中山一中2011-2012学年高二上学期期中考试(文数)

中山一中 2011-2012 学年高二上学期期中考试 数学(文科)试题
参考数据: sin 15 ? ?
6 ? 4 2

, cos 15 ? ?

6 ? 4

2

, tan 15 ? ? 2 ? 3

一、选择题(每小题只有一个答案,每小题 5 分,共 50 分)

1.“ x ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 3 x ? 18 ? 0

2.等差数列 ? a n ? 中, a 3 , a 8 是方程 x 2 A.3 B.18

的两个根,则 a 5 ? a 6 =( D. ? 18 )

).

C. ? 3

3.命题 p :2+4=7,命题 q :若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ; 那么( A. 命题 p ? q 是真命题,命题 p ? q 是真命题 B. 命题 p ? q 是真命题,命题 p ? q 是假命题 C. 命题 p ? q 是假命题,命题 p ? q 是真命题 D. 命题 p ? q 是假命题,命题 p ? q 是假命题 4.若等差数列{ a n }的前三项和 S 3 ? 9 且 a 1 ? 1 ,则 a 2 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 )
b a ?



5.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a 2 ? b 2 B. a 2 b ? a b 2 C.
1 ab
2

?

1 a b
2

D.

a b

6.已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ? a 2 ? 4, a 2 ? a 3 ? 1 2 ,则 a 5 ? ( A.64 B.81 C.128 D.243
?
2



7. ? A B C 中, A,B,C 所对的边长分别为 a , b , c ; C ? 在 角 若 ( A.
?
6

,c ?

2 3 3

a

; A? 则

) B.
?
3

C.

?
6



5? 6

D.

?
3



2? 3

1

? x ? y ? 1≥ 0 ? 8.若实数 x、 y 满足 ? x ? y ≥ 0 ? ?x≤ 0

,则 z ? x ? 2 y 的最大值是(



A.0

B.

1 2
? 2 ?c
n

C.1

D.2

9.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 充要条件是( A. c ? 0 ) B. c ? 1

,其中 c 为常数,则该数列 { a n } 为等比数列的

C. c ? 2
1 n ), 则 a n ?

D. c ? ? 1 ( )

10.数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? ln (1 ? A. 2 ? ln n C. 2 ? n ln n

B. 2 ? ( n ? 1) ln n D. 1 ? n ? ln n

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卷相应的位置上。 11.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是 12. 6 ? 2 5 与 6 ? 2 5 的等比中项是 13.设 x ? 0 ,则 y ? 3 ? 3 x ?
1 x
x 14. 已知命题 p : 实数 m 满足 m ? 1 ? 0 , 命题 q : 函数 y ? ( 9 ? 4 m ) 是增函数。 p ? q 若

的最小值是

为真命题, p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范围为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15. (本题满分 12 分)已知关于 x 不等式 x 2 ? a x ? b ? 0 的解集是 { x ? 5 ? x ? 3} ,求
不等式 a x ? x ? b ? 0 的解集.
2

2

16. (本题满分 12 分)在△ 应的边长,且 b 2
2 2

ABC

中,已知 a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 所对

? c ? a ? b c.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 1 ,且△
ABC

的面积为

3 3 4

,求 c .

17. (本题满分 14 分)已知数列 ? a n ? 的前项和 S n ? n 2 ? 2 n ; (1)求数列的通项公式 a n ; (2)设 T n ?
1 a1 a 2 ? 1 a2a 3 ? 1 a3a4 ?? ? 1 a n a n ?1

,求 T n .

18. (本小题满分 14 分)第四届中国国际航空航天博览会于 2010 年 11 月在珠海举 行,一次飞行表演中,一架直升飞机在海拔 800m 的高度 飞行,从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯 角分别是 45° 30° 和 (如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 P Q . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同 时测得飞机的仰角为 45° 30° 和 ,他们估计 P、Q 两处距离 大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离.

19. (本小题满分 14 分)一农民有基本农田 2 亩,根据往年 经验,若种水稻,则每季每亩产量为 400 公斤;若种花生, 则每季每亩产量为 100 公斤。但水稻成本较高,每季每亩 240 元,而花生只需 80 元,且花生每公斤 5 元,稻米每公斤卖 3 元。现该农民手头有 400 元; (1)设该农民种 x 亩水稻, y 亩 花生,利润 z 元,请写出约束条件及目标函数; (2)问两种作 物各种多少,才能获得最大收益?

3

20. (本题满分 14 分)设 { a n } 是等差数列, { b n } 是各项都为正数的等比数列, 且 a 1 ? b1 ? 1 , a 3 ? b 3 ? 9 , a 5 ? b 2 ? 11 . (Ⅰ)求 { a n } , { b n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? an ? ? ? bn ?

的前 n 项和 S n .[

4

参考答案
一、选择题(每小题只有一个答案,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D 9 D 10 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. ? 49 12. ? 4 13. 3 ? 2 3 14. (1 , ) 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15. (本题满分 12 分) 已知关于 x 不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 { x ? 5 ? x ? 3} ,求不
2

等式 ax

2

? x ? b ? 0 的解集.

解:由 x 2 ? a x ? b ? 0 的解集是 { x ? 5 ? x ? 3} 可知 ? 5 与 3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的 两根;
?25 ? 5a ? b ? 0 ∴? , ?9 ? 3a ? b ? 0
??? 4 分

解得 ?

?a ? 2 ?b ? ?15

7分

从而 ax

2

2 ? x ? b ? 0 变为 2 x ? x ? 15 ? 0

解得其解集为 { x | ? 3 ? x ?

