山东省实验中学2015届高三第一次诊断性考试理科数学试卷纯word版含解析

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考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

1.设 i 是虚数单位,复数 A. ?2 【答案】D 【解析】 试题分析:由于复数 B.2

a?i 是纯虚数,则实数 a ? 2?i 1 1 C. ? D. 2 2

a ? i ?a ? i ??2 ? i ? ?2a ? 1? ?a ? 2?i ? ? ? 是纯虚数,? 2a ? 1 ? 0 ,得 2 ? i ?2 ? i ??2 ? i ? 5 5

a?

1 ,故答案为 D. 2

考点:1、复数的四则运算;2、纯虚数的概念. 2.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? 2 ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A 【答案】C 【解析】 试 题 分 B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B

?

?

?

?









y ? x ?1 ? ?1



? A ? ?y | y ? ?1?





? 3 ? A,3 ? B, A ? B ? B, A ? B ? A ,故答案为 C.
考点:1、元素与集合的关系;2、集合间的并集、交集. 3. 已知函数 f ? x ? ? A cos ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,? ? R ? , 则 “ f ? x ? 是奇函数” 是 “? ? 的

?
2



A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析: 当 f ?x ? 为奇函数时, 有 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 得 Ac os ?? ?x ? ? ? ? ? A c os 由诱导公式得

??x ? ? ? ,


? A cos??x ? ? ? ? A cos?? ? ??x ? ? ?? ? A cos?? ? ?x ? ? ? Ac





?? ?x o ? ? ? ? A cs ?? ? ? o x ?? ?

s

? ??x ? ? ? ? ? ?x ? ? ? 2k? , 得 ? ?

?
2

? k? , 得 不 到 ? ?

?
2

;当??

?
2

时,

?? ? f ?x ? ? A c o ?s ?x ? ? 2? ?
? ? A sin ?x 为奇函数,因此“ f ? x ? 是奇函数”是“ ? ?

?
2

”的必要不充分条件,故答案为

B. 考点:1、奇函数的应用;2、充分条件和必要条件的判断. 4.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ?1, a ? 1, a ? 4, 则an ? A. 4 ? ? ? 【答案】C 【解析】 试题分析: 由于等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 4 , 得 ?a ? 1? ? ?a ?1??a ? 4? ,
2

?3? ?2?

n

B. 4 ? ? ?

?2? ?3?

n

C. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n ?1

解得 a ? 5 ,因此前三项依次为 4,6,9,公比 q ? 考点:等比数列的通项公式. 5.如图给出的是计算 是

3 ? 3? ,因此 an ? 4 ? ? ? 2 ? 2?

n ?1

,故答案为 C.

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图,其中菱形判断横应填入的条件 2 4 6 20

A. i ? 10 【答案】A 【解析】

B. i ? 10

C. i ? 11

D. i ? 11

1 1 1 1 ? ? ? ?? 共 10 个数,每执行一次加一个数, i 的值增加 1,加 2 4 6 20 i 的值变为 11, 10 个数之后, 此时判断框的条件成立, 退出循环体, 判断框内条件应为 i ? 10 ,
试题分析:由于 故答案为 A. 考点:程序框图的应用. 6.函数 f ? x ? ? log 2 x ? A. ? 0,1? 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 f ?1? ? log2 1 ? 1 ? ?1 ? 0 , f ?2 ? ? log 2 2 ? B. ?1, 2 ?

1 的零点所在的区间为 x
C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ?

1 1 ? 1? ? 0 , 因 此 2 2

f ?1?? f ?2? ? 0 ,故函数 f ?x ? 在区间 ?1,2? 内有零点,故答案为 B.
考点:函数零点的判断. 7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边 界) ,则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为

A.

? 3

B.

3 3 4?

C.

3 4

D.以上全错

【答案】B 【解析】 试题分析:设正三角形的边长为 a ,圆的半径为 R ,则正三角形的面积为 定理得 2 R ? 得 R?

