山东省曲阜市第一中学2010-2011学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

山东省曲阜市第一中学 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷 (理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. 1

1 ? 3i 的实部是 1? i
C. ?1 D. ?2

2. 已知 a, b, c ? R ,满足 | a ? c |?| b | ,则下列不等式成立的是 A. a ? b ? c B. | a |?| b | ? | c | C. a ? c ? b D. | a |?| b | ? | c |

3 10 3. 设函数 f ( x) ? (1 ? 2 x ) ,则 f ?(1) 等于

A.0 B. 60 C. ?1 D. ?60 4. 有一批种子,每一粒发芽的概率为 0.9 ,播下 15 粒种子,恰有 14 粒发芽的概率为 A. 0.9
14

B. 1 ? 0.9

14

14 C. C15 ? 0.914 ? (1 ? 0.9)

14 D. C15 ? 0.9 ? (1 ? 0.9)14

5.已知 x ? 0 ,由不等式 x ?

1 2 3 ? 2; x 2 ? ? 3; x 3 ? ? 4........可以推广为 x x x
B. x ?
n

A. x ?
n

n ?n x n ?1 ? n ?1 x

n ? n ?1 x n ?1 ?n x

C. x ?
n

D. x ?
n

6. lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于 ?x
B. 1 C.

A. 2

1 2
2

D. 0

7. 设随机变量 ?服从正态分布 (2, ? ),若P(? ? c) ? a, 则P(? ? 4 ? c) 等于 N A. a B. 1 ? a C. 2 a D. 1 ? 2a 8. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

1

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9. 某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时 该命题也成立,现已知当 n ? 4 时该命题不成立,那么可推得 A. 当 n ? 5 时,该命题不成立 B. 当 n ? 5 时,该命题成立 C. 当 n ? 3 时,该命题成立 D. 当 n ? 3 时,该命题不成立 10. 一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归直线方程为 ? y ? 7.19 x ? 73.93 ,据此可以预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是 A. 身高一定是 145.83cm B. 身高超过 146.00cm C. 身高低于 145.00cm D. 身高在 145.83cm 左右 11. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 A.6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 30 种 12. 如图, A1B1C1 ? ABC 是直棱柱, ?BCA ? 90 ,点 D1 , F 分别是 A1B1 , AC1 的中点. 1 1
?

若 BC ? CA ? CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 A.

30 10

B.

1 2

C.

30 15

D.

15 10

题号

二 17

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三 18 19 20 21 22

总分

得分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案填写在题后横线上. 2 13. ? (2 x ? 1 ) dx = . 0 2 14. 在平面直角坐标系 O ? xy 中, 二元一次方程 Ax ? By ? 0 ( A, B 不同时为 0 )表示过原 点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 三元一次方程 Ax ? By ? Cz ? 0 ( A, B, C 不同时为 0 )表示 15. 若二项式 ( ? .

x 2

2 n ) 的展开式的第三项是常数项,则 n =_______. x2
x

16. 函数 f ( x) ? (1 ? x) ? e 的单调递增区间是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分)

? 1 ? ? 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. 已知二项式 ? 3 x ? ? ? 23 x ? ?
(I)求展开式的第四项;
2

n

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(II)求展开式的常数项.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x? ? ax? ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f ?(?) ? ?a , f ?(?) ? ?b ,其中 常数 a, b ? R ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程.

19. (本小题满分 12 分) 已知 a ? b ? 0 ,证明: ( a ? b ) ?
2

( a ? b) 2 . 4b

20. (本小题满分 12 分) 某医院计划从 10 名医生(7 男 3 女)中选 5 人组成医疗小组下乡巡诊. (I)设所选 5 人中女医生的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (II)现从 10 名医生中的张强、李军、王刚、赵永 4 名男医生,李莉、孙萍 2 名女医生共 6 人中选一正二副 3 名组长,在张强被选中的情况下,求李莉也被选中的概率.

