志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修1-2全册课件 第一章 统计案例 本章整合_图文

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回归分析

计算公式 =

∑ xiyi -x y =1
2 ∑ - i=1 n 2



, = -

线性回归方程 = + 线性相关系数 = 回归分析
∑ - =1
2 ∑ - =1 2 2 ∑ - =1 2

幂函数曲线 = 指数曲线 = e 可线性化的回归分析



倒指数曲线 = e 对数曲线 = + ln




( ) 条件概率(|) = () 条件概率与独立事件 独立事件() = ()()
2 独立性检验 = (+)(+)(+)(+)

(-)2

独立性检验

独立性检验的应用→两个变量独立性的判断 2 > 3 841 . 时,有 95%的把握判定两个变量有关联 2 > 6.635 时,有 99%的把握判定两个变量有关联

2 ≤ 2.706 时,可以认为两个变量无关联 2 > 2.706 时,有 90%的把握判定两个变量有关联

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专题一 利用散点图判断是否线性相关
两个变量之间是否具有线性相关关系,可以先根据样本数据作出散点 图,看看各样本点是否都在一条直线附近摆动.若是,则两个变量之间满足线 性相关关系,可求出其线性回归方程. 应用 1 以下是变量 y 和 x 的数据:
x 115 110 80 135 105 y 24.8 21.6 18.4 29.2 22

(1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中画出回归直线; (3)根据(2)的结果估计当 x=150 时 y 的值.

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解:(1)数据对应的散点图如图所示.

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应用 2 某工厂 1~8 月份某种产品的产量 x 与成本 y 的统计数据见下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 月份 5 .6 6 .0 6 .1 6 .4 7 .0 7 .5 8 .0 8 .2 产量 x/t 成本 y/万元 130 136 143 149 157 172 183 188

(1)画出散点图. (2)y 与 x 是否具有线性相关关系?若有,求出线性回归方程. 解:(1)由题表画出散点图如图所示.

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应用 1 下面是 20 名工作人员的智商与某一次技术考试成绩的表格,根 据这个结果求出相关系数 r 和考试成绩对智商的回归方程.如果另有一名 工作人员智商为 120,则估计一下若让他也参加技术考试,将会得多少分?
工作 A B C D E F G H I J 人员 智商 x 89 97 126 87 119 101 130 115 108 105 考试成 55 74 87 60 71 54 90 73 67 70 绩 y/分 工作 K L M N O P Q R S T 人员 智商 x 84 121 97 101 92 110 128 111 99 120 考试成 53 82 58 60 67 80 85 73 71 90 绩 y/分

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应用 2 在一个文娱网络中,点击观看某个节目的人次 y 和播放天数 x 的一些数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 51 134 213 235 262 294 330 378 457 533

(1)画出散点图. (2)由相关系数判断两个变量之间是否有线性相关关系,求线性回归方 程是否有意义?若有意义,求出线性回归方程. (3)当播放天数为 11 天时,估计点击人数为多少? 解:(1)散点图如图所示.

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(2)借助科学计算器,完成下表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 51 134 213 235 262 294 330 378 457 533 1 1 2 3 4 5 xiyi 51 268 639 940 310 764 310 024 113 330 x=5.5,y=288.7
10 2 ∑ xi =385, ∑ yi2 =1 i=1 i=1 10

020 953, ∑ xiyi=19
i=1

10

749
10

利用上表的数据,计算点击人次 y 与播放天数 x 之间的相关系数为 r=
=1 10 i=1

∑ xi yi -10x y
10 =1



2 2 -10

∑ 2 -10

2

=

19 749-10×5.5×288.7 385-10×5.5 × 1 020 953-10×288.72
-132

≈0.984,

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专题三 可线性化的回归分析
形如幂函数曲线 y=ax ,指数曲线 y=ae ,倒指数曲线 y=a+bln x 等都可通过换元转化为线性函数,从而求出回归方程. 应用 下表表示一组试验数据:
x 0.5 0.25 0.167 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360
b bx y=ae ,对数曲线

(1)作出散点图,并猜测 y 与 x 之间的关系; (2)利用所得模型预测 x=10 时 y 的值. 提示:通过作散点图,估计出 y 与 x 之间满足的函数模型,并进行求解检 验.

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解:(1)散点图如图所示.