3 2 a ,由正弦 4

a sin 60 0

1 3 a , ? 圆 的 面 积 S ? ?R 2 ? ?a 2 , 有 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 得 概 率 3 3

3 2 a 3 3 ,故答案为 B. P? 4 ? 1 2 4 ? ?a 3
考点:几何概型的概率计算.

x2 y 2 2 8. .已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2, 若抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0? a b
的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 A. x 2 ?
2

8 3 y 3

B. x 2 ?
2

16 3 y 3

C. x ? 8 y 【答案】B 【解析】

D. x ? 16 y

试题分析:双曲线的其中一条渐近线方程为 bx ? ay ? 0 ,离心率 e ?

c ? 2 ,得 c ? 2a ,由 a

2 2 2 于c ? a ?b 得b ?

3 ?p ? ? 2 ,整 c ,抛物线的焦点坐标 ? ,0 ? 到渐近线的距离 2 ?2 ? a2 ? b2

p b 2

理得

p b p 3 ? ? ? ? 2得 2 c 2 2
8 3 16 3 ,因此抛物线方程 x 2 ? y ,故答案为 B. 3 3

p?

考点:双曲线和抛物线的标准方程和性质应用. 9 . 已 知 O 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 一 定 点 , 动 点 P 满 足 O P? O ? A?

uu u r

uur

uu u r uuu r AB AC ( uu ) ? ? ? ? 0? ,则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的 ? uuu u r r AB sin B AC sin C
A.内心 B.外心 【答案】 【解析】 C.垂心 D.重心

试题分析:作出如图所示的图形, AD ? BC ,由于 AB sin B ? AC sin C ? AD

? ? ? AB AC ? ? ? OP ? OA ? ? ? ? ? ? OA ? AD AB ? AC ? AB sin B AC sin C ? ? ?

?

?



? OP ? OA ? AP ?

?
AD

?AB ? AC ?,

因此 P 在三角形的中线上,故动点 P 一定过三角形 ABC 的重心,故答案为 D.

考点:1、三角形的五心;2、向量加法的几何意义. 10 .已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x? ? 0, y ? f? x?1 ? 的图象关于

?1,0? 对称,且 f ? 2? ? 4, 则 f ? 2014? ?
A.0 B. ?4 【答案】B 【解析】 试 题 分 C. ?8 D. ?16









f ? x?







x?R







f ?x ? 6? ? ? f ?x? ,? f ?x ? 12? ? f ??x ? 6? ? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x ? , 因 此 函 数 f ?x ? 的 周 期 T ? 12 , 把 y ? f ?x ? 1? 的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 的 y ? f ?x ?1 ? 1? ? f ?x? 的 图 象 关 于 ?0,0? 对 称 , 因 此 函 数 f ?x ? 为 奇 函 数 , ? f ?2014? ? f ?167?12 ? 10? ? f ?10? ? f ?10 ?12? ? f ?? 2? ? f ?2? ? ?4 ,因此答案为 B.
考点:1、函数的周期性;2、函数图象平移;3、函数奇偶性的应用.

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

11.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为________ m

3

【答案】4 【解析】 试题分析:由三视图可知几何体为三棱锥,底面积 S ?

1 ? 4 ? 3 ? 6 ,高 h ? 2 ,因此体积 2

V?

1 Sh ? 4 ,故答案为 4. 3
5

考点:几何体的体积.

1? ? 4 12.在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是________ x ? ?
【答案】10 【解析】
r 试题分析:由二项展开式得 Tr ?1 ? C5 ??

? 1? 2 ? x ? x?

r

? ?

5? r

r ??1? x10?3r ,令 10 ? 3r ? 4 ,得 ? C5 r

2 r ? 2 ,因此 x 4 的项系数是 C5 ??1? ? 10 ,故答案为 10. 2

考点:二项式定理的应用. 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律,第 n 个等式为_______. 【答案】 n ? ?n ? 1? ? ?n ? 2? ? ?? ?3n ? 2? ? ?2n ?1?
2

【解析】 试题分析:观察这些等式,第一个式子左边 1 个数,从 1 开始;第二个式子 3 个数相加,从 2 开始;第三个式子 5 个数相加,从 3 开始;第 n 个式子有 2n ? 1个数相加,从 n 开始;等 式 的 右 边 为 前 边 2n ? 1 个 数 的 中 间 数 的 平 方 , 故 第 n 个 等 式 为
2 n ? ?n ?1? ? ?n ? 2? ??? ?3n ? 2? ? ?2n ?1? .

