18版高中数学计数原理5.2二项式系数的性质学案北师大版2_31802222170

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5.2
学习目标

二项式系数的性质

1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系

数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.

知识点 二项式系数的性质 (a+b) 的展开式的二项式系数,当 n 取正整数时可以表示成如下形式:
n

思考 1 同一行中,系数有什么规律?

思考 2 相邻两行,系数有什么规律?

梳理 “杨辉三角”蕴含的规律 (1)在同一行中,每行两端都是 1. (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和.即二项式系数满足 组合数的性质 Cn+1=Cn +Cn. (3)与首末两端“____________”的两个二项式系数相等, 即二项式系数具有对称性, 即 Cn= ________. 特别提醒: 1.二项式系数性质类似于组合数的两个性质 (1)Cn=Cn . (2)Cn+1=Cn +Cn.
1
r r-1 r r n-r r r r-1 r

2.从二项式系数表中可以看出(a+b) 的展开式中二项式系数先增加,后减少,各二项式系 数的和等于 2 ,即 Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 .
n
0 1 2

n

n

n

类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 如图所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:

1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S16 的值.

引申探究 本例条件不变,若改为求 S21,则结果如何? 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

跟踪训练 1 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左至右的 第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3.

类型二 求展开式的系数和

2

例 2 设(2- 3x) =a0+a1x+a2x +…+a100x ,求下列各式的值. (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100) -(a1+a3+…+a99) ; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
2 2

100

2

100

反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b) ,(ax +bx+c) (a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数 之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可;对(ax+by) (a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式各 项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x +…+anx ,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…= 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+…=
9 2

n

2

m

n

n

f f

+f - 2 -f - 2

, .

跟踪训练 2 在二项式(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.

3

类型三 二项式系数性质的应用 3 2 2 n 例 3 已知 f(x)=( x +3x ) 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b) 中的 n 进行讨论. ①当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大. ②当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的, 需要根据各项系数的正、 负变化 情况进行分析.如求(a+bx) (a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设 展开式中各项系数分别为 A0,A1,A2,…,An,且第 r+1 项最大,应用? 即得出系数的最大项. 1 n 2 7 跟踪训练 3 已知(x - ) 展开式中的二项式系数的和比(3a+2b) 展开式的二项式系数的和
?Ar≥Ar-1, ? ?Ar≥Ar+1, ?
n n

解出 r,

x

4

1 n 2 大 128,求(x - ) 展开式中的系数最大的项和系数最小的项.

x

1.(1+2x) 的展开式中各项系数的和为( A.3
10

10

)

B.2

10

C.-1 D.1
5

2.在(1+x) (n∈N+)的二项展开式中,若只有 x 的系数最大,则 n 等于( A.8 B.9 C.10 D.11 3.观察图中的数所成的规律,则 a 所表示的数是( )

n

)

A.8 B.6 C.4 D.2 4.设(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则 a0+a1+a2+a3 的值为________. 5.已知(1-x) 的展开式,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数最小的项.
8 4 2 3 4

5

1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根 据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为 0、1 或-1,但在解决具体问题 时要灵活掌握. 3.注意以下两点:(1)区分开二项式系数与项的系数. (2)求解有关系数最大时的不等式组时,注意其中 r∈{0,1,2,…,n}.

6

答案精析 问题导学 知识点 思考 1 两端都是 1,与两端 1 等距离的项的系数相等. 思考 2 在相邻两行中, 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和, 即 Cn+1=Cn + Cn. 梳理 (3)等距离 Cn 题型探究 例 1 解 由题意及杨辉三角的特点可得
n-r r r r-1

S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)
=(C2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4)+…+(C9+C9) =(C2+C3+C4+…+C9)+(2+3+…+9) =C10+ 引申探究 解
1 2 1 2 1 S21 = (1 + 2) + (3 + 3) + (6 + 4) +…+ (55 + 11) + 66 = (C 2 2 + C 2 ) + (C 3 + C 3 ) + (C 4 + C 4 ) 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

+ 2

=164.

