【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 条件概率与事件的独立性学案 理


第六十四课时

条件概率与事件的独立

课前预习案
考纲要求 1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念; 2.掌握 n 次独立重复试验及二项分布的概念; 3.掌握二项分布的含义,会从实际问题中抽象出二项分布模型. 基础知识梳理 1. 条件概率及其性质 条件概率的定义 对于任何两个事件 A 和 B, 在已知事件 A 发生的条件下, P(B|A)= 事件 B 发生的概率叫做条件概率,用符号“ 2. 事件的独立性 (1)相互独立的定义: 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率 把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式: 条件 公式 ,即 ,这时,称两个事件 A,B 相互独立,并 ”表示 条件概率公式 ,其中 P(A)>0,A∩B 称

为事件 A 与 B 的交(或积).

A,B 相互独立 A1,A2,?,An 相互独立
3. 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验: ①定义:在

P(A∩B)= P(A1∩A2∩?∩An)=

的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果

,那么一般就称它们

为 n 次独立重复试验. ②概率公式:在一次试验中事件 A 发生的概率为 p,则 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的 概率为 Pn(k)= (2)二项分布: 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数用 X 表示,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,则 n 次独立 重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X=k)= 的分布列: ,其中 k=0,1,2,?,n.于是 X (k=0,1,2,?,n).

X P

0

1

? ?

k

? ? .

n

此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记作 X~

1

预习自测 1 1. 如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 , 2 且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为________. 2. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答 题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立, 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________. 3. (2012·课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且 元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,50 ) ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 ________.
2

4. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A) 等于 A. 1 2 ( B. 1 4 ) C. 1 6 D. 1 8 ( )

1? ? 5. 如果 X~B?15, ?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为 4? ? A.3 B.4 C.5 D.3 或 4

课堂探究案 典型例题 考点 1 条件概率

【典例 1】在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一 件,则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________.

【变式 1】如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将 一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则 (1)P(A)=________; (2)P(B|A)=________.

考点 2

相互独立事件的概率

2

1 【典例 2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 2 1 次均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率.

【变式 2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘.已 知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ).

考点 3

独立重复试验与二项分布

【典例 3】某气象站天气预报的准确率为 80%,计算:(结果保留到小数点后第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率.

【变式 3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗 人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计 算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 X 为 3 人中参加过培训的人数,求 X 的分布列. 当堂检测 1.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数 均为偶数”,则 P(B|A)等于 A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 ( )

2. 如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( A.0.960 C.0.720 B.0.864 D.0.576
3

)

3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,

若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( A. 1 2 B. 3 5 C. 2 3 D. 3 4

)

1 4. 已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ),则 P(X=2)等于 3 A. 13 16 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243

(

)

5. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准 时响的概率为 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 课后拓展案 A 组全员必做题 1. 某种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.6,使用寿命超过 2 年的概率为 0.3,则使用寿命超过 1 年 的元件还能继续使用的概率为 A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 ( )

2. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并 1 且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( 2 )

?1?5 A.? ? ?2?
3?1?3 C.C5? ? ?2?

2?1?5 B.C5? ? ?2? 2 3?1? 5 D.C5C5? ? ?2?

2 3 3. 两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独 3 4 立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. 1 2 B. 5 12 C. 1 4 D. 1 6 ( )

4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关,只要其中有一个开关 能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭 合的概率都是 0.7,则这段时间内线路正常工作的概率为_______. 16 5. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ,则该队员每 25 次罚球的命中率为________. 6. 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂产品的合格 率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______.

B 组提高选做题 1.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机
4

取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中 随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所 有正确结论的编号) 2 ①P(B)= ; 5 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; 5 ②P(B|A1)= ; 11 ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件;

⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. 2.某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜 1 场的事件是独立的,并且胜场的概率是 . 3 (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率.

