「精品」高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步课件 新人教B版必修_图文

成才之路 ·数学
人教B版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章 不等式

第三章
3.2 均值不等式
第2课时 基本不等式的应用 ——证明问题

1 课前自主预习

3 易错疑难辨析

2 课堂典例讲练

4 课时作业

课前自主预习

现有A、B、C、D四个长方体容器,A、B的底面积均为 a2,高分别为a和b,C、D的底面积均为b2,高分别为a和b(其 中a≠b).现规定一种游戏规则:每人一次从四个容器中取两 个,盛水多者为胜.先取者有没有必胜的方案?若有,有几 种?

常见的不等式: 1.a2+b2≥___2_a_b___(a、b∈R). 2.ab≤__(_a_+2__b_)2___≤a2+2 b2(a、b∈R).

1.已知 a、b∈R+,则下列不等式不一定成立的是( )

A.a+b+ 1ab≥2 2

B.(a+b)(1a+1b)≥4

C.a2+abb2≥a+b

D. 2aa+b b≥ ab

[答案] D

[解析] A 项 a+b+ 1ab≥2 ab+ 1ab≥2 2, B 项(a+b)·(1a+1b)≥2 ab·2 a1b=4,当且仅当 a=b 时取 等号. C 中(a2+b2)2-ab(a+b)2=(a-b)(a3-b3)≥0 当且仅当 a=b 时,取等号.∴选 D.

2.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,若 a、

b、c 成等差数列,则 B 的取值范围是( )

A.0<B<π4

B.0<B≤π3

C.0<B≤π2

D.π2<B<π

[答案] B

[解析] ∵a、b、c 成等差数列, ∴2b=a+c. ∴cosB=a2+2ca2c-b2=a2+c22-ac?a+2 c?2 =3?a82a+cc2?-14≥68aacc-14=12, 当且仅当 a=c 时,等号成立. ∵余弦函数在(0,π)上为减函数, ∴0<B≤π3.故选 B.

3.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件 的 a、b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1; ② a+ b≤ 2; ③a2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ⑤1a+1b≥2.
[答案] ①③⑤

[解析] ①ab≤????a+2 b????2=1,成立. ②欲证 a+ b≤ 2,即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0 显然不成立. ③欲证 a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即证 4-2ab≥2,即 ab≤1,由①知成立. ④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3?a2-ab+b2≥32?(a+ b)2-3ab≥32?4-32≥3ab?ab≤56,由①知,ab≤56不恒成立. ⑤欲证1a+1b≥2,即证a+ abb≥2,即 ab≤1,由①成立.

课堂典例讲练

不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
已知a、b、c为两两不相等的实数,求证:a2+ b2+c2>ab+bc+ca.
[解析] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. [点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系,将表达式中 字母轮换a→b→c→a后表达式不变,这类问题证明一般变为几 个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘),从而获解.

若a、b、c均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abc.

[解析] a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2

-b2)=(a-b)2(a+b),

∵a、b为正数,∴(a-b)2≥0,a+b>0,

∴a3+b3≥a2b+ab2,



同理可得b3+c3≥b2c+bc2,



a3+c3≥a2c+ac2.



将①②③式两边分别相加,得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2 =(a2b+bc2)+(ab2+ac2)+(b2c+a2c) =b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2) ≥b·2ac+a·2bc+c·2ab=6abc, ∴a3+b3+c3≥3abc. 显然,当且仅当a=b=c时, a3+b3+c3=3abc.

[点评] 在 a3+b3+c3≥3abc 中,令 x=a3,y=b3,z=c3, 则变为:
x+3y+z≥3 xyz(x、y、z∈R+,当且仅当 x=y=z 时取等号). 我们也把a+3b+c、3 abc分别叫做三个正数 a、b、c 的算 术平均数与几何平均数.于是a+3b+c≥3 abc. 此式可以说成:三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.

利用均值不等式证明不等式
已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1.求证:1a+
1b+1c≥9. [解析] 证法一:∵a>0,b>0,c>0, ∴1a+1b+1c=a+ab+c+a+bb+c+a+bc +c =3+ba+ac+ab+bc+ac+bc =3+(ba+ab)+(ac+ac)+(bc+bc)≥3+2+2+2=9. 即1a+1b+1c≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号).