+…+(C11+C11)+C12=(C2+C3+C4+…+C12)+(2+3+…+11) =C13+
3

+ 2

=286+65=351.

跟踪训练 1 34 例 2 解 (1)令 x=0,则展开式为 a0=2 . (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3) ,① ∴a1+a2+…+a100=(2- 3) -2 . (3)令 x=-1,可得
100 100 100 100

a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.②
与①联立相减得

a1+a3+…+a99
= - 3
100

- 2

+ 3

100

.

(4) 原式= [(a0 + a2 +…+ a100) + (a1 + a3 +…+ a99)]·[(a0 + a2 +…+ a100) - (a1 + a3 +…+

a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2- 3)(2+ 3)]100
=1 =1.
100

7

(5)∵Tr+1=(-1) C1002 ∴a2k-1<0(k∈N+).

r r

100-r

( 3) x ,

r r

∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3) . 跟踪训练 2 解 设(2x-3y) =a0x +a1x y+a2x y +…+a9y . (1)二项式系数之和为 C9+C9+C9+…+C9=2 . (2)各项系数之和为 a0+a1+a2+…+a9, 令 x=1,y=1, 所以 a0+a1+a2+…+a9=(2-3) =-1. (3)令 x=1,y=-1,可得
9 0 1 2 9 9 9 9 8 7 2 9

100

a0-a1+a2-…-a9=59,
又 a0+a1+a2+…+a9=-1, 5 -1 将两式相加可得 a0+a2+a4+a6+a8= , 2 5 -1 即所有奇数项系数之和为 . 2 例 3 解 令 x=1,则二项式各项系数的和为 f(1)=(1+3) =4 ,又展开式中各项的二项 式系数之和为 2 .由题意知,4 -2 =992. ∴(2 ) -2 -992=0, ∴(2 +31)(2 -32)=0, ∴2 =-31(舍去),或 2 =32,∴n=5. (1)由于 n=5 为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间的项,它们分别为 T3=C5
2
3 2 2 6 3 2 9 9

n

n

n

n

n

n 2

n

n

n

n

n

2
2 2 3

22

( x 3 ) ·(3x ) =90x ,T4=C5( x 3 ) ·(3x ) =270 x 3 . (2)展开式的通项公式为 Tr+1=C5·3 · x
r r

2 (5 ? 2 r ) 3

假设 Tr+1 项系数最大,
?C53 ≥C5 3 , ? 则有? r r r+1 r+1 ?C53 ≥C5 3 , ?
r r r-1 r-1

? ? ∴? ? ?

5! ×3≥ -r !r! 5! ≥ -r !r!

5! -r ! r- 5! -r ! r+

, ! ×3, !

3 1 ? ?r≥6-r, 即? 1 3 ?5-r≥r+1, ?

7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4, 2 2

8

∴展开式中系数最大的项为

T5=C x (3x ) =405 x .
4 5 2 4

2 3

26 3
7

跟踪训练 3 解 2 -2 =128,n=8, 1 8 1 r 2 r 2 8-r (x - ) 的通项 Tr+1=C8(x ) ·(- )

n

x

x

=(-1) C8x

r r 16-3r

.
4

当 r=4 时, 展开式中的系数最大, 即 T5=70x 为展开式中的系数最大的项; 当 r=3 或 5 时, 展开式中的系数最小,即 T4=-56x ,T6=-56x 为展开式中的系数最小的项. 当堂训练 1.A 2.C 3.B 4.-15 5.解 (1)因为(1-x) 的幂指数 8 是偶数,所以由二项式系数的性质知,中间一项(即第 5 项)的二项式系数最大,该项为 T5=C8(-x) =70x . (2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定. 由题意知第 4 项和第 6 项系数相等且最小, 分别为
3 3 5 5 5 T4=C3 8(-x) =-56x ,T6=C8(-x) =-56x . 4 4 4 8 7

9


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