三角函数公式的总结

三角函数公式的总结

解答三角高考题的一般策略: (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化。 三角函数恒等变形的基本策略: (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配 凑角:α=(α+β)-β,β=

α+β
2



αβ
2

等。

(3)降次,即二倍角公式降次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5)引入辅助角。asinθ+bcosθ= a + b sin(θ+ ),这里辅助角 所在象限由 a、
2 2

b 的符号确定, 角的值由 tan =
2 2 2

b 确定。 a
2

例 1、 化简 sin α sin β + cos α cos β

1 cos 2α cos 2 β 2

分析: 分析:对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现: (1)次数为 2(有降次的可能) ; (2)涉及的角有α、β、2α、2β, (需要把 2α化为α,2β化为β) ; (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一) ; (4)共有 3 项(需要减少) 由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。 , 解法一: 解法一: (复角 → 单角,从“角”入手)

原式 = sin 2 α sin 2 β + cos 2 α cos 2 β

1 (2 cos 2 α 1)(2 cos 2 β 1) 2

1 = sin 2 α sin 2 β + cos 2 α cos 2 β (4 cos 2 α cos 2 β 2 cos 2 α 2 cos 2 β + 1) 2 1 = sin 2 α sin 2 β cos 2 α cos2 β + cos 2 α + cos 2 β 2 1 = sin 2 α sin 2 β + cos 2 α sin 2 β + cos2 β 2 1 1 1 = sin 2 β + cos 2 β = 1 = 2 2 2
解法二: (从“名”入手,异名化同名) 解法二:

1 原式 = sin 2 α sin 2 β + (1 sin 2 α ) cos 2 β cos 2α cos 2 β 2 1 = cos 2 β sin 2 α (cos 2 β sin 2 β ) cos 2α cos 2 β 2 1 = cos 2 β sin 2 α cos 2 β cos 2α cos 2 β 2 1 = cos 2 β cos 2 β (sin 2 α + cos 2α ) 2

= =

1 + cos 2 β 1 cos 2 β sin 2 α + (1 2 sin 2 α ) 2 2 1 + cos 2 β 1 1 cos 2 β = 2 2 2

解法三: (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 解法三:

1 cos 2α 1 cos 2 β 1 + cos 2α 1 + cos 2 β 1 + cos 2α cos 2 β 2 2 2 2 2 1 1 = (1 + cos 2α cos 2 β cos 2α cos 2 β ) + (1 + cos 2α cos 2 β + cos 2α + cos 2 β ) 4 4 1 1 1 1 cos 2α cos 2 β = + = 4 4 2 2
原式 =
解法四: (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 解法四:

原式 = (sin α sin β cos α cos β ) 2 + 2 sin α sin β cos α cos β

1 cos 2α cos 2 β 2

1 1 = cos 2 (α + β ) + sin 2α sin 2 β cos 2α cos 2 β 2 2 1 = cos 2 (α + β ) cos(2α + 2 β ) 2 1 1 = cos 2 (α + β ) [2 cos 2 (α + β ) 1] = 2 2
[注]在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角 问题时经常要用的变形手法。

定义

它有六种基本函数(初等基本表示):

三角函数数值表 (斜边为 r,对边为 y,邻边为 x。) 在平面直角坐标系 xOy 中,从点 O 引出一条射线 OP,设旋转角为 θ, 设 OP=r,P 点的坐标为(x,y)有 正弦函数 sinθ=y/r 正弦(sin):角 α 的对边 比 斜边 余弦函数 cosθ=x/r 余弦(cos):角 α 的邻边 比 斜边 正切函数 tanθ=y/x 正切(tan):角 α 的对边 比 邻边 余切函数 cotθ=x/y 余切(cot):角 α 的邻边 比 对边 正割函数 secθ=r/x 正割(sec):角 α 的斜边 比 邻边 余割函数 cscθ=r/y 余割(csc):角 α 的斜边 比 对边

定义域与值域??
sinα 定义域无穷,值域 [-1,+1] cosα 定义域无穷,值域 [-1,+1] tanα 的定义域(-π/2+kπ,π/2+kπ),k 属于整数,值域无穷

注意点:周期性对解题的影响(圆周造成的多解)

图形 公式:
同角三角函数关系式
最基本的公式: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) sinα=tanα×cosα

cscα=secα×cotα tanα cotα=1 对称性 180 度-α 的终边和 α 的终边关于 y 轴对称。 -α 的终边和 α 的终边关于 x 轴对称。 180 度+α 的终边和 α 的终边关于原点对称。 180 度-α 的终边关于 y=x 对称。
sinβ 360k+α 90° α 90° α + 180° α 180° α + 270° α 270° α + 360° α ﹣α sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα -sinα cosβ cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα -tanα tanβ cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα -cotα cotβ secβ secα cscα -cscα -secα -secα -cscα cscα secα secα cscβ cscα secα secα cscα -cscα -secα -secα -cscα -cscα

两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 积化和差公式: sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式: sin(2α)=2sinαcosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) 半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 辅助角公式: Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ)(tanφ=B/A) Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ)(tanφ=-A/B) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))


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