第二十一讲空间几何体的表面积和体积_图文

第二十一讲 空间几何体的表面积和体积
一、引言 (一)本节的地位:空间几何体的表面积和 体积是从度量的角度认识空间几何体,是空 间几何体学习的重要内容,也是继续研究和 学习立体几何的基础,具体有两个任务:一 是根据空间几何体的结构特征并结合它们的 展开图,推导它们的表面积的计算公式;二 是在初中学习几何体体积的基础上进一步学 习几何体的体积.

(二)考纲要求:了解球、棱柱、棱锥、 台的表面积和体积的计算公式,了解柱、 锥、台体的侧面展开图的形状和各线段的 位置关系,培养空间想象能力、逻辑推理 能力和计算能力,能利用所学公式进行简 单立体图形的表面积和体积的计算.

(三)考情分析:在高考命题中,几何体 的表面积和体积以中、低档题目出现的可 能性较大,从考察形式上看,主要以选择

题和填空题的形式出现,从能力要求上看,
重点考查空间想象能力和从立体问题向平

面问题转化的能力.

二、考点梳理
1. 柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面 面积之和,表面积是各个面的面积之和,即 侧面积与底面积之和.

2.如果圆柱的底面半径是 r ,母线长为 l , 那么圆柱的底面积是 S柱底 ? ? r ,
2

圆柱的侧面积公式是 S柱侧 ? 2? rl , 表面积是 S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l ) .
2

3.圆锥的侧面展开图是一个扇形. 如果圆锥的底面半径是 r , 母线长为 l ,那么它的表面积是

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l ) .
2

4.圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面 积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的 面积,即

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

5.棱柱和圆柱的体积公式为:

V ? Sh(S为底面面积,h为高)

6. 棱锥和圆锥的体积公式为: 1 V ? Sh( S为底面面积,h为高) 3 7. 圆台和棱台的体积公式为:
1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

其中 S , S 分别为上下底面面积,

'

h 为圆台(棱台)的高.

8. 球的体积及球的表面积公式 (1)如果球的半径为 R ,那么它的体积
4 为: V ? ? R 3 . 3

(2)如果球的半径为R ,那么它的表面积
为:

S ? 4? R

2

.

三、典型例题选讲 例1 如图,已知棱长为 a ,各面均为等边三角形
的四面体 S ? ABC , 求它的表面积.

解:先求 ?SBC 的面积,过点 S 作 SD ? BC ,交 BC 于点 D . 因为 BC ? a , SD ?

a 3 SB 2 ? BD2 ? a 2 ? ( )2 ? a, 2 2

所以 S?SBC ?

1 1 3 3 2 BC ? SD ? a ? a? a . 2 2 2 4 3 2 a ? 3a 2 . 4

因此,四面体 S ? ABC 的表面积为 S ? 4 ?

归纳小结:求锥、柱、台的表面积, 就是求它们的侧面积与底面积之和,对于 圆柱、圆锥、圆台,已知上、下底面半径 和母线长可以用表面积公式直接求出,对 于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式, 可以直接根据条件求各个面的面积. 我们经常把立体几何问题转化为平面 几何问题,这种立体几何平面化的思想和 方法要认真体会.同时,要注意基础知识的 落实,平面图形及相关性质要熟练掌握.

例 2 (2009 上海)已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S2 , S3 , 满足的等量关系是___________.

解析: ∴ S1 ?

S1 ? 4? R

2 1 ,

2 , S2 ? 4? R2 S3 ? 4? R3 , 2

? ? 2R1 , S2 ? ? ? 2R2 , S3 ? ? ? 2R3 .

又∵ R1 ? 2R2 ? 3R3 ,



S1 2 ?

?

2 ? S2 2 ?

?

3 ? S3 2 ?

,

即 s1 ? 2 s2 ? 3 s3 .

R S

归纳小结:球的表面积公式为 S ? 4? R , 既可由半径 R 求出球的表面积 S ,也可适 当变形,由球的表面积 S 表示球的半径 R . 对于我们学习的公式,既要能够直接应用, 更要研究它们的等价形式,培养合理转化的 数学思想方法.
2

例 3 (2007 全国Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点 在一个直径为 2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长 1 cm ,那么该棱柱的表面积为_____________ cm .
2

解析:设正四棱柱高为 a .由长方体与球 的切接性质知,长方体的体对角线是球的直径. 所以 1 ? 1 ? a ? 4 , a ?
2

2 .正四棱柱的表面
2

积为 S ? 1?1? 2 ? 4 ?1? 2 ? (2 ? 4 2)cm .