考点:归纳推理的应用.
2 14. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一 2

个公共点 M ,则 PM 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】
2 试题分析: 因为点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一个公共点 M , 因此 PM 为 2

圆 C 的切线,

? PC ? PM ? r 2 ,当 PC 最小时, PM 最小,当 PC ? l1 时, PC 最小为 ?5,0? 为直
2 2

线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

5?3 1?1

? 4 2 ,因此 PM min ?

PC ? r 2 ? 32 ? 16 ? 16 ? 4 .

2

考点:直线与圆的位置关系.

?x ? y ? 1 ? 15. .已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
7,则

3 4 ? 的最小值为_________. a b

【答案】7 【解析】

?x ? y ? 1 ? 试 题 分 析 : 作 出 不 等 式 ? x ? y ? ?1 表 示 的 平 面 区 域 , 得 到 ?ABC 及 其 内 部 , 其 中 ?2 x ? y ? 2 ?

A?1,0?, B?3,4?, C?0,1?
把目标函数 z ? ax ? by?a ? 0, b ? 0? 转化为 y ? ?

a a z x ? ,表示的斜率为 ? ? 0 ,截距为 b b b

z ,由于 b ? 0 当截距最大时, z 最大,由图知,当过 B?3,4? 时,截距最大, z 最大,因此 b

3a ? 4b ? 7 ,?

3a ? 4b ?1, 7

3 4 ? 3 4 ? 3a ? 4b 25 12b 12a 25 12 ? b a ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 于 a ? 0, b ? 0 , a b ?a b? 7 7 7a 7b 7 7 ?a b?

b a b a ? ?2 ? ?2 a b a b
当且仅当 a ? b ? 1 时取等号,? ?

25 12 49 ? 3 4? ? ? ? ? ?2 ? ?7. 7 ? a b ? min 7 7

考点:1、线性规划的应用;2、利用基本不等式求最值. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 16 . 已 知 向 量 a ? ? sin ? x, cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x ?? ? 0 ? , 函 数

r

r

?

?

r r 3 的最小正周期为 ? . f ? x? ? a ?b ? 2
(1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; ( 2 ) 如 果 △ ABC 的 三 边 a、b、c 所 对 的 角 分 别 为 A, B, C , 且 满 足

b2 ? c2 ? a2 ? 3bc,求f ? A? 的值.
【答案】 (1) ?? 【解析】 试题分析: (1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到 y ? A sin??x ? ? ? 的形式,利

3 ? ? 5 ? (2) f ? A? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ; 2 12 ? 12 ?

用公式 T ?

2?

?

计算周期; (2)求解较复杂三角函数的单调区间时,首先化成

??x ? ? ? 形式,再 y ? A sin??x ? ? ? 的单调区间,只需把 ?x ? ? 看作一个整体代 y ? As i n
入 y ? sin x 相应的单调区间,注意先把 ? 化为正数,这是容易出错的地方; (3)在三角形中 处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次 式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公 式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围. 试题解析: (1) f ?x ? ? a ? b ?

3 3 ? sin ?x cos?x ? 3 cos2 ?x ? 2 2
3分

1 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos2?x ? sin ? 2?x ? ? 3? 2 2 ?
∵ f ?x ? 的最小正周期为 ? ,且 ? >0 ∴

2? ? ? , ∴ ? ? 1, 2?

4分

∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?. 3?

?
2

? 2 k? ≤ 2 x ?

?
3



?
2

? 2k? , k ? Z

5分

得 f ?x ? 的增区间为 ??

? ? 5 ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 12 ? 12 ?

6分

(2)由 b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, ∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc,

b2 ? c2 ? a2 3bc 3 又由 cos A ? ? ? 2bc 2bc 2
∴在 ?ABC 中, A ? ∴ f ? A? ? sin? 2 ?

8分

?
6
?

9分

? ?

?
6

??

