吉林省2013届高三高考复习质量监测数学(文)试题 扫描版含答案_图文

吉林省 2013 年高考复习质量监测 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 (1) (B) (2) (A) (3) (B) (4) (D) (5) (D) (6) (B) (7) (A) (8) (C) (9) (D) (10) (A) (11) (C) (12) (C) 二、填空题 (13) 7 (14)6 (15)5 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设数列{ an }公差为 d. ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 , ∴? (16)-512

?3a1 ? 3d ? 6 ?a1 ? 1 , ∴ an ? n , ?? ?d ? 1 ?a1 ? 4d ? 5

即数列{ an }的通项公式为 an ? n . ???????????????????6 分 1 1 1 , ????????????????8 分 (Ⅱ)∵ bn ? 1 ? ? ? an an?1 n ? (n ? 1) n n ? 1 ∴ Sn ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )
2 2 3 3 4 n n ?1

1 n ? 1? ? . ???????????????????????12 分 n ?1 n ?1
(18)解: (Ⅰ)证明:取 BC 中点 O ,连结 AO, OB1 .
A C M D O B B1 C1

?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
平面 ABC ? 平面 BCC1B1 ? BC, AO ? 平面 ABC,

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 ,
∴ AO ? BD .????????????????????????????4 分 CC ∵正方形 BCC1 B1 中, O ,D 分别为 BC , 1 的中点,∴ OB1 ? BD . 又 AO ? OB1 ? O ,? BD ⊥ 平面 AOB1 ,

? BD ⊥ AB1 .????????????????????????????7 分
1 1 1 1 1 3 (Ⅱ)连结 DB1 ,则 VM ? ABD ? VB1 ? ABD ? VA? BDB1 ? ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ? . 2 2 2 3 2 3 3 ∴三棱锥 M ? ABD 的体积为 .????????????????????12 分 3 (19)解: (Ⅰ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ????2分

为拥有“优先挑战权”的选手编号为 1,2,3,其余 3 人编号为 A,B,C. 被选中 3 人的编号所有可能的情况共 20 种,列举如下: 123,12A,12B,12C,13A,13B,13C, 1AB,1AC,1BC, 23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC, 3AB,3AC,3BC, ABC,????????????????????????????????4 分 其中拥有“优先挑战权”的选手恰有 1 名的情况共 9 种,如下: 1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC, 9 ∴所求概率为 P ? . ?????????????????????????6 分 20 (Ⅱ) 2 ? 2 列联表: 甲班 乙班 合计 3 10 13 签约歌手 10 27 未签约歌手 17 20 20 40 合计 ??????????????????9 分 40(3 ?10 ? 10 ?17)2 根据列联表中的数据,得到 k ? ? 5.584 ? 5.024, 13 ? 27 ? 20 ? 20 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. ???????????????????12 分 (20)解: (Ⅰ)NM 为 AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|, 又∵|CN|+|NP|= 2 2 ,∴|CN|+|NA|= 2 2 >2. 1) ∴动点 N 的轨迹是以点 C (0 ,? 1) , A(0 , 为焦点的椭圆,?????????3 分 且长轴长 2a ? 2 2 ,焦距 2c ? 2 ,∴ a ? ∴曲线 E 的方程为 x2 ?

2 , c ? 1, b 2 ? 1,

y2 ? 1 .??????????????????????5 分 2
y Q G

y A M P N O C x

O F

x

(Ⅱ)设 G(x1,kx1),H(x2,y2),则 F(-x1,-kx1),Q(0,kx1), 直线 FQ 的方程为 y=2kx+kx1, 将其代入椭圆 E 的方程并整理可得 (2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-2=0. 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得 -x1+x2= ?

2 x1 4k 2 x1 ,即 x2 ? . 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k
4kx1 .??????????????????????9 分 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 FQ 上, 所以 y2-kx1=2kx2=

于是 GF =(-2x1,-2kx1),

??? ?