证法二:∵a>0,b>0,c>0, ∴1a+1b+1c=(a+b+c)(1a+1b+1c) =1+ba+ac+ab+1+bc+ac+bc+1 =3+(ba+ab)+(ac+ac)+(bc+bc)≥3+2+2+2=9. ∴1a+1b+1c≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号).

[点评] 含条件的不等式证明问题,要将条件与结论结合 起来,寻找出变形的思路,构造出均值不等式,在条件“a+b +c=1”下,1 的代换一般有上面两种情况,切忌两次使用均 值不等式,用传递性证明,有时等号不能同时取到.

已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1,求证: x+ y+ z≤ 3. [解析] ∵x>0,y>0,z>0,∴x+y≥2 xy,x+z≥2 xz,y +z≥2 yz, ∴2(x+y+z)≥2( xy+ xz+ yz). ∵x+y+z=1, ∴ xy+ xz+ yz≤1 成立. ∵x+y+z+2( xy+ xz+ yz)≤3, 即( x+ y+ z)2≤3, ∴ x+ y+ z≤ 3.

均值不等式的综合应用
已知a、b、c、d都是实数,且a2+b2=1,c2+ d2=1,求证:|ac+bd|≤1.
[解析] 证法一(综合法):因为 a、b、c、d 都是实数,所 以|ac+bd|≤|ac|+|bd|
≤a2+2 c2+b2+2 d2 =a2+b2+2 c2+d2. 又因为 a2+b2=1,c2+d2=1,所以|ac+bd|≤1.

证法二(比较法):显然有 |ac+bd|≤1?-1≤ac+bd≤1. 先证 ac+bd≥-1. ∵ac+bd-(-1)=ac+bd+12+12 =ac+bd+a2+2 b2+c2+2 d2 =?a+c?2+2 ?b+d?2≥0, ∴ac+bd≥-1.

再证 ac+bd≤1. ∵1-(ac+bd)=12+12-(ac+bd) =a2+2 b2+c2+2 d2-ac-bd =?a-c?2+2 ?b-d?2≥0, ∴ac+bd≤1. 综上得|ac+bd|≤1.

证法三(分析法):要证|ac+bd|≤1,

只需证明(ac+bd)2≤1,

即只需证明a2c2+2abcd+b2d2≤1.



由于a2+b2=1,c2+d2=1,因此①式等价于

a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2).



将②式展开化简得(ad-bc)2≥0.

因此a、b、c、d全是实数∴此式成立,故①式成立,从而

原命题得证.

[点评] 三种证法各有侧重点,但都植根于条件a2+b2=1 与c2+d2=1的灵活运用上,解题时要善于展开联想,不放过一 种可能的思路火花,多方探索、对比,对开阔视野,训练思维 很有帮助.

已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(a+1a)(b+1b)≥245.

[解析] 左边=(a+1a)(b+1b)

=ab+a1b+ba+ab

=(

1- ab

ab)2+ba+ab+2.

∵a、b∈(0,+∞),

∴ba+ab≥2,又 a>0,b>0,a+b=1,

∴1=a+b≥2 ab.

∴ ab≤12, 1ab≥2,- ab≥-12,



1- ab

ab≥32,

∴( ab- 1ab)2≥94.

∴左边≥94+2+2=245,(当且仅当 a=b=12时取等号).

易错疑难辨析

求函数 y= xx2+2+54的最小值. [错解] y= xx2+2+54=x2+x24++41= x2+4+ x21+4≥2.∴函 数的最小值为 2.
[辨析] 误解中忽视了判定等号是否成立.

[正解] y= xx2+2+54=x2+x24++41= x2+4+ x21+4≥2. 当且仅当 x2+4= x21+4,即 x2+4=1 时,等号成立,这 显然不可能. ∴令 t= x2+4,∵x2+4≥4,∴t≥2. ∴y=t+1t 在[2,+∞)上为增函数, ∴当 t=2 时,函数取最小值52.

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修5
精心制作,敬请观赏
第三章 3.2 第2课时


相关文档

新课标高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用证明问题课件新人教B必修5
2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课件新人教B版必修5
【精编】高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步课件 新人教B版必修
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用证明问题同步课件 新人教B版必修5
2016年春高中数学 3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步课件 新人教B版必修5
新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课件新人教B版必修5
高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课件新人教B版
「精品」高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修5
电脑版