3.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、 “反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都 1 为 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资; 3 否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 参考答案 预习自测 1 1. 【答案】 8 【解析】理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合”为事件 C, 1 则灯亮应为事件 AC B ,且 A,C, B 之间彼此独立,且 P(A)=P( B )=P(C)= . 2 1 所以 P(A B C)=P(A)P( B )P(C)= . 8 2. 【答案】0.128 【解析】依题意可知,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率 P=1×0.2×0.8×0.8=0.128. 3 3. 【答案】 8 【解析】设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显然 P(A)=P(B)=P(C) 1 = , 2
5

∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为( AB + AB +AB)C, ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率

? ? P=? × + × + × ?× = . 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

?

?

1 3 2 8

4. 【答案】 A 1 P?AB? 4 1 【解析】 P(B|A)= = = . P?A? 1 2 2 5. 【答案】 D
3 ?1?3?3?12 4 ?1?4?3?11 【解析】 ∵P(X=3)=C15? ? ? ? ,P(X=4)=C15? ? ? ? , ?4? ?4? ?4? ?4?

5 10 P(X=5)=C5 15? ? ? ? ,从而易知 P(X=3)=P(X=4)>P(X=5). ?4? ?4?

?1? ?3?

典型例题 4 【典例 1】 【答案】 99 C5 【解析】方法一 设 A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品},则 P(AB)= 2 , C100 5×4 P?AB? 100×99 4 所以 P(B|A)= = = . P?A? 5 99 100 方法二 第一次取到不合格品后还剩余 99 件产品,其中有 4 件不合格品, 4 故第二次取到不合格品的概率为 . 99 2 1 【变式 1】 【答案】 (1) ; (2) π 4 【解析】(1)由题意可得,事件 A 发生的概率
2

S正方形EFGH 2× 2 2 P(A)= = . 2 = S圆O π ×1 π
(2)事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”,

S△EOH 2 1 则 P(AB)= = . 2= S圆O π ×1 2π
1 2 P?AB? π 1 故 P(B|A)= = = . P?A? 2 4 π 【典例 2】 【解】 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B.
6

1 2 ×1

1 2 2 由题意得[1-P(B)] =(1-p) = , 16 3 5 解得 p= 或 p= (舍去), 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 方法二 设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B. 由题意得:P( B )P( B )= 1 , 16

1 1 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去). 4 4 3 故 p=1-P( B )= . 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (2)方法一 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1-P( A · A )= . 4 1 1 方法二 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4 (3)由题设和(1)知,

P(A)= ,P( A )= ,P(B)= ,P( B )= .
甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中; 甲 2 次均不中,乙中 2 次. 概率分别为 C2P(A)P( A )C2P(B)P( B )=
1 1

1 2

1 2

3 4

1 4

3 , 16

P(A)P(A)P( B )P( B )= , P( A )P( A )P(B)P(B)= .
所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32 9 64

1 64

7

【变式 2】解

(1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F,则 D , E , F 分别

表示甲不胜 A,乙不胜 B,丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,

P( F )=0.5.
红队至少两人获胜的事件有 DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D

E F, D E F ,D E E

F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,

因此 P(ξ =0)=P( D

F )=0.4×0.5×0.5=0.1, F)

P(ξ =1)=P( D

E F)+P( D E F )+P(D E

=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35,

P(ξ =3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.
由对立事件的概率公式得

P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)=0.4.
所以 ξ 的分布列为 ξ 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

P

因此 E(ξ )=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 【典例 3 】解 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数,则 X ~ B ? 5, ? ,故其分布列为 P(X = k) = C5

? ?

4? 5?

k

? 4 ? k ? 4 ? 5-k ? ? ?1 ? ? (k=0,1,2,3,4,5). ?5? ? 5?
(1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X=2)=C5× ? ? × ?1 ?
2

?4?2 ? ?5? ?

16 1 4? 3 ? =10×25×125≈0.05. 5?
0

(2)“5 次 预 报 中 至 少 有 2 次 准 确 ” 的 概 率 为 P(X≥2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - C 5 × ? ? × ?1 ?

? 4?0 ? ?5? ?

4? 5 1 4 ? 4? 4 ? -C5×5× ?1 ? ? =1-0.000 32-0.006 4≈0.99. 5? ? 5?
8

4 ? 4? 3 4 1 (3)“5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为 C4× × ?1 ? ? × ≈0.02. 5 ? 5? 5 【变式 3】解 (1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A,“该人参加过计算机培 训”为事件 B,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是

P( A

B )=P( A )·P( B )=(1-0.6)(1-0.75)=0.1.