从散点图可以看出 y 与 x 不具有线性相关关系,可猜测为 y= +a 的关 系.令 x'= ,y'=y,则 y'=bx'+a. x',y'之间的数据关系如下表:
x' 2 4 6 8 10 y' 64 138 205 285 360
1



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专题四 条件概率
由古典概型知在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 P(B|A)=
() ()

=

() () () ()

=

() ,其中 ()

n(Ω )为一次试验可能出现的结果数,n(A)

是事件 A 所包含的结果数,n(AB)为事件 A 与 B 同时发生时所包含的结果数. 应用 一个盒子中有 6 根好晶体管,4 根坏晶体管,任取两次,每次取 1 根, 第一次取后不放回.求若第 1 根是好的,第 2 根也是好的概率. 解:设 Ai={第 i 根是好的}(i=1,2). 因为 P(A1)= 所以
3 5 ( ) P(A2|A1)= 1 2 (1 ) 6 10

= ,P(A1A2)= = .
5 9

6×5 10×9

= ,
5 9

1 3

故若第 1 根是好的,第 2 根也是好的概率是 .

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专题五 相互独立事件
1.相互独立事件的判定方法 (1)若A,B相互独立,则P(A|B)=P(A)(P(B)>0), P(B|A)=P(B)(P(A)>0). (2)定义验证. (3)对实际问题,经验验证. 2.“恰有”“至多”“至少”类问题的求解方法 (1)可以采用分类讨论的方式,列出所有事件,然后结合互斥事件的概率求解. (2)利用对立事件求解.

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应用 1 掷三颗质地均匀的骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (2)恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率. 提示:三颗骰子出现 1 点或 6 点是相互独立的,其对立事件也是相互独 立的,恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点对应三种可能. 解:设三颗骰子出现 1 点或 6 点分别记作事件 A、事件 B、事件 C,则 A,B,C 相互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)= ,P()=P()=P( )= . (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率为 P( )=P()P()P( )= . (2)恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率为 P(A + + C)=P(A )+P( )+P(
8 27 1 3 2 3

1 2 2 C)=P(A)P()P( )+P()P(B)P( )+P()P()P(C)=3× × 3 3

= .
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应用 2

在如图所示的线路中,各元件能否正常工作是相互独立的,已知元件 a,b,c,d,e 能正常工作的概率分别为 0.9,0.95,0.7,0.8,0.85,求线路畅通的概率 (精确到 0.01). 提示:“线路畅通”这一事件很复杂,求解时,先要用字母表示各简单事件, 然后通过有关电学知识表示这一复杂事件.

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解:作列联表如下:
喜欢甜食情况 性别 男 女 总计 喜欢甜食 不喜欢甜食 总计 117 492 609
2

413 178 591
2

530 670 1 200

由上表计算得 χ

因为 312>6.635,所以我们有 99%以上的把握认为性别与喜欢吃甜食有 关系.

1 200× (117×178-413×492) = 530×670×609×591

≈312.

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1(2014· 湖北高考)根据如下样本数据
x3 4 5 6 7 8 y 4 . 0 2 . 5 -0 . 5 0 . 5 -2 . 0 -3 . 0

得到的回归方程为 y=bx+a,则( ) A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 解析:可大致画出散点图如图所示,即可得出 a>0,b<0,故选 A.

答案:A
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2(2014· 江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查了 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性 别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 成绩 不及格 及格 总计 性别 14 20 男 6 22 32 女 10 36 52 总计 16 表2 视力 好 差 总计 性别 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52
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表3 智商 偏高 正常 总计 性别 12 20 男 8 24 32 女 8 总计 16 36 52 表4 阅读量 丰富 不丰富 总计 性别 14 6 20 男 2 30 32 女 52 总计 16 36

A.成绩 C.智商

B.视力 D.阅读量
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3(2014· 安徽高考改编)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方 法收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:h).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直 方图(如图所示),其中样本数据的分组区间 为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12] .估计该校学生每周平均体育运动时间 超过 4 h 的概率.
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(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 h,请完成每 周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学 生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附:χ
2

(-) = (+)(+)(+)(+)

2

P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.635

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每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 45 30 不超过 4 h 每周平均体育运动时间 165 60 超过 4 h 210 90 总计 75 225 300

结合列联表可算得 χ2= 关”.

所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有

300× (45×60-30×165) 75×225×210×90

=

100 ≈4.762>3.841. 21

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4(2014· 辽宁高考改编)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年 级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 北方学生 10 70 合计 20 10 30 80 20 100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用 甜品的饮食习惯方面有差异”? (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现 在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附:χ
2

(-) = (+)(+)(+)(+)

2

P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635
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