河南省新乡市原阳一中高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22_图文

1.3.1 函数的单调性与导数 y?x y y ? x2 y y ? x3 y y?1 yx o x ox ox o x 函数在R上 (-∞,0) 函数在R上 (-∞,0) f '(x) ? 1 ? 0 f '(x) ? 2x ? 0 f '(x) ? 3x2 ? 0 f '(x) ? ?x?2 ? 0 (0,+∞) f '(x) ? 2x ? 0 (0,+∞) f '(x) ? ?x?2 ? 0 导数f ?(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 f ?(x1)<0 f (x)在x1附近↘ f ?(x0)>0 f (x)在x0附近↗ 一般地,函数的单调性与导数的正负有如下关系: 在某个区间?a,b?内,如果f ' ?x? ? 0,那么函数y ? f?x? 在这个区间内单调递增;如果f ' ?x? ? 0,那么函数 y ? f?x?在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f '?x? ? 0,那么函数y ? f?x? 有什么特征? 如果恒有 f '(x) ? 0 ,则 f (x) 是常数函数。 例1 已知导函数 f ?(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?(x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?(x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?(x) ? 0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?(x) ? 0, 可知 f (x)在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?(x) ? 0, 可知 f (x) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?(x) ? 0. 综上, 函数 f (x)图象 的大致形状如右图所示. O1 4 x 例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: ?1? f?x? ? x3 ? 3x; ?2? f?x? ? x2 ? 2x ? 3 ; ?3? f?x? ? sinx ? x,x ? ?0,π?; y ?4? f?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1. f?x? ? x3 ? 3x 解 ?1?因为f?x? ? x3 ? 3x,所以 ? ? f ' ?x? ? 3x2 ? 3 ? 3 x2 ? 1 ? 0. 因此,函数 f?x? ? x3 ? 3x 在 x ? R 上单调递增,如图1.3 ? 5?1? 所示. o x 图1.3 ? 5?1? ?2?因为f?x? ? x2 ? 2x ? 3,所以f ' ?x? ? 2x ? 2 ? 2?x ?1?. 当f ' ?x? ? 0,即x ? 1时,函数f?x? ? x2 ? 2x ? 3单调递增; 当f ' ?x? ? 0,即x ? 1时,函数f?x? ? x2 ? 2x ? 3单调递减. 函数f?x? ? x2 ? 2x ? 3的图象如图1.3 ? 5?2?所示. y o1 图1.3 ? 5?2? f?x? ? x2 ? 2x ? 3 x y o 图1.3 ? 5?3? π x f?x? ? sin x ? x ?3?因为f?x? ? sinx ? x,x ? ?0,π?,所以 f '?x? ?cos x ?1?.0. 因此,函数f?x? ? sinx ? x,x ? ?0,π?内 单调递减. . 如图1.3 ? 5?3?所示. ?4?因为f?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1,所以f ' ?x? ?6x2 ? 6x ?. 24 ? ? ? ? 当f ' x ? 0,即 时,函数f x x ? ?1? 17 或x ? ?1? 17 2 2 单调递增 ; ? ? ? ? 当f x ? 0,即 时,函数f x . ' ?1? 17 ? x ? ?1? 17 2 2 单调递减 f?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1的图象如图1.3 ? 5?4?所示. y f?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 如 果 不 用 导 数 的 方 法, 直接运用单调性的定 51 O x 图1.3 ? 5?4? 义,你 如 何 求 解 本 题? 运 算 过 程麻 烦 吗? 你 有 什 么 体 会? 练习 求证: 函数 f (x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7在 (0,2) 内是减函数. 解: ? f (x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 ? f ?(x) ? 6x2 ?12 x. 由 f ?(x) ? 0, 解得 0 ? x ? 2 , 所以函数 f (x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f (x) 在 (0,2) 内是减 函数. 总结1:求可导函数f(x)单调区间的步骤: (1)求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)求f’(x) (2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论 例3 如图1.3 ? 6,水以恒速(即单位时间内注入水的体 积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找 出 与 各 容 器 对 应 的 高 度h与 时 间t的 函 数 关 系 图 象. ?1? ?2? ?3? ?4? h h h h o ?A? t o ?B? t o ?C? t o ?D? t 图1.3 ? 6 分析 以容器?2?为例,由于容器 上 细 下 粗,所 以 水 以 恒 速 注 入 时, 开 始 阶 段 高 度 增 加 得 慢,以 后 高 ?2? 度 增 加 得 越 来 越 快.反 映 在 图 象 h 上, ?A? 符合上述变化情况.同理 可 知 其 他 三 种 容 器 的 情况. 解 ?1? ? ?B?

相关文档

河南省新乡市原阳一中高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修22
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.2.1 几个常用函数的导数课件 新人教A版选修2-2
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.2.1 几个常用函数的导数课件 新人教A版选修22
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修2-2
河南省新乡市原阳一中高中数学课件1.3.2 函数的极值与导数 选修2-2
河南省新乡一中高中数学选修2-2:1.3.1函数的单调性与导数 说课课件
河南省新乡市原阳一中高中数学课件1.2.1 几个常用函数的导数 选修2-2
河南省新乡市原阳一中高中数学 1.6 微积分的基本定理课件 新人教A版选修22
电脑版