高中数学高考综合复习专题二十六立体几何平行与垂直

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高中数学高考综合复习专题二十六 立体几何——平行与垂直

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二、高考考点

1、空间直线,空间直线与平面,空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中,线面垂直是历年高考试题涉及的内

容.

2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用;求角;求距离等.其中,三垂线定理及其逆定理的 应用尤为重要.

3、解答题循着先证明后计算的原则,融推理于计算之中,主要考察学生综合运用知识的能力,其中,突出考察模型 法等数学方法,注重考察转化与化归思想;立体问题平面化;几何问题代数化.

三、知识要点 (一)空间直线 1、空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——有且仅有一个公共点;

(2)平行直线——在同一个平面内,没有公共点;

(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.

2、平行直线 (1)公理 4(平行直线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示:设 a,b,c 为直线,

(2)空间等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.

3、异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

(2)有关概念: (ⅰ)设直线 a,b 为异面直线,经过空间任意一点 O 作直线a',b',并使a'//a,b'//b,则把a'和b'所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 特例:如果两条异面直线所成角是直角,则说这两条异面直线互相垂直.

认知:设 为异面直线 a,b 所成的角,则

.

(ⅱ)和两条异面直线都垂直相交的直线(存在且唯一),叫做两条异面直线的公垂线.
(ⅲ)两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离.
(二)空间直线与平面 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内——直线与平面有无数个公共点;

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(2)直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点;

(3)直线和平面平行——直线与平面没有公共点. 其中,直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.

1、直线与平面平行 (1)定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,则说这条直线和这个平面平行,此为证明直线与平面平行的原始 依据.

(2)判定 判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

认知:应用此定理证题的三个环节:指出

.

(3)性质 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

2、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 和平面 内的任何一条直线都垂直,则说直线 l 和平面 互相垂直,记作 l⊥ .

(2)判定: 判定定理 1:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理 2:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

符号表示:

.

(3)性质 性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
符号表示:

(4)概念 (ⅰ)点到平面的距离:从平面外一点引这个平面的垂线,则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(ⅱ)直线和平面的距离:当一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线 和这个平面的距离.
(三)空间两个平面 1、两个平面的位置关系 (1)定义:如果两个平面没有公共点,则说这两个平面互相平行.
(2)两个平面的位置关系 (ⅰ)两个平面平行——没有公共点;

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(ⅱ)两个平面相交——有一条公共直线.

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2、两个平面平行 (1)判定 判定定理 1:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

判定定理 2:(线面垂直性质定理):垂直于同一条直线的两个平面平行.

(2)性质 性质定理 1:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

性质定理 2(定义的推论):如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.

3、有关概念 (1)和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的部分,叫做这两个 平行平面的公垂线段.

(2)两个平行平面的公垂线段都相等.

(3)公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.

4、认知: 两平面平行的判定定理的特征:线面平行

面面平行,或线线平行

面面平行;

两平面平行的性质定理的特征:面面平行 线面平行,或面面平行 线线平行.

它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.

四、经典例题 例 1、在正方体

中,E、F、G、H 分别为棱 BC、





的中点,求证:

(1)



(2)
分析:直面线面平行或面面平行的证明,一般是运用相应的判定定理.为此,需要在有关平面内寻找相关直线的平行 线.寻找平行线的平面几何方法主要有:
(ⅰ)构造平行四边形;
(ⅱ)构造三角形中位线或三角形中的成比例线段;
(ⅲ)构造梯形
注意到已知某些棱的中点,想到找取相关线段的中点,配合原来线段的中点构造上述平面图形. 对于(1)适合条件的三角形难以构造,故首选构造平行四边形;

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对于(2),则由不同图形的构造引出不同的证法.

证明: (1)连接

,并设

取 OB 中点为 M,

则由 EM 为△BOC 的中位线得

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,则

分别为两底面的中心.