3 2? ? ? ? sin 2 3? 3

12 分

考点:1、求正弦型函数的单调区间;2、三角形中余弦定理的应用. 17.甲、乙两篮球运动员进行定点投篮,每人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为 篮命中的概率为

1 ,乙投 2

2 . 3

(1)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率;

(2)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ?1 分,求乙所得分数? 的概率分布和数学期 望. 【答案】 (1)

11 20 ;(2) E ?? ? ? 18 3

【解析】 试题分析: (1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的 平均水平,二项分布的期望和方差:若 ? ~ B?n, p ?,则 E?? ? ? np, D?? ? ? np?1 ? p ? ; (2) 求随机变量的分布列的主要步骤: 一是明确随机变量的取值, 并确定随机变量服从何种概率 分布;二是求每一个随机变量取值的概率,三是列成表格; (3)求出分布列后注意运用分布 列的两条性质检验所求的分布列是否正确; (4)求解离散随机变量分布列和方差,首先要理 解问题的关键,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相对应的概率,写成 随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析:解: (1)设“甲至多命中 2 个球”为事件 A ,“乙至少命中两个球”为事件 B ,
4 1 1 3 2 2 2 由题意得: P( A) ? ( ) ? C 4 ( ) ? ( ) ? C 4 ( ) ? ( ) ?

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 8 2 2 2 3 2 3 P( B) ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? C4 ( ) ? ? ( )4 ? 3 3 3 3 3 9 P( A) ? P ( B) ? 11 8 11 ? ? 16 9 18
0

1 2

11 16
4分

2分

∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为: 6分

(2)? =-4,0,4,8,12,分布列如下: η P -4 4 8 12

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81
12 分

E ?? ? ? ?4 ?

1 8 24 32 16 20 ? 0 ? ? 4 ? ? 8 ? ? 12 ? ? . 81 81 81 81 81 3

考点:1、求随机事件的概率;2、离散型随机变量的分布列和数学期望. 18 . 如 图 , 在 多 面 体 ABC ? A 1B 1C1 中 , 四 边 形 ABB 1A 1 是 正 方 形 , AC=AB=1 ,

A1C ? A1B ? BC , B1C1 / / BC , B1C1 ?

1 BC . 2

(1)求证: AB1 / /面AC 1 1C ; (2)求二面角 C ? AC 1 1 ? B 的余弦值的大小. 【答案】 (1)证明见解析; (2)

1 . 3

【解析】 试题分析: (1)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行 的性质定理, 三是利用面面平行的性质; (2) 利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系, 准确写出相关点的坐标, 从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (3) 把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值; (4) 空间向量将空间位置关系转化 为向量运算, 应用的核心是要充分认识形体特征, 建立恰当的坐标系, 实施几何问题代数化. 同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与 性质定理条件要完备. 试题解析:解: (1)取 BC 的中点 E ,连结 AE , C1E , B1 E

B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC ,? B1C1 // EC, B1C1 ? EC , 2

? 四边形 CEB1C1 为平行四边形, 从而 B1E // C1C ,

C1C ? 面 AC 1 1C , B 1 1C 1 E ? 面 AC
? B1E // 面 AC 1 1C
2分

B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC ,? B1C1 // BE, B1C1 ? BE 2

? 四边形 BB1C1E 为平行四边形? B1B // C1E ,且 B1B ? C1E


ABB1 A1 是正方形,? A1 A // C1E ,且 A1 A ? C1E

故 AEC1 A 1 为平行四边形,? AE // AC 1 1

AE ? 面 AC AE // 面 AC A1C1 ? 面 AC 1 1C , 1 1C ? 1 1C

AE

B1E ? E ,? 面 B1 AE // 面 AC 1 1C
6分

AB1 ? 面 B1 AE ,? AB1 // 面 AC 1 1C
(2)

四边形 ABB1 A 1 为正方形, ? A 1 A ? AB ? AC ? 1 , A 1 A ? AB

? A1B ? 2 ,

AC ? A1B ? AC 1 1 ? 2

由勾股定理可得: ?A 1 A ? AC , 1 AC ? 90 ,? A

AB

AC ? A ,? A1 A ? 面 ABC ,

AC ? A1B ? BC ,? BC ? 2 1
由 8分 故以 A 为原点,以 AC 为 x 轴建立坐标系如图,则 C (1, 0, 0), A1 (0, 0,1), C1 ( , ,1) , 勾 股 定 理 可 得 :

?BAC ? 90



?
1 1 2 2

AB ? AC

1 1 1 1 B(0,1, 0) ,所以 CA1 ? (?1,0,1) , CC1 ? (? , ,1) , BA1 ? (0, ?1,1) , BC1 ? ( , ? ,1) . 2 2 2 2 z A1 B1

C1

A E
C

B y

x

设面 AC 1 1C 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,由 n 1 ? CA 1 ? 0, n 1 ? CC1 ? 0

?? x ? z ? 0 ? ,令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, ?1,1) ?? 1 1 ? x ? y ? z ? 0 ? ? 2 2
设面 AC 1 1 B 的法向量为 n2 ? (m, n, k ) ,则 n2 ? BA 1 ? 0, n2 ? BC1 ? 0

??n ? k ? 0 ? 则 ?1 ,令 k ? 1 ,则 n2 ? (?1,1,1) 1 m? n?k ?0 ? ?2 2
所以 cos n1 , n2 ?