归纳小结:本题考查简单组合体的 表面积计算,突出空间想象能力,关键 是抓住长方体的体对角线是球的直径这 一性质.

例 4(2009 陕西) 若正方体的棱长为 2 , 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为 ( )

2 A. 6

B.

2 3

3 C. 3

2 D. 3

解析:由题意知,这个凸多面体由两个相同的正四棱锥组成, 即正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥) ,所有棱长均

2 为 1,其中每个正四棱锥的高均为 ,故正八面体的体积为: 2 V ? 2V正四棱锥
故选 B .

1 2 2 2 ? 2 ? ?1 ? ? . 3 2 3

归纳小结:求柱、锥、台体的体积时, 根据体积公式,需要确定底面面积和高,底 面面积一般可以由底面边长或半径求出,高 则要转化为平面几何知识求出.在本题中, 由正方体性质和边长,适当构造转化,不难 求出棱长为1,高则为正方体边长的一半, 均比较容易确定. 值得注意的是,本题所求的是一个组合 体的体积,解决这类问题,首先要有较好的 空间想象能力和计算能力,能把比较复杂的 立体图形拆分为比较简单的基本几何体.

例 5 (2008 海南、宁夏)一个六棱柱的底面 是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在

9 同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3 , 8
那么这个球的体积为 ______.

1 解析:设正六棱柱的底面边长为 x ,则 6 x ? 3 .∴ x ? . 2 9 设正六棱柱的高为 h ,由其体积 V ? 知 8

9 3 1 2 ? 6? ? ( ) ? h .∴ h ? 3 . 8 4 2
∵正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长. ∴ 2R ?

( 3) 2 ? 1 .∴ R ? 1 .

4 ∴ V球 ? ? . 3

归纳小结:本题主要考查正六棱柱的 有关计算以及球的内接几何体的有关性质. 计算球的体积关键是确定球的半径,正六 棱柱的体对角线是球的直径这一性质是问 题解决的关键.本题对空间想象能力和计算 能力都有一定要求.

例6

(2009 辽宁)正六棱锥 P ? ABCDEF 中, )

G 为 PB 的中点,则三棱锥 D ? GAC 与三棱锥 P ? GAC
体积之比为 (

A . 1:1

B . 1: 2

C.

2 :1

D . 3: 2

解析:由于 G 是 PB 的中点, 故 P ? GAC 的体积等于 B ? GAC 的体积.

如图,在底面正六边形 ABCDEF 中,

3 BH ? AB tan 30? ? AB , 3
而 BD ? 3 AB , 故 DH ? 2 BH , 于是 VD?GAC ? 2VB?GAC ? 2VP?GAC .

归纳小结:求两个同底的三棱锥 的体积的比,等价于求这两个三棱锥 的高的比.在本题中,我们利用相似三 角形对应边成比例的性质,把求高的 比的问题转化为平面图形中求对应线 段的比的问题,使立体图形平面化, 复杂问题简单化,思路清晰简洁,过 程和计算简单.

解决立体几何中的体积问题,我们常常用 “等积变换”、“分割求和”、“拼补求 差”等方法.在本题中,我们用了“等积变 P ? GAC 换”,把求三棱锥 D 与三棱锥 ? GAC 体积之比的问题转化为求三棱锥 与 D ? GAC 三棱锥 B ? GAC 体积之比的问题,进而把立体问 题转化为了平面问题,整个分析和求解过 程,思路清晰,转化顺畅,化繁为简,一 气呵成,自然合理!

例7 (2009宁夏海南)如图,正方体 有两个动点E、F,且 EF ? 1 ,则
下列结论中错误的是( A. AC ? BE B. EF / /平面ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等
2
ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1,线段 B1D1上



解析:可证 AC ? 平面D1DBB1, 从而AC ? BE ,故A正确;
由 B D / /平面ABCD ,可知EF / /平面ABCD,B也正 1 1 确;连结BD交AC于O,则AO为三棱锥A ? BEF 的 高, S?BEF
1 1 1 ? ? ?1 ? ,三棱锥 A ? BEF的体积为 2 2 4

1 1 2 2 是定值,C正确;D错误.选D. ? ? ? 3 4 2 24

归纳小结:本题考查空间中的线线、线面
关系以及面积和体积计算等知识,对空间

想象能力和计算推理能力都有一定要求.