???? 4kx1 4k 2 x1 , ). GH =(x2-x1,y2-kx1)=( ? 2 2 ? 4k 2 2 ? 4k
??? ???? 4(2 ? 2)k 2 x 2 ? 1 ? 0 .?????????????12 分 而 GH ? GF 等价于 GF ? GH ? 2 ? 4k 2
(21)解:

a , x ∵ f ' (1) ? 0 , f (1) ? 0 ,∴ a ? 1 , b ? ?1 .?????????????????3 分
(Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? b ?
'

1 , x ∴令 f ' ( x) ? 0 ,得 f ( x ) 的增区间 ?1, ??? ,
∴ f ?( x) ? 2 x ? 1 ? (Ⅱ)根据题意,对任意 b ? ? ?2, ?1? ,及任意 x ? (1, e) ,使得 f ( x) ? 0 成立, 即 x2 ? bx ? a ln x ? 0 成立, 令 g (b) ? xb ? x2 ? a ln x , b?[?2, ?1] ,则 g (b) 是关于 b 的一次函数且为增函数,
' 令 f ( x) ? 0 ,得 f ( x ) 的减区间 ? 0,1? . ??????????????????5 分

? g (b)max ? g (?1) ? x2 ? x ? a ln x ? 0 在 (1, e) 上恒成立,
x2 ? x 在 (1, e) 上恒成立,?????????????????????7 分 ln x (2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) x2 ? x 令 h( x ) ? , x ? (1, e) , h?( x) ? , ln 2 x ln x 2x ?1 1 ? 1 ? 2 ln x ? 1 ? , 令 ? ( x) ? (2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) , ? ? ? x ? ? 2 ln x ? x x 1 2 1 设 r ( x) ? 2 ln x ? 1 ? , r ? ? x ? ? ? 2 ? 0 ,所以 r ? x ? 为增函数,所以 x x x r ? x ? ? r ?1? ? 0 ,
即a ? 所以 ?? ? x ? ? 0 , ? ( x) 为增函数,所以 ? ? x ? ? ? (1) ? 0 , 所以 h?( x) ? 0 , h( x) 为增函数,所以 h ? x ? ? h(e) ?
2

e2 ? e ? e2 ? e ,????11 分 ln e

所以 a ? e ? e . ??????????????????????????12 分 (22)证明: (Ⅰ )过 O 作 OG⊥ EF,则 GE=GF,OG∥ AB. ∵ 为 AD 的中点,∴ 为 BC 的中点. O G ∴BG=CG, ∴BE=CF. ????????????5 分 (Ⅱ )设 CD 与⊙ 交于 H,连 AH,∵AHD=90°, O ∠ ∴ BC, ∴ AH∥ AB=CH.∵ CH=CF· CD· CE, ∴ AB·CD=BE·BF. ?????????????????????????10 分 (23)解: (Ⅰ)由已知得, A B E G F O · D H C

? 3 t, ?x ? ? ? 2 直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) , ???????????????3 分 ?y ? 1 ? 1 t , ? ? 2 2 C 的直角坐标方程为 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 . ??????????????????5 分 圆 ? 3 t, ?x ? ? ? 2 (Ⅱ)将 ? (t为参数) 代入 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 , 1 1 ?y ? ? t , ? ? 2 2

1 整理得 4t 2 ? (2 ? 4 3)t ? 1 ? 0 ,设方程两根分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? , 4 1 根据参数 t 的几何意义,得点 P 到 A ,B 两点的距离之积为 | t1t2 |? . ?????10 分 4 (24)解: (Ⅰ)由|ax+1|>5 得 ax ? 4 或 ax ? ?6 . 又 f(x)>5 的解集为{x| x ? 2 或 x ? ?3 }, 4 6 当 a>0 时, x ? 或 x ? ? ,得 a=2. a a 当 a≤0 时,经验证不合题意. 综上, a ? 2 . ?????????????????????????????5 分

? ?? x, x≤ ? 1, ? x 1 ? (Ⅱ)设 g(x)=f(x)- f ( ) ,则 g ? x ?=??3x ? 2, ? 1 ? x ? ? , 2 2 ? 1 ? x≥ ? , ? x, ? 2
则函数 g ( x) 的图象如下: 1 由图象可知,g(x)≥ ? , 2

1 故原不等式在 R 上有解时,k≥ ? . 2 1 即 k 的取值范围是 k≥ ? .?????????????????????10 分 2
y

1
? 1 2

-1

O
?

1 2

x


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