5 2

}

? ? ? 12 分

16. (本题满分 12 分)在△ A B C 中,已知 a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 所对应的边 长,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? b c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 1 ,且△ A B C 的面积为
2 2

3 3 4

,求 c …………2 分

解: (Ⅰ)在△ABC 中, b ? c ? a ? 2 b c co s A
2

又 b ? c ? a ? bc
2 2 2

? cos A ?

1 2

…………4 分
A ?

? 0? A??, ?

?
3

…………6 分 …………10 分 ……………………12 分
5

(Ⅱ)由 S ?

1 2

b c sin A ?

3 4

bc ?

3 3 4

,得 b c ? 3

?b ?1?c ? 3

17. (本题满分 14 分)已知数列 ? a n ? 的前项和 S n ? n ? 2 n
2

(1)求数列的通项公式 a n ; (2)设 T n ?
1 a1 a 2 ? 1 a2 a 3 ? 1 a3 a4 ?? ? 1 a n a n ?1
2

,求 T n .

解: (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? n ? 2 n ? [( n ? 1) ? 2 ( n ? 1)] ? 2 n ? 1 ①…4 分
2

当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,也满足①式
2

??? 6 分

所以数列的通项公式为
1 a n a n ?1 ? 1

an ? 2n ? 1
? 1 1 ? 1 2n ? 3

7分
? ? ? 10 分

(2)

( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

2 2n ? 1

(

)

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ?? ? ) ? 2 3 5 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 n ( ? ) ? 2 3 2n ? 3 3( 2 n ? 3)

? ? ? 14 分 18. (本小题满分 14 分)第四届中国国际航空航天博览会于 2010 年 11 月在珠海举行,一次 飞行表演中, 一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行, 从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯角 分别是 45° 30° 和 (如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 P Q . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45° 和 30° ,他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试 估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离.

解: (1)在 R t ? A C P 中, 则 PC

PC AC

? ta n ? C A P



? 8 0 0 ? tan 4 5 ? ? 8 0 0

.

……(3 分)
? 8 0 0 ? tan 6 0 ? ? 8 0 0 3

在 R t ? A C Q 中, 所以, P Q

QC AC

? ta n ? C A Q

,则 Q C

. ……(5 分)

? Q C ? PC ? 800 3 ? 800

(m). ……(7 分)
? 30? , ? PAQ ? 45? ? 30? ? 15?

(2)在 ? A P Q 中, P Q 根据正弦定理,得
PA s in 3 0 ?

? 600
?

m, ? A Q P

. ……(8 分)

600 s in 1 5 ?

, ……(10 分)
? 300 ( 6 ?

则 PA ?

600 sin 30 ? sin 15 ?

?

300 6 ? 4 2

2 ) (m).

…(14 分)

19. (本小题满分 14 分)一农民有基本农田 2 亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产 量为 400 公斤;若种花生,则每季每亩产量为 100 公斤。但水稻成本较高,每季每亩 240
6

元,而花生只需 80 元,且花生每公斤 5 元,稻米每公斤卖 3 元。现该农民手头有 400 元; (1)设该农民种 x 亩水稻, y 亩花生,利润 z 元,请写出约束条件及目标函数; (2)问 两种作物各种多少,才能获得最大收益? 解: (1)约束条件为
?x ? y ? 2 ? ?240 x ? 80 y ? 400 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? ?3 x ? y ? 5 即 ? ……4 分 ?x ? 0 ?y ? 0 ?

目标函数为

z ? (3 ? 4 0 0 ? 2 4 0 ) x ? (5 ? 1 0 0 ? 8 0 ) y ? 9 6 0 x ? 4 2 0 y ………7 分

(2)作出可行域如图所示,………………9 分 把 z ? 960 x ? 420 y 变形为 y ? ?
z 420 16 7 x? z 420 16 7 z 420 x? z 420

,得到斜率为 ?

16 7

,在 y 轴上的截距为

,随 z 变化的一族平行直线;当直线 y ? ? 最大,即 z 最大。
?x ? y ? 2 ?3 x ? y ? 5 ? x ? 1 .5 ? y ? 0 .5

经过可行域上的点 B 时,

截距

解方程组 ?

得?

,即 B 的坐标是(1.5,0.5)

………12 分

5 故当 x ? 1 . , y ? 0 .5 时, z max ? 960 ? 1 . 5 ? 420 ? 0 . 5 ? 1650 元

………13 分

答:该农民种 1 .5 亩水稻, 0 .5 亩花生时,能获得最大利润,最大利润为 1650 元。…14 分 20. (本题满分 14 分) 设 { a n } 是等差数列, { b n } 是各项都为正数的等比数列,且 a 1 ? b1 ? 1 , a 3 ? b 3 ? 9 ,
a 5 ? b 2 ? 11 (Ⅰ)求 { a n } , { b n } 的通项公式;
? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?
?d ? 2 ?q ? 2

(Ⅱ)求数列 ?

?a1 ? 2 d ? q 2 ? 9 解: (1)依题意得 ? ? a 1 ? 4 d ? q ? 11

得?

, a n ? 2 n ? 1, b n ? 2

n ?1

6分

(2)

an bn

?

2n ? 1 2
0

n ?1

?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 1 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? 2 n ? 1? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2?

1

2

n ?1

7

1 2 1

Sn ?

?1? ? 1? 1 ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?2? ? 2?
0

1

2

?

2 ? n

? 1? ?3? ? ? 2 ?

n?

1

?

?

n2?

? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ?

n

1 1 ? ?1? ?1 ?1? S n ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 2 ?2? ?2 2 ? ?2?
1? ? 1? 2 1? 1
n ?1 n

n

??? 9 分

1 2

?1? ? ? 2 n ? 1? ? ? ?2?

? 3? Sn ? 6 ?

3 ? 2n 2
n

? ? ? 12 分

3 ? 2n 2
n ?1

14 分

8


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