(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题08 数列定义及其性质的应用(学)

(寒假总动员)2015 年高三数学寒假作业 专题 08 数列定义及其性质的应用 (学)
学一学------基础知识结论 1.数列的概念 (1)定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个数列 的第 1 项,通常也叫做首项. 数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N (或它的 有限子集 {1, 2, ???, n} )为定义域的函数
*

an ? f (n) ,当自变量按照从

小到大依次取值时所对应的一列函数值.

3, ? ?有)意 义 , 那 么 我 们 可 以 得 到 一 个 数 列 反 过 来 , 对 于 函 数 y ? f ( x) , 如 果 y ? f ( i) ( i? 1, 2 , ? f (1), f (2), f (3), ???, f (n), ???
(3)数列的通项公式 如果数列

{an } 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.

(4)数列的分类 数列的递推公式 如果已知数列

{an } 的第 1 项(或前 n 项) a a ,且任何一项 n 与它的前一项 n ?1(或前几项)间的关系可以用一 an ? f (an?1 ) 或 an ? f (an?1, an?2 ) ,那么这个式子叫做数列 {an } 的递推公式.

个式子来表示,即 3.

an 与 Sn 的关系

1

? S1 , n ? 1 an ? ? {a } S ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2 若数列 n 的前 n 项和为 n ,则
4.两种特殊数 列 定义: (1)等差数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差用通常的字母 d 表示. 数学语言表达式:

an?1 ? an ? d (n ? N * ) , d 为常数.

(2)等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比用通常的字母 q ( q ? 0 )表示.

an ?1 ?q a n 数学语言表达形式: ( q ? 0 ), q 为常数.
通项公式 等差数列的通项:等差数列 等比数列的通项:等比数列 前 n 项和公式 等 差 数 列 : 若 已 知 等 差 数 列

{an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则其通项公 式为 an ? a1 ? (n ?1)d .
{bn } 的首项为 b1 ,公比为 q ( q ? 0 ),则其通项公式为 bn ? b1qn?1 ( q ? 0 ).

{an } 的 首 项 a1 和 末 项 an , 公 差 是 d . 则 前 n 项 和

Sn ?

n(a1 ? an ) 1 ? na1 ? n(n ? 1)d 2 2 .

备注:两个 公式根据所给的已知条件选用,渗透方程的思想. 等比数列:若已知等比数列

{bn } 的 首 项 为 b1 , bn . 公 比 为 q ( q ? 0 ). 则 前 n 项 和

?nb1 (q ? 1 ) ? Tn ? ? b1 ? bn b1 ( 1 ? q n ?1 ) ? (q ? 1 ) ? 1? q 1? q ?
备注:两个公式根据所给的已知条件选用,渗透方程的思想. 常用性质(以下 m, n, p, q ? N )
*

等差数列 等差中项: 通项推广:

等比数列

2an ? an?1 ? an?1 an ? am ? (n ? m)d

等比中项:

bn2 ? bn?1bn?1
bn ? bmqn?m

通项推广:

a ? an ? ap ? aq 若 m?n ? p?q则 m

b b ? bpbq 若m?n ? p?q则 m n
2

数列 数列

ak , ak ?m, ak ?2m , ???

.的公差为 md

数列 数列

bk , bk ?m,bk ?2m , ???

.的公比是 q

m

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 也是等差数列

Tm , T2m ? Tm , T3m ? T2m , ??? 也是的等比数列(公

比不为 1)

S2 n ?1 ? (2n ? 1)an

若数列

{bn },{cn } ( 项 数 相 同 ) 是 等 比 数 列 , 则

a 1 2 {?bn }(? ? 0),{ },{an },{anbn },{ n } cn bn
仍是等比数列

若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则

S偶 -S奇 =

nd 2 ;

S奇 -S偶

=中间项.

学一学------方法规律技巧 两类特殊问题 解决 与数列周期性有关的题目,关键是找出数列的周期.

? an ? an ?1 ? a ? an ?1 {a } 求数列最大项的方法:①判断 n 的单调性;②解不等式组 ? n ,求数列最小项依此类推.
常用方法 1.由递推式求通项

an 的方法:

an?1 ? an ? f (n) 型,采用累加法;
an?1 ? f ( n) an 型,采用累乘法;

an?1 ? pan ? q( p ? 0) 型,采用待定系数法转化为等比数列解决.

两点提醒: 1. n 的范围是否包 括了首项或超过了范围. 2.应用等比求和时要关注公比 的 情况,加强对所写的的代数式的存在性的判断.
3

q


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