2 x ? x ? 6 ? 0 的解集是

▲ ▲

4、在 ?ABC 中,如果 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC =

5、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且边 a ? 4, c ? 3 ,则△ABC 的面积等于 ▲ 6、{an}是等比数列, a1 ? 1, 公比 q=2,那么 a5=______________ 7、{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9= 8、已知 sin( ▲

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3
2



9、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n —7n, 且满足 16<ak+ak+1<22, 则正整数 k= 10、若正数 x, y 满足



1 4 ? ? 1 ,则 xy 的最小值是 x y



11、一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60 ,另一灯塔在船的南偏西 75 ,则这艘船 是每小时航行___ _▲ 12、 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a , b , c ,给出下列命题: ①若 sin B cosC ? ? cos B sin C ,则 ?ABC 一定是钝角三角形;
0 0

②若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 一定是直角三角形;
2 2 2

1

③若 b cos A ? a cos B ,则 ?ABC 为等腰三角形; ④在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ; 其中正确命题的序号是 ▲ . (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

13、已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,S n 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ? S n ? 中的唯 一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ▲ 14、设函数 f ( x) ? x ?

1 ,若对任意 x ? [ 2, ??) , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 x
▲_

m 的取值范围是

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本大题 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab , 当 x ? (? 3 , 2时 , f ( x )? 0, 当 )
2

x ? ( ? ? ?? , 3)

( 2 ?时,) f ( x) ? 0 . ,?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R ,求 c 的取值范围;
2

16、 (本大题 14 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?
an ,若 b1 , b2 b4 成等差数列,求出 t 的值 an ? t

17、 (本大题 15 分) 已知 tan

?
2

?2,

2

(1)求 tan? 的值;

sin 2? ? cos 2 ? (2)求 tan(? ? ) 的值; (3)求 的值. 1 ? cos 2? 4

?

18、 (本大题 15 分) 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin Acos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C

19、 (本大题 16 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部 门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放

a(1 ? a ? 4 ,且 a ? R) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (天)变化

? 16 ? 8 ? x ? 1 (0 ? x ? 4) ? 的函数关系式近似为 y ? a ? f ( x) ,其中 f ( x) ? ? . ? 5 ? 1 x (4 ? x ? 10) ? ? 2
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度 之和.根据经验, 当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?

3

(Ⅱ) 若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天 中能够持续有效治污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).

20、 (本大题 16 分) 已知数列 ? an ? 的奇数项是公差为 d1 的等差数列,偶数项是公差为 d 2 的等差数列, S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a2 ? 2 . (1)若 S5 ? 16, a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N ,有 an ? an ?1 恒成立,求证:数列 ? an ? 是等
?

差数列; (3)若 d1 ? 3d 2 (d1 ? 0) ,且存在正整数 m 、 n(m ? n) ,使得 am ? an .求当 d1 最 大时,数列 ? an ? 的通项公式。

4

5

18.解: (1)由正弦定理,得 sin A ? a . sin B b 从而 2sin Acos C ? sin B 可化为 2a cos C ? b . …………………………3 分
2 2 2 由余弦定理,得 2a ? a ? b ? c ? b . 2ab

6

整理得 a ? c ,即 a ? 1 . ……………………………………………………7 分 c (2)在斜三角形 ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin(2 A ? B) ? 3sin B 可化为 sin ? ? ? ? A ? C ? ? ? 3sin ?? ? ? A ? C ? ? , ? ? ? ? 即 ? sin ? A ? C ? ? 3sin ? A ? C ? .……………………………………10 分 故 ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) . 整理,得 4sin Acos C ? ?2cos Asin C , ………………………12 分 因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 0 , 所以 tan A ? ? 1 .………………………………………15 分 tan C 2

7

所以 4 a ? [4,8],故当且仅当 14 ? x ? 4 a 时,y 有最小值为 8 a ? a ? 4 ………14 分 令 8 a ? a ? 4 ? 4 ,解得 24 ? 16 2 ? a ? 4 ,所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6 …16 分 20.(本大题 16 分)

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