10 分

n1 ? n2 n1 n2

?

?1 ? 1 ? 1 1 ?? 3 3? 3

设二面角 C ? AC 1 1 ? B 的平面角为 ? , n1 , n2 ? ? 所以 cos ? ? cos ?? ? ? ? ?

1 3

.

12 分

考点:1、直线与平面平行的判定;2、求二面角的余弦值.

19.设数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 且Sn ? bn ? 2 . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?

an ? n ? N ? ?,Tn 为数学 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn . bn
n ?1

?1? 【答案】 (1) an ? 2n ? 1, bn ? ? ? ? 2?
【解析】

; (2) Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

试题分析: (1)给出 Sn 与 an 的关系,求 an ,常用思路:一是利用 Sn ? Sn?1 ? an ?n ? 2? 转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系, 再求 an ; (2)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在

?bn ? 于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用; (3) 一般地, 如果数列 ?a n ?是等差数列,
是等比数列,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同 乘以等比数列 ?bn ?的公比,然后做差求解. 试 题 解 析 : 解 ( 1 ) 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 所 以 d ?

1 (a5 ? a3 ) ? 2, 又 因 为 2

a3? 5,? a1 ? 1,? an ? 2n ? 1
由 S n?bn ? 2, 得Sn ? 2 ? bn n=1 时, S1 ? 2 ? b1 ? b1,?b1 ? 1

n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn ?1 )
所以 bn ?

1 bn ?1 2 2

4分

1 ?bn ?是以1为首项, 为公比的等比数列

?1? ? bn ? ? ? ?2?

n ?1

6分

(2)由(1)知, cn ?

an ? (2n ? 1) ? 2n?1 bn

7分

Tn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ......(2n ? 3) ? 2n?2 ? (2n ?1 ) ? 2n?1

2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ......(2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1 ) ? 2n

9分

? ?Tn ? 1 ? 2 ? 21 + 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ......2 ? 2n?1 ? (2n ?1)2n
=1 ? 2

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)2n 1? 2
11 分 12 分

=1-4+ (3 ? 2n)2n

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

考点:1、求等差数列、等比数列的通项公式;2、错位相减求数列的和. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两 a 2 b2

端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程; ( 2 ) 过 点 Q ? ?1, 0 ? 的 直 线 l 交 椭 圆 于 A , B 两 点 , 交 直 线 x ? ?4 于 点 E ,

uuu r uu u r uu u r uuu r AQ ? ?QB, AE ? ? EB. 判断 ? ? ? 是否为定值,若是,计算出该定值;不是,说明理由.
【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)设椭圆的方程,用待定系数法求出 a , b 的值; (2)解决直线和椭圆的综合 问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设 条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭 圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元二 次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
2 2

x2 ? y2 ? 1 ; (2) ? ? u 是定值 0. 4

? 2b2 x2 ? 1 ?a ? 2 ? ? y2 ? 1 试题解析: (1)由条件得 ? a ,所以方程 ?? 4 b ? 1 ? ?2b ? a ?
(2)易知直线 l 斜率存在,令 l : y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(?4, y0 )

4分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
x1 ? x2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? ? 48k 2 ? 16 ? 0

5分

6分

由 AQ ? ? QB ? (?1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 )即 ?

? ?( x1 ? 1) ? ? ( x2 ? 1) ? y1 ? ?? y2
7分

得? ? ?

x1 ? 1 x2 ? 1

由 AE ? ? EB ? (?4 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ? y0 )即 ?

??( x1 ? 4) ? ? ( x1 ? 4) ? y0 ? y1 ? ? ( y2 ? y0 )

得? ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

8分

?? ? ? ? ?