注意到

为正方形

∴ ∴四边形

为矩形





∴由①②③得

∴四边形

为平行四边形







(2)证明(构造平行四边形):取

中点为 N,连接

则由

为平行四边形,



又连结



四边形

为平行四边形



∴由④⑤得

, ④


注意到 ∴ 同理可得 于是由⑥⑦得

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⑥ ⑦


例 2、已知平面

分析:已知直线与平面平行,必然要利用线面平行的性质或定义,一般是利用线面平行性质定理.为此,已知直线

,需要经过直线 n 作平面

,进而推出 n//a.本题证明由此展开.

证明: 在平面

(线面平行性质定理)







(线面平行判定定理)



平面

(线面平行性质定理)



于是由①③得 n//m(公理 4)

点评:立体几何的作图,必须是出手有理有据,已知直线

,除极个别情形外,一般要利用线面平行性质定理,

因此,需要经过直线 a 作平面 的反例.

进而推出 a//b,切不可直接在 内作 b//a,为大家提供“零分证法”

例 3、在正三棱柱 (1)求证:

中,E 是 AC 中点, ;

(2)求证:

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(3)若

.

分析:注意到正三棱柱的特性 (1)利用上述特性构造三角形,构造平行四边形或构造面面平行,不同的构造产生出不同的证法;
(2)注意到正三棱柱的侧面与底面垂直,又这里 BE⊥AC,问题易证.

(3)注意到



角.

解: (1)证法一(构造三角形中位线):
连结 B1C,设

又连结 EM,则 EM 为

的中位线,

的垂线易作,故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面 的对角线交点.



. 证法二(构造平行四边形):

在平面

内延长

并与

的延长线交于点 G,连结 BG,则 GA=

∴ ∴四边形 GAB1B 为平行四边形 ∴AB1//GB




证法三(构造平行平面)取 A1C1 中点为 E1,连结 B1E1,,AE1.

∵四边形

为矩形





为平行四边形

∴EC1//AE1

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∴ ∵△ABC 为正三角形,E 为 AC 中点, ∴BE⊥AC 又正三棱柱底面 ABC⊥侧面 ∴BE⊥平面 同理要证, ∴ ∴ 于是由①②得, 注意到 ∴
(2)从略.

(3)在平面

内作





∴FN 是 CN 在

上的射影,



(三垂线定理)



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② ③



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点评:对于(1),三种证法各有千秋.证法一中连结 CB1,设出

后,△ACB1 的中位线便呼之欲出

了;证法二注意到 C1E 的延长线必与 A1A 的延长线相交,大胆“出格”,用正三棱柱之外的线段 GB 沟通 AB1 与平面 BEC1

的联系;证法三则审时度势,主动“升格”,先证相关的两平面平行,而后利用面面平行定义的推论推出

.

这里的三种证法为证明线面平行的主要策略.

例 4、已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F. (1)求证:AF⊥SC;

(2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD.

分析: (1)注意到 AF 与 SC 在同一个平面内,证明 AF⊥SC 首选三垂线定理逆定理.为此,从已知的线面垂直切入,从寻 找它们所在平面 SAC 的垂线突破.

(2)仿(1),从寻找平面 SAD 的垂线切入或突破.

证明: (1) ∵四边形 ABCD 为矩形 ∴BC⊥AB ∵SA⊥平面 ABCD,AB 为 SB 在平面 AC 上的射影 ∴BC⊥SB ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AE 即 AE⊥BC 又 AE⊥SB ∴AE⊥平面 SBC ∴EF 是 AF 在平面 SBC 上的射影 ∴由 SC⊥EF 得 SC⊥AF,即 AF⊥SC

(2)由(1)知 SC⊥平面 AEF,又 AG ∴SC⊥AG,即 AG⊥SC 由题设得 CD⊥AD,CD⊥SA ∴CD⊥平面 SAD ∴CD⊥AG,即 AG⊥CD 于是由①②得 AG⊥平面 SCD ∴AG⊥SD

平面 AEF ①


点评:立体几何中垂直问题的证明,通常是从线线垂直切入,向线面垂直或面面垂直延伸. (1)的证明两用三垂线定理或其逆定理,

(2)的证明则运用了线面垂直的定义与判定定理,它们共同展示了证明垂直问题的基本策略.

