上海市崇明县2016届高三第二次高考模拟考试数学文试卷

崇明县 2015-2016 学年第二次高考模拟考试试卷 高三数学(文卷)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试卷 上或答题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,
每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.已知全集 U ? R , A ? ?x | x 2 ? 2 x ? 0? , B ? ? x | x ≥ 1? ,则 A ? CU B ? 2.设复数 z 满足 i ( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为 . . .

? 3.若直线 l 过点 (3, 4) ,且它的一个法向量是 n ? (1, 2) ,则 l 的方程为

4.若函数 y ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,则 ? ?



5.圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 6.已知圆锥的母线长为 5 cm,侧面积为 15? cm ,则此圆锥的体积为
2 2

. cm .

1? ? 7.在 ? x 2 ? ? 的二项展开式中,常数项等于 x? ?
8.已知 x, y ? R ? ,且满足

6



x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4



x ? ? 2 ? a, x ≥ 0 9.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若 f ( x) 的最小值是 a ,则 a ? ? ? x ? ax , x ? 0



?x ? y ? 2≥ 0 ? 10.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ≤ 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值是 ?y ≤3 ?
11.若数列 {an } 是首项为 1,公比为 a ? 是 .



3 的无穷等比数列,且 {an } 各项的和为 a ,则 a 的值 2

12.从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组,这个小组中男女医生都有的概率是

(结果用数值表示). 13.矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,P 为矩形内部一点,且 AP ? 1 .设 ?PAB ? ? ,
??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AD (? , ? ? R) ,则 2? ? 3? 取得最大值时,角 ? 的值为



14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? ? 4, 6 ? 的 时候, f ( x ) ? 2 x ? 1 , f ( x) 在区间 ? ? 2, 0 ? 上的反函数为 f ?1 ( x ) ,则 f ?1 (19) ? .

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应
编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.“ x ? 1 ? 2 成立”是“ x ( x ? 3) ? 0 成立”的……………………………………………( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不不充分也不必要条件
主视图 左视图



16.一个正三棱柱的三视图如右图所示,则这个正三棱柱 的表面积是 ……………………………………( A. 16 3 C. 8 3 ? 24 B. 18 3 )

2

2 3
俯视图

D. 24 ? 3
(文第 16 题图)

17.设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若

b cos C ? c cos B ? a sin A ,则 ? ABC 的形状为(
A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定



18.函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,在区间 ? a, b ? 上可找到 n (n ≥ 2) 个 不同的数 x1 , x2 ,?, x n ,使得

y

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ,则 n 的取 x1 x2 xn
) O a b x

值范围是………………………………………………………( A. {3, 4} C. {3, 4, 5} B. {2, 3} D. {2, 3, 4}

(第 18 题图)

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤。

19.(本题满分 12 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AA1 ? 6 ,正三棱柱 A1 B1 C1

ABC ? A1B1C1 的体积为 18 3 .
(1)求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的表面积; (2)求异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小.

A B

C

(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) ? 3 x ? ? ? 3 ? x (? ? R) (1)当 ? ? ? 4 时,求解方程 f ( x ) ? 3 ; (2)根据 ? 的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.

21.(本题满分 14 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所 在的平面与道路走向垂,路灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影

2 ? 部分所示.已知 ? ABC ? ? , ? ACD ? ,路宽 AD ? 24 米. 3 3
设 ?BAC ? ? (

C B

? ? ≤? ≤ ) 12 6

(1)求灯柱 AB 的高 h (用 ? 表示); (2)此公司应该如何设置 ? 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与 灯杆 BC 所用材料的总长度最小?最小值为多少? (结果精确到 0.01 米) A
(第 21 题图)

D

22.(本题满分 16 分,本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满 分 6 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 A, B ,且四边形 a 2 b2

F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点, M ( , 0) 为椭圆长轴上一点,求 | PM | 的最大值与最小值;

???? (3)设 Q 是椭圆外 C 的动点,满足 F1Q ? 4 ,点 R 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 ??? ? ???? ???? F2Q 上,并且满足 RT ? TF2 ? 0, TF2 ? 0 ,求点 T 的轨迹 C 的方程.

1 2

23.(本题满分 18 分,本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(2)小题满 分 8 分) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足 an ?1 ? an ? ? (bn ?1 ? bn ), n ? N * . (1)若 ,求数列 {an } 的通项公式;

(2)若 a1 ? 1, b1 ? 2 , 且数列 {bn } 是公比等于 2 的等比数列, 求 ? 的值, 使数列 {an } 也是等比数列; (3)若 a1 ? ? , bn ? ? n , n ? N * ,且 ? ? (?1, 0) ,数列 {an } 有最大值 M 与最小值 m,求

M 的取值范围. m

崇明县 2015-2016 学年第二次高考模拟高三数学(文科)参考答案及评分标准 一、填空题 1. (0,1) ; 2. ?3 ; 8. 3 ; 3. x ? 2 y ? 11 ? 0 ; 11. 2 ; 12. 4. 1 ; 5. 3 ; 6. 12? ; 7.15;

9. ?4 ; 10.-1;

60 ? ; 14. 8 ; 13. . log 2 63 3 9

二、选择题 15.B; 16.B; 三、解答题 19.(1)由 V ? Sh 得

17.B;

18.D.