( x1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 1) 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ?? 1 2 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)

将 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 代入 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

8k 2 ? 8 40k 2 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ? ? 8 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?? ?0 有? ? ? ? ? ? ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4) .
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的综合应用. 21.已知函数 f ? x ? ?

13 分

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R . x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在原点处的切线方程; (2)求 f ? x ? 的单调区间; (3)若 f ? x ? 在?0, ? ?? 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 2 x ? y ? 0 ; (2)当 a ? 0 时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 单调递增,在 ( ??, 0) 单调递减, 当a ? 0时

1 1 f ( x) 的单调增区间是 ( ??, ) , ( ?a, ??) ;单调减区间是 ( , ?a) a a 1 1 当 a ? 0 时 f ( x ) 的单调增区间是 ( ??, ) , ( ?a, ??) ;单调减区间是 ( , ?a ) a a
(3) (??, ?1] 【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?0,0? 处的切线方程,注意这个点的切点 ,

(0,1] .

利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??0? ; (2)首先求导数 f ?? x ? ,然后根据参数 a 取值 的不确定性,对其进行分类讨论求解,分类讨论不要出现遗漏,不要出现重复现象,求单调 性列表; (3)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时,要先求函 数 y ? f ?x ? 在 区 间 ?a, b? 内 使 f ??x ? ? 0 的 点 , 再 计 算 函 数 y ? f ?x ? 在 区 间 内 所 有 使

f ??x ? ? 0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.
试题解析: (1)解:当 a ? 1 时, f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? 1) 2x , f ?( x) ? ?2 . x ?1 ( x 2 ? 1)2
2

2分

由 f ?(0) ? 2 , 得曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0

3分 4分

( x ? a)(ax ? 1) . x2 ? 1 2x ①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 2 . x ?1
(2)解: f ?( x) ? ?2 所以 f ( x ) 在 (0, ?? ) 单调递增,在 ( ??, 0) 单调递减. 5分

1 ( x ? a)( x ? ) a . 当 a ? 0 , f ?( x) ? ?2a 2 x ?1
②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?a , x2 ?

1 , f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下: a
( x2 , ? ?)
?

x
f ?( x) f ( x)

( ??, x1 )
?

x1

( x1 , x2 )

x2

0
f ( x1 )

?


0
f ( x2 )





故 f ( x) 的单调减区间是 ( ??, ?a ) , ( , ?? ) ;单调增区间是 ( ? a , ) . 7 分 ③当 a ? 0 时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

1 a

1 a

x
f ?( x) f ( x)

( ??, x2 )

x2

( x2 , x1 )
?

x1

( x1 , ? ?)

?


0
f ( x2 )

0
f ( x1 )

?




所以 f ( x ) 的单调增区间是 ( ??, ) , ( ?a, ??) ;单调减区间是 ( , ?a ) (3)解:由(2)得, a ? 0 时不合题意.

1 a

1 a

9分 10 分

当 a ? 0 时, 由 (2) 得, f ( x) 在 (0, ) 单调递增, 在 ( , ??) 单调递减, 所以 f ( x) 在 (0, ??)
2 上存在最大值 f ( ) ? a ? 0 .

1 a

1 a

1 a

设 x0 为 f ( x) 的零点,易知 x0 ?

1 ? a2 1 ,且 x0 ? .从而 x ? x0 时, f ( x) ? 0 ; x ? x0 时, a 2a

f ( x) ? 0 .
若 f ( x) 在 [0, ??) 上存在最小值,必有 f (0) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1 . 所 以 a ? 0 时 , 若 f ( x) 在 [0, ??) 上 存 在 最 大 值 和 最 小 值 , a 的 取 值 范 围 是 . (0,1 ] 12 分

当 a ? 0 时, 由 (2) 得,f ( x) 在 (0, ?a) 单调递减, 在 (?a, ??) 单调递增, 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上存在最小值 f (?a) ? ?1 . 若 f ( x) 在 [0, ??) 上存在最大值,必有 f (0) ? 0 ,解得 a ? 1 ,或 a ? ?1 . 所以 a ? 0 时,若 f ( x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值, a 的取值范围是 (??, ?1] . 综上, a 的取值范围是 (??, ?1]

(0,1] .

14 分

考点:1、求曲线的切线方程;2、利用导数求函数的单调区间;3、利用导数求函数的最值.

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