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例 5、已知 P 是△ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC,若 O、Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心,求证:OQ⊥ 平面 PBC.

分析:循着证明线面垂直问题的基本思路,从已知的线面垂直切入,去构造有关直线的垂面.

证明:连结 AO 并延长交 BC 边于 D, 连结 PD.

∵O 为△ABC 的垂心

∴BC⊥AD

∵PA⊥平面 ABC

∴PA⊥BC

又∵AD∩PA=A

∴BC⊥平面 PAD

∴BC⊥PD

又 ∵Q 为△PBC 的垂心,

∴Q∈PD, 又 O∈AD

∴OQ 平面 PAD

∴OQ⊥BC



再连结 BO 并延长交 AC 于 H,连结 BQ 并延长交 PC 于 R,

则 AC⊥BH,PC⊥BR.连结 HR.

∵PA⊥平面 ABC

∴平面 PAC⊥平面 ABC

且平面 PAC∩平面 ABC=AC

∴由 BH⊥AC 得 BH⊥平面 PAC

∴BH⊥PC 即 PC⊥BH

注意到 PC⊥BR

∴PC⊥平面 BHR

而 OQ 平面 BHR

∴PC⊥OQ



于是由①②得 OQ⊥平面 PBC

点评:证明过程的前部,以 BC 的垂直关系为关系,以推出 BC⊥OQ 为第一目标;证明过程的中部,以 BH 的垂直 关系为主线,推出 BH⊥PC 后利用垂直关系的相互性转移;证明过程的后部,则以 PC 的垂直关系为主线,以推出 PC⊥ OQ 宣告结束.证明线面之间的垂直关系或平行关系,要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理,以使推理过程清晰、 明朗.

例 6、在立体图形 P-ABC 中,已知 PA=PB,CB⊥平面 PAB,M 为 PC 的中点,N 在棱 AB 上,试问,当点 N 在棱 AB 的什么位置上时有 MN⊥AB?

分析:对于在限定的垂直关系下确定点或直线的位置问题,一般思路是“先构造后定位”为此,首先需要立足于已知垂 面,从已知的线线垂直或线面垂直入手,去寻找有关平面的新的垂线.

解:作 PB 中点 H,连接 HM ∵M 为 PC 的中点 ∴HM∥BC ∵CB⊥平面 PAB ∴MH⊥平面 PAB,

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在平面 PAB 内,过点 H 作 HN⊥AB 于 N,连接 MN 则 AB⊥MN(三垂线定理) 又取 AB 中点 D,连结 PD ∵PA=PB, ∴PD⊥AB ∴HN//PD ∴N 为 DB 中点. ∴当点 N 为棱 AB 上靠近点 B 的四等分点时,有 MN⊥AB.

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点评:欲确定垂直于棱 AB 的线段 MN,首先从已知条件入手,导出经过点 M 的平面 PAB(或 ABC)的垂线,于是 这一平面内垂直于 AB 的直线易作,解题的局面由此打开.寻找有关平面的垂线,也成为证明或求解垂直问题的突破口.

五、高考真题 (一)选择题
1、(2005 浙江卷)设

为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且

,有如下的两个命题:

①若

;②若

那么( ) A、①是真命题,②是假命题; C、①②都是真命题;

B、①是假命题,②是真命题; D、①②都是假命题.

分析:这里 对于①,若 对于②,若 故应选 D.

.

,则 l,m 可能平行,也可能异面;



可能垂直,也可能不垂直.

2、(2005 辽宁卷)已知 m,n 是两条不重合的直线,

是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:







④若 m,n 是异面直线,
其中真命题是( A、①和②

) B、①和③

C、③和④

D、①和④

分析: 由面面平行判定定理知①为真命题; 注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,②为假命题; ③显然为假命题;

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④由于 m,n 为异面直线,故可在 故应选 D.

内确立两条相交直线与

平行,因而为真命题.