例8(2009天津)如图是一个几何体的三视图,若
它的体积是 3 3 ,则 a ? _______.

解析:知此几何体是三棱柱,其高为3,底面
是底边长为2,底边上的高为 a的等腰三角

形,所以有 2a ? 3 ? 3
2

3 ? a ? 3.

归纳小结:本题以三视图为载体,考查空间 想象能力和体积计算,问题的关键是把三视

图转化为直观图,同时把握好量化关系.

例9 有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,
假如它的两底面边长分别等于 和60cm ,求

它的深度为多少 40cm

cm 解:设深度为 h ,由题意有: S上 ? 402 ? 1600cm2 .
S下 ? 602 ? 3600cm2 .



1 V ? h S 上 ? S 上 S下 ? S下 3 1 7600 ? h 1600 ? 1600 ? 3600 ? 3600 ? h 3 3

?

?

?

?

.

7600 h ? 190000 ? h ? 75cm . ∴ 3
归纳小结:本题考查棱台的体积公式,我们 既要理解和熟练应用公式,更要关注所学公式的等 价形式,灵活应用.

例10 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重

5.8 kg .已知底面六边形边长是12mm,高是
10mm,内孔直径是 10mm .那么约有毛坯多少个?

(铁的比重是

)3 7.8g / cm

分析: 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱 的体积与一个圆柱的体积的差,再由铁比重 算出一个六角螺帽毛坯的重量即可.

解:因为V正六棱柱 ? 3 ?122 ? 6 ?10 ? 3.74 ?103 (mm3 ), 4 10 2 V圆柱 ? 3.14 ? ( ) ?10 ? 0.785 ?103 (mm3 ), 2 所以一个毛坯的体积为
V ? 3.74 ?103 ? 0.785 ?103 ? 2.96 ?103 (mm3. ) ? 2.96(cm3 ) .

约有毛坯 5.8 ?103 ? (7.8 ? 2.96) ? 251(个). 答:这堆毛坯约有251个.

归纳小结:本题主要考查简单组合体的体积.

我们要努力提高计算和推理能力,同时,要
注意培养数学应用意识.

例11 如图是一个奖杯的三视图(单位是cm),

试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积.(精
确到0.01cm)

解:采用斜二测画法.先画底座,这是一个 正四棱台;再画杯身,是长方体;最后画 出球体.

因为
1 2 2 V正四棱台= ? 5 ? (15 ? 15 ?11 ? 11 ) ? 851.667, 3 V长方体=6 ? 8 ?18 ? 864, 4 V球= ? ? 33 ? 113.097, 3 所以这个奖杯的体积为

V ? V正四棱台 ? V长方体 ? V球 ? 1828.76(cm ) .
3

归纳小结:计算组合体的体积时,应考 虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几 何体的体积.

四、本专题总结 本专题主要研究了空间几何体的表 面积和体积,突出的数学思想方法有数 形结合的思想方法,运动与变化的思想 方法,化归与转化的思想方法.在本专题 学习中,需要注意, 柱、锥、台、球的 表面积公式和体积公式,要结合几何模 型,在理解的基础上记忆和应用;求锥、 柱、台的表面积,就是求它们的侧面积 与底面积之和.

对于圆柱、圆锥、圆台,已知上、 下底面半径和母线长可以用表面积公式直 接求出,对于棱柱、棱锥、棱台没有一般 计算公式,可以直接根据条件求各个面的 面积; 有关体积的问题,要注意“等积 变换”、“分割求和”、“拼补求差”等 解题思路;有关旋转体的问题或球与多面 体的切、接问题,特别要注意应用轴截面.


相关文档

2016年北师大版一年级数学上册第二单元《比较》优秀教学设计
2017秋五年级数学上册 第二单元 轴对称再认识一教案 北师大版
优品课件之三年级数学第二单元轴对称图形教学设计
妇产科护理学讲义第二十一章
工程光学第二十一讲_机械仪表_工程科技_专业资料
第二十二讲定积分的概念-文档资料
第五章5.3简单的轴对称图形(二)教学设计
2019年尹其畅第二十五~二十六讲脉冲电路的产生与整形.ppt
CPA考试会计科目学习笔记-第二十三章会计政策、会计估计变更和差错更正04
CPA考试会计科目学习笔记-第二十三章会计政策、会计估计变更和差错更正02
电脑版