3

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21. (本小题满分 12 分)
0 ? 如图, 在四面体 ABOC 中, OC ? OA, OC ? OB , AOB ? 120 , OA ? OB ? OC ? 1. 且

(I)设 P 为线段 AC 的中点,试在线段 AB 上求一点 E ,使得 PE ? OA ; (II)求二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 3x ? (a ? 1) ln x , g ( x) ? ax , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 3x ,其中 2

a ?R 且 a ? 1.
(I)求函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的最小值; (II)当 a ? 3 时,求函数 h( x) 的单调区间及极值; (III)若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,函数 h( x) 满足 的取值范围.

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 ,求实数 a x1 ? x2

4

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高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 ADBCB CBCDD CA 二、填空题 13. 5; 14. 过原点的平面; 15. 6; 16. (??, 0) 三、解答题
0 17. 解:因为第一、二、三项系数的绝对值分别为 C n 、
1 C n C n2 、 , 2 4

1 C n2 C n ? 2 ,即 n2 ? 9n ? 8 ? 0 . 所以 C + = 4 2

0 n

解得 n ? 8 . ?????????????????????????????.4 分 (I)第四项 T4 ? C
3 8

? ?
3

1 ? ? x ? ? 3 ? ? ?7 x 3 ;??????????????.7 分 ? 2 x?
5 2 r 8

3

(II)通项公式为 Tr ?1 ? C

? x?
3

8? r

? 1 ? r ? 1? ? ? 3 ? ? C8 ? ? 2 ? ? ? ? 2 x?

r

r

? x?
3

8? 2 r

8? 2 r ? 1? =C ?? ? x 3 , ? 2? r r 8

令 分

2r ? 8 ? 0 ,得 r ? 4 . 3

????????????????????????.10

35 ? 1? 所以展开式中的常数项为 T5 ? C ? ? ? ? . 8 ? 2?
4 8

4

?????????????.12 分 ??..2 分

3 2 2 18. 解: (I)因为 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1,所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.

令 x ? 1 得 f ?(1) ? 3 ? 2a ? b . 由已知 f ?(1) ? 2a ,所以 3 ? 2a ? b ? 2a . 解得 b ? ?3 . ????????.4 分 又令 x ? 2 得 f ?(2) ? 12 ? 4a ? b . 由已知 f ?(2) ? ?b, 所以 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? .

3 2

???????..6 分

3 所以 f ( x) ? x ?

5 3 2 x ? 3x ? 1 , f (1) ? ? . 2 2
3 2

??????????..8 分

又因为 f ?(1) ? 2 ? ( ? ) ? ?3,

????????????????.10 分

故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为

5

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5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1) ,即 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2
2

?????????????..12 分

( a ? b) 2 19. 证明:因为 a ? b ? 0 ,要证 ( a ? b ) ? , 4b
只需证明 a ? b ?

a ?b . 2 b

????..????????????.4 分

即证 1 ?

a ?b ( a ? b )( a ? b ) a? b . ?????7 分 ? ? 2 b( a ? b) 2 b( a ? b) 2 b
a a ,即 1 ? . b b a 显然成立. ?????????????????????..10 分 b
2

即证 2 ? 1 ?

由已知, 1 ?

故 ( a ? b) ?

( a ? b) 2 成立. 4b

??????????????????.12 分

(其它证法参照赋分) 20. 解: (I) ? 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 则 P(? ? 0) ?
5 C7 1 ? ; 5 C10 12 4 1 C7 C3 5 ? ; 5 C10 12 3 C7 C32 5 ? ; 5 C10 12

?.???????????.2 分

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

2 3 C7 C3 1 P(? ? 3) ? 5 ? . C10 12

??????????????????.6 分

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3

1 12

5 12

5 12

1 12

E? ? 0 ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2

??????????????9 分

(II)记“张强被选中”为事件 A , “李莉也被选中”为事件 B ,
6

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1 C52 10 1 C4 1 则 P( A) ? 3 ? ? , P( BA) ? 3 ? , C6 20 2 C6 5

所以 P( B A) ?

P( BA) 2 C1 4 2 ? .(亦可直接得 P( B A) ? 4 ? ? )?????12 分 P( A) 5 C52 10 5

21. 解:在平面内 AOB 过点 O 作 OF ? OA 交 AB 于点 F . 以 O 为坐标原点,分别以 OA 、 OF 、 OC 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角 坐标系(如图). ???????????????????????????1 分

则 A(1, 0, 0) 、 C (0, 0,1) 、 B(?