3、(2005 天津卷)设

为平面,m,n,l 为直线,则 m⊥ 的一个充分条件是(



分析: 对于选项 A,由于这里的直线 m 不一定在

内,故不一定有 m⊥ ;

对于选项 B,它与 m⊥ 构成的命题是:若两个平面都和第三个平面垂直,则其中一个平面与第三个平面的交线垂 直于另一个平面,此命题为假;

对于选项 C,它与 m⊥ 构成的命题是:若两个平面都和第三个平面垂直,且直线 m 垂直于其中一个平面,则 m 也垂直于另一个平面,此命题亦为假命题;

排除法可知应选 D.选项 D 与 m⊥ 平面也垂直,这显然为真命题.

构成的命题是:若直线 m 与两个平行平面中的一个平面垂直,那么它和另一个

4、(2005 重庆卷)对于不重合的两个平面

,给定下列条件:

①存在平面 ,使得

都垂直于 ;

②存在平面 ,使得

都平行于 ;

③ 内有不共线三点到 的距离相等;

④存在异面直线 l,m,使得



其中可以判定 A、1 个

平行的条件有( B、2 个

) C、3 个

D、4 个

分析: 对于①,垂直于同一平面 的两个平面

可能相交;

对于②,由面面平行的传递性可以判定



对于③,当

相交时, 内仍可存在不共线三点到 的距离等等;

对于④,在 m 上取定点 P,经过点 P 在 l 与点 P 确定的平面内作 l'//l,则l'与 m 可确定平面 .由于

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于是可知,本题应选 B.

(二)填空题 1、(2005 山东卷)已知 m,n 是不同的直线,

是不重合的平面,给出下列命题:

①若

②若

③若

④m,n 是两条异面直线,若 上面的命题中,真命题的序号是

(写出所有真命题的序号)

分析: ①显然为假命题; 对于②, 内的直线 m,n 不一定相交,故②亦为假命题;

对于③,由题设知

∴③为真命题;

对于④,由前面选择题第 4 题知此为真命题. 因此,答案为③、④.

2、(2005 全国卷)在正方体

中,过对角线

的一个平面交

①四边形

一定是平行四边形;

②四边形

有可能是正方形;

③四边形

在底面 ABCD 的投影一定是正方形;

④平面

有可能垂直于平面

以上结论正确的为

(写出所有正确结论的编号)

于 E,交

于 F,则

分析:注意到正方体的特性,由面面平行性质定理和

,故四边形

为平行四边形,

①正确;在这里,当

时,平行四边形



为矩形,且不可能为正方形,②不正确;③正

确;而当平面 案为①,③,④.

与底面 ABCD(或

)重合时有平面

,故④正确.于是可知答

(三)解答题

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1、(2005 湖南卷)如图 1,已知 ABCD 是上下底面边长分别为 2 和 6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴



成直二面角,如图 2.

(1)证明:



(2)求二面角

的大小.

分析:循着解决平面图形折叠问题的基本思路: (1)认知平面图形中有关线段的长度与联系;
(2)了解折叠前后有关线段的长度或联系的"变"与"不变";
(3)利用"不变"的量与"不变"的关系解题.

在这里,由图 1 知,

对于(2),由(1)知



的平面角.

解: (1)证明:由题设知

∴∠AOB 是所成的直二面角的平面角,即



∴OC 是 AC 在平面 又由题设得

上的射影

,故
, ①

.至此(1)易证; ,于是可利用三垂线定理构造所求二面角

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从而



∴根据三垂线定理由①②得,

.

(2)解:由(1)知









,在平面 AOC 内过点 E 作 EF⊥AC 于 F,

连结

(三垂线定理)

由题设知, ∴

∴ 又



即所求二面角的大小为

.

点评:利用原来平面图形折叠后“不变的量”与线段间不变的垂直或平行关系,推出立体图形中 明(1)以及解答(2)的基础与关键.由此可见,这类问题中认知平面图形的 重要.
2、(2005 广东卷)在四面体 P-ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,

AC=8,PB=

.F 是线段 PB 上一点,

AB 上,且 EF⊥PB. (1)证明:PB⊥平面 CEF;

,点 E 在线段

,是证

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(2)求:二面角 B-CE-F 的大小.