S?ABC ? 3 3 ,所以正三棱柱底面三角形边长为 2 所以正三棱锥表面积为 S ? S侧 ? 2S底 ? 24+6 3 ...................6 分

BCC (2)因为 AA 1 / /CC 1 ,所以 ? 1 就是异面直线 B C 1 与 A A1 所成角
1 Rt?BCC 1 中, tan ? BC1C ? 3 1 ...................12 分 3

所以异面直线 B C 1 与 A A1 所成角的大小为 arctan 20.(1)由 f ( x ) ? 3 ,得 3 x ? 4 ? 3 ? x ? 3 令 t ? 3 x ? 0 ,则原方程可化为 t 2 ? 3t ? 4 ? 0 所以 t ? 4 或 t ? ?1 (舍去)

所以 x ? log3 4 ..................................................6 分 (2)函数 f ( x ) ? 3 x ? ? ? 3 ? x 的定义域为 R 当 ? =1 时, f ( x ) ? 3 x ? 3 ? x , f ( ? x ) ? f ( x ) ,函数为偶函数;..............9 分 当 ? =-1 时, f ( x ) ? 3 x ? 3 ? x , f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,函数为奇函数;............11 分 当 | ? |? 1 时, f (1) ? 3 ?

? 1 , f ( ? 1) ? ? 3? 此时 f ( ? 1) ? ? f (1) 且 f ( ? 1) ? f (1), 3 3

所以函数为非奇非偶函数.........................................14 分 21.(1)三角形 ACD 中, ? CDA ? ? ? 由

? , 6

AD AC ,得 ? sin ? ACD sin ? CDA AD ? sin ? CDA ? AC ? ? 16 3 sin(? ? ) .................................3 分 sin ? ACD 6 ? 三角形 ABC 中, ?ACB ? ? ? 3



AB AC ,得 ? sin ? ACB sin ? ABC ? ? AC ? sin ? ACB ? ? ? ? ? ) ...................6 分 h? ? 32 sin(? ? ) sin( ? ? ) ( 12 6 sin ? ABC 6 3

(2)三角形 ABC 中,

BC AC ,得 ? sin ? BAC sin ? ABC AC ? sin ? BAC ? BC ? ? 32 sin(? ? ) sin ? .................................9 分 sin ? ABC 6 ? ? ? 所以 AB ? BC ? 32 sin(? ? ) sin( ? ? ) ? 32 sin(? ? ) sin ? 6 3 6


?16sin2? ? 8 3 .......................................................11 分
因为

? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? 2? ? 12 6 6 3

所以当 ? ?

? 时, AB ? BC 取得最小值 8 ? 8 12

3 ? 21.86 ......................13 分

制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小,最小值约为 21.86 米. .....14 分 22. (1)由题意得 b ? c ?
2

x2 y 2 ? ? 1..........................................4 分 所以椭圆的方程为: 4 2
(2)设 P ( x, y ) ,因为 P 是椭圆 C 上一点,所以 y
2

1 ? 2 ? x2 2

1 7 | PM |? ( x ? )2 ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? ....................................6 分 2 4
因为 x ? [ ?2, 2] 所以当 x ? 1 时, | PM |min ? 当 x ? ?2 时 | PM |max ?

7 , 2

(3)设点 T 的坐标为 ( x, y ).

5 .................................................10 分 2

当 | PT |? 0 时,点 ( ? a, 0) 和点 ( a, 0) 在轨迹上................................12 分 当| PT |? 0且 | TF 2

|? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF 2 .

又 | PQ |?| PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点..................................14 分

在△QF1F2 中, | OT |?

2 2 1 | F1 Q |? a ,所以有 x ? y 2
2

? a2.

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x

? y2 ? a2 .........................16 分

23. (1) a n ?1 ? a n ? 2( bn ?1 ? bn ) ? 4 所以数列 { a n } 为等差数列................................2 分 因为 ,所以 a n ? 4 n ? 3 .............................4 分 (2)数列 { b n } 是公比等于 2 的等比数列, b1 ? 2 , 所以 bn 所以 an

? 2n ,所以 an ? an?1 ? ?(bn ? bn?1) ? ? ? 2n?1(n ? 2, n ? N*)

? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ?... ? (a2 ? a1) ? a1 ? ? ? (2n?1 ? 2n?2 ?... ? 2) ?1 ? ? ? 2n ?1? 2?
...........7 分

因为数列 { a n } 是等比数列 所以 a2 当? ?
2

? a1a3 ,所以 ? ? 1 ,
2
n?1

1 时, an ? 2 ,数列 { a n } 是等比数列 2 1 所以 ? ? ..................................................10 分 2
(3)当 n ? 2, n ? N * 时, an ? an?1 ? ?(bn ?bn?1) 所以 an

? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ?... ? (a2 ? a1) ? a1 ? ?(bn ?bn?1) ? ?(bn?1 ?bn?2 ) ?... ? ?(b2 ?b1) ? a1
? ?bn ? ?b1 ? a1 ? ?n?1 ? ?2 ? ?

当 n ? 1 时,上式依然成立,所以 an

? ?n?1 ? ?2 ? ? ................12 分

a2n ? ?2n?1 ? ?2 ? ? ,
因为 ? ? ( ? 1, 0) ,所以 a2n?2 ? a2n

? ?2n?1(?2 ?1) ? 0

即数列 {an}的偶数项构成的数列 {a2n}是单调增数列 同理 a2n?1 ? a2n?1 ? ?
2n

(?2 ?1) ? 0

即数列 {an}的奇数项构成的数列 {a2n?1} 是单调减数列 又 a2n ? a1 ? ?
2n?1

? ?2 ? 0 ,所以数列 { a n } 的最大值 M ? a1 ? ?

a2n?1 ? a2 ? ?2n?2 ? ?3 ? 0 ,所以数列 { a n } 的最小值 m ? a2 ? ?3 ? ?2 ? ? .....14 分
M ? 1 1 ? 3 ? 2 ? 2 m ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 (? ? 1 )2 ? 3 2 4 1 3 因为 ? ? ( ? 1, 0) ,所以 (? ? )2 ? ? (1,3) 2 4 M 1 所以 ? ( ,1) ..................................................16 分 m 3
所以


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