∴该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 X 服从二项分布 X~B(3,0.9),
k 3-k P(X=k)=Ck ,k=0,1,2,3, 30.9 ×0.1

∴X 的分布列是

X P

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729

当堂检测 1. 【答案】B C3+C2 2 C2 1 【解析】P(A)= 2 = ,P(AB)= 2= , C5 5 C5 10
2 2 2

P?AB? 1 P(B|A)= = . P?A? 4
2. 【答案】B 【解析】 方法一 由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1, A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8) +0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P( A 正常工作的概率为 P(K)[1-P( A 3【答案】D 1 【解析】甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为 ,也可以乙队先胜 2 1 1 1 1 1 3 一局,甲队再胜一局,概率为 × = ,故甲队获得冠军的概率为 + = . 2 2 4 4 2 4 4. 【答案】 D
1 1

A 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系统

A 2)]=0.9×0.96=0.864.

9

【解析】 P(X=2)=C6( ? ? ? 1 ?
2

?1? 2? ?3? ?

1 ? 4 80 ?= . 3 ? 243

5. 【答案】 0.98 【解析】 1-(1-0.80) ? (1-0.90)=1-0.02=0.98. A 组全员必做题 1. 【答案】 B 【解析】 设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”, B 为“该元件的使用寿命超过 2 年”, 则 P(A) =0.6,P(B)=0.3. 因为 B? A,所以 P(AB)=P(B)=0.3,于是 P(B|A)= 2. 【答案】 B 3. 【答案】B 【解析】设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品; 事件 B:乙实习生加工的零件为一等品, 2 3 则 P(A)= ,P(B)= , 3 4 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

P?AB? 0.3 = =0.5. P?A? 0.6

P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)
2 ? 3? ? 2? 3 5 = × ?1 ? ? + ?1 ? ? × = . 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 12 4. 【答案】 0.91 【解析】线路不能正常工作的概率为 P( A ∴能够正常工作的概率为 1-0.09=0.91. 5. 【答案】 3 5

B )=P( A )P( B )=(1-0.7)(1-0.7)=0.09.

16 9 2 2 【解析】 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1),则依题意有 1-p = ,p = . 25 25 3 又 0<p<1,因此有 p= . 5 6. 【答案】 0.665 【解析】 记 A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则 P(A)=0.7,P(B|A)=0.95. ∴P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665. B 组提高选做题 1.【答案】 ②④ 【解析】 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)
10



5×5 2×4 3×4 9 + + = ,故①⑤错误; 10×11 10×11 10×11 22

5×5 10×11 5 ②P(B|A1)= = ,正确; 1 11 2 ③事件 B 与 A1 的发生有关系,故错误; ④A1,A2,A3 不可能同时发生,是互斥事件,正确.

? 1?2 1 4 2.解 (1)P=?1- ? × = . ? 3? 3 27
4 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 ; 27 (2)6 场胜 3 场的情况有 C6种, 1?3 1 8 160 3?1?3? ∴P=C6? ? ?1- ? =20× × = . 27 27 729 ?3? ? 3? 160 所以这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜 3 场的概率为 . 729 3.解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为
2 3 3 P=C2 . 3? ? ? ?+C3? ? = 3 3 3 ? ?? ? ? ? 27 3

?1? ?2?

?1?

7

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形: “同意”票张数 事件 A 事件 B 事件 C 事件 D
3 P(A)=C3 , 3? ? = 3

“中立”票张数 0 0 1 1

“反对”票张数 3 2 1 2

0 1 1 0

?1? ? ? ?1? ? ?

1 27 1 9

3 P(B)=C1 3? ? = , 3

1 3 P(C)=C1 3C2? ? = , 3

?1? ? ?

2 9

3 P(D)=C1 3? ? = . 3

?1? ? ?

1 9

∵A、B、C、D 互斥, 13 ∴P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= . 27

11


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