高中数学第二讲不等式的证明学案新人教A版选修45

第二讲 证明不等式的基本方法 第一步 本章总览 心中有数 证 明 不 等 式 的 基 本 方 法 第二步 分块自学 提出疑点 §1 比较法 【自学目标】理解作差比较法和作商比较法,掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 比较法的种类 证明依据 ① ② 基本步骤 ③ ④ ③ ④ -1- ① ② 适用类型 二、典型例题归纳 例 1. 自学 P21 例 1,小组讨论本题的证明方法,并归纳作差比较法的基本步骤方法。 例 2. 自学 P22 例 3,并归纳作商比较法的基本步骤方法。 例 3. 自学 P21 例 2,从实际问题抽象出数学问题。 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本 P23 习题 2.1 思考题:已知 a,b,c,d 都是正数,且 a c a a?c c ? ,求证: ? ? b d b b?d d §2.1 综合法 【自学目标】理解综合法的概念、综合法证明不等式的原理和思维特点,掌握综合法证明不 等式的方法和步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 1. 综合法:一般地,从 经过一系列的 或 . 、 出发,利用 、 、 、 等, 而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做 2. 自己写出几个综合法证明不等式所依赖的已知不等式: 二、典型例题归纳 例 1. 自学 P23 例 1,小组内讲解。 例 2. 自学 P23 例 2,小组讨论。 例 3. 已知正数 a,b,c,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: ab ? bc ? ac ? 1 3 -2- 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本 P25~26 习题 2.2 / 1、2、8 §2.2 分析法(两课时) 【自学目标】理解分析法的概念、分析法证明不等式的原理和思维特点,掌握分析法证明不 等式的方法和步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 1. 分析法:证明命题时,从 条件为 或 出发,逐步寻求使它成立的 ( 、 或 ,直至所需 、 的思考和 等) ,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法。这是一种 证明方法. 2. 分析法证明的关键是每一步都必须可逆 . ........ 3. 自己总结分析法证明的一般格式 二、典型例题归纳 例 1. 自学 P24 例 3,归纳分析法的格式 例 2. 自学 P25 例 4,小组内讨论。 小结:综合法与分析法的异同 方 证明的起始步骤 求证过程 求证目标 证题方向 -3- 法 综 基本不等式或已经证明 合 过的不等式 法 分 寻求结论成立的充分条件,并 析 法 要求证的不等式 证明这个充分条件成立 成立 所需条件全都 执果索因 实施一系列的推导或等价变换 要求证的结论 由因导果 1 1 25 例 3*. 已知 a, b ? R? , 且a ? b ? 1 ,求证: (a ? )(b ? ) ? a b 4 例 4. 已知 a,b,c 为正数,且 a ? b ? c ,则使 1 1 n 成立的最大正数 n= ? ? a ?b b ?c a ?c 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本 P26 / 3、4、6、7、9 及以下补充题: 补充题:1. 已知 a, b, c, d ? R? ,求证: (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd 2. 求证:若 a,b 为正数,则 2 ? ab 1 1 ? a b §3.1 反证法 【自学目标】理解反证法证明的依据,掌握反证法证明不等式的方法。 【自学内容提炼】 -4- 一、基础知识梳理 1. 反 证 法 : 先 等 , 进 行 正 确 的 推 理 , 得 到 和 等)矛盾的结论,以说明 证法。 2. 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设: 常见词 语 否定假 设 至少有一 个 至多有一 唯一一个 个 不是 不可能 全 都是 ,从而证明 ,以此为出发点,结合已知条件,应用 ( 或 ,我们把它称为反 二、典型例题归纳 例 1. 自学 P26 例 1,归纳反证法证明问题的一般步骤 例 2. 自学 P27 例 2,小组讨论讲解。 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本 P29 / 1、4 §3.2 放缩法(两课时) 【自学目标】理解放缩法证明的原理,并会用放缩法证明不等式。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 放缩法:证明不等式时,通过 不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法。 二、典型例题归纳 例 1. 自学 P28 例 3,归纳放缩法的基本原理。 ,简化 -5- 例 2. 自学 P28 例 4,小组讨论讲解。 1 1 1 1 例 3. 求证: 1 ? ? ? ??? ?3 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本 P29~30 / 2、3、5、6 第三步 师生合作 释疑提高 §1 比较法 【考题链接】 1. 若 a, b ? R ,则下面四个式子中正确的是( A. lg(1 ? a2 ) ? 0 B. a a ?1 ? b b ?1 ) D. a 2 ? b2 ? 2(a ? b ? 1) ) C. a 2 ? 3ab ? 2b 2 2. 若 a ? 1, p ? loga (a3 ? a2 ? 1), q ? loga (2a2 ? 1) ,则 p,q 的大小关系是( A. p ? q 3. 若 x ? ?1,则 B. p ? q C. p ? q D. 无法确定 x2 ? 2 x ? 1 与 2 之间的大小关系为 x2 ? 1 a? b 2 , Q ? a ? b ,则 P,Q 的大小关系是 4. 已知 a,b 都是正数, P ? 5.(11’福建)设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M. (Ⅰ) 求集合 M; (Ⅱ) 若 a , b ∈M,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. 【经典题型】 -6- 例 1.

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