1 1 1 3 , , 0) 、 P ( , 0, ) . ?????????.?..3 分 2 2 2 2

(I)设 AE ? ? AB(0 ? ? ? 1) ,因为 AB ? (? ,

??? ?

??? ?

??? ?

3 3 ,0) , 2 2

所以 OE ? OA ? AE ? (1,0,0) ? ? (? ,

??? ?

??? ??? ? ?

3 3 3 3 ,0) ? (1 ? ? , ? ,0) , 2 2 2 2

??? ??? ??? ? ? ? 1 3 3 1 PE ? OE ? OP ? ( ? ? , ?, ? ) . 2 2 2 2
因为 PE ? OA ,所以 PE ? OA ? 0 .

??? ??? ? ?



1 3 1 ? ? ? 0 ,解得 ? ? . 2 2 3

1 3 , 0) . 2 6 即点 E 为线段 AB 的三等分点(靠近点 A ). ???????????????7 分 ??? ? (II)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , CA ? (1,0, ?1) .
故所求点为 E ( ,

??? ? x?z ?0 ?n1 ? CA ? ? ? 由? . ??? 得 ? 3 ? 3 y?0 ?n1 ? AB ?? x ? ? ? 2 2
令 z ? 1 得 x ? 1, y ? 3 . 即 n1 ? (1, 3,1) . ????????????????..9 分

又 n2 ? (0,1,0) 是平面 OAC 的法向量, ??????????????????10 分 所以 cos ? n1 , n2 ??

(1, 3,1) ? (0,1,0) 15 . ? 5 5 ?1
15 . 5
??????????????12 分

故二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值为

7

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22. 解: (I) f ?( x) ? x ? 3 ?

a ?1 a ?1 ? x? ? 3 ,其中 x ? 0 . x x a ?1 ? 3≥2 a ? 1 ? 3 , x

因为 a ? 1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,又 x ? 0 ,所以 x ? 当且仅当 x ?

a ? 1 时取等号,其最小值为 2 a ?1 ? 3. ???????????4 分
1 2 2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? 2 ln x ? 3x , h?( x) ? x ? ? 3 ? . 2 x x
?????????????????????..6 分

(II)当 a ? 3 时, h( x) ?

x, h?( x), h( x) 的变化如下表:

x
h?( x)

(0, 1)

1
0

(1, 2)

2
0

(2, +?)

?
?

?
? 5 2

?
?

h( x )

?

2 ln 2 ? 4

所以,函数 h( x) 的单调增区间是 (0, 1) , (2, +?) ;单调减区间是 (1, 2) . ????????????????????????.8 分 函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 ?

5 ,在 x ? 2 处取得极小值 2 ln 2 ? 4 . 2

????????????????????????.10 分 (III)由题意, h( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) ln x ? ax(a ? 1) . 2

不妨设 x1 ? x2 ,则由

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 得 h( x1 ) ? x1 ? h( x2 ) ? x2 . ?????12 分 x1 ? x2
1 2 x ? (a ? 1) ln x ? ax ? x ,则函数 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增. 2

令 F ( x ) ? h( x ) ? x ?

F ?( x) ? x ? (a ? 1) ?
2

a ? 1 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? ≥0 在 (0, ??) 恒成立. x x

即 G( x) ? x ? (a ?1) x ? a ?1 0 在 (0, ??) 恒成立. ≥ 因为 G (0) ? a ? 1 ? 0,

a ?1 ? 0 ,因此,只需 ? ? (a ?1)2 ? 4(a ?1)≤0 . 2
??????????????.14 分
8

解得 1 ? a≤5 . 故所求实数 a 的取值范围为 1 ? a≤5 .

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高二

学科 数学

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山东省曲阜市第一中学 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理 科) (通用版) G.624.6 分类索引描述 考试试题与题解 山东省曲阜市第一中学 2010-2011 学年下学期高二年 栏目名称 名校题库 级期末考试数学试卷(理科) (通用版) 审稿老师 一校 二校 审核

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