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分析: (1)要证 PB⊥平面 CEF,只要证 PB 垂直于 CE 或 CF.这一设想的实现与否,要看对有关三角形的特性的认知与把

握.在这里,



故易得

BC ⊥ 平 面 PAC , BC ⊥ AC 等 . 注 意 到



,便得 PB⊥CF,于是问题获证.

(2)由(1)知 CE⊥PB,从而 CE⊥平面 PAB,CE⊥AB,CE⊥EF,故∠BEF 为所求二面角的平面角.至此,解题的 难点得以突破.
解:(1)证明: ∵PA2+AC2=36+64=100=PC2 ∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形, 同理可证:△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形, △PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形。 故 PA⊥平面 ABC

而 故 CF⊥PB, 又已知 EF⊥PB ∴PB⊥平面 CEF
(II)由(I)知 PB⊥CE,PA⊥平面 ABC ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影, 故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影, ∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角。
tan∠FEB=cot∠PBA=
二面角 B—CE—F 的大小为 arctan
点评:条件求值或证明中的已知数据经常具有双重作用,一是明确给出可用于计算或 推理的量值,二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于本题,揭露并认知有关线段的垂 直关系,乃是解题取胜的关键环节.
3、(2005 福建卷)如图,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE.

(1)求证:AE⊥平面 BCE;

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(2)求二面角 B-AC-E 的大小;

(3)求点 D 到平面 ACE 的距离.

分析: (1)注意到 BF⊥平面 ACE,故 AE⊥BF.又 AE⊥CB 明显,问题易证.

(2)注意到四边形 ABCD 为正方形,故想到连结 BD 交 AC 于 G,若取 AC 中点为 G,连结 BG,则 AC⊥BG.再连 结 GF,只要证 GF⊥AC,便得出∠BGF 为所求二面角的平面角.

(3)注意到平面 ACE 经过线段 BD 的中点,故 B、D 两点到平面 ACE 的距离相等.据此,在直接画出并求解这一距 离有困难时,可转而去求点 B 到平面 ACE 的距离,或运用体积法求这一距离.

解法一: (1)
平面 ACE.

∵二面角 D—AB—E 为直二面角,且



平面 ABE,

(2)连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG, ∵正方形 ABCD 边长为 2,
∴BG⊥AC,BG= ,

平面 ACE, 由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC.

是二面角 B—AC—E 的平面角.
由(Ⅰ)AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥EB,





∴在等腰直角三角形 AEB 中,BE= .

又 直角



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∴二面角 B—AC—E 等于

(3) 方法一:

过点 E 作

交 AB 于点 O.,OE=1.

∵二面角 D—AB—E 为直二面角, ∴EO⊥平面 ABCD 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,

平面 BCE,

∴点 D 到平面 ACE 的距离为
方法二: ∵G 为 BD 中点, ∴D 到平面 ACE 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离. ∵BF⊥平面 ACE ∴BF 即为点 B 到平面 ACE 的距离.
又由(2)知,

∴所求点 D 到平面 ACE 的距离为

.

解法二: (1)同解法一.
(2)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图.
面 BCE,BE 面 BCE,

, 在

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的中点,

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设平面 AEC 的一个法向量为







解得





是平面 AEC 的一个法向量.

又平面 BAC 的一个法向量为



∴cos< , >=

∴二面角 B—AC—E 的大小为 (3)∵AD//z 轴,AD=2,





∴点 D 到平面 ACE 的距离

点评:直面点到平面的距离,当垂线段难以作出或者难以求出时,要注意适时转化或变通。这里(3)的解法,便给 出了变通与转化的范例.

4、(2005 江西卷)如图,在长方体 AB=2,点 E 在棱 AB 上移动.

(1)证明:



中,



(2)当 E 为 AB 中点时,求点 E 到平面

的距离;

(3)AE 等于何值时,二面角

的大小为 .

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分析: (1)注意到这里的

不管在什么位置,它在侧面

,问题易证.

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的射影总是

,要证

(2)注意到

面积易求,想到运用“体积法”.

(3)注意到

,故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.

解法一: (1)证明:

∵在长方体中,



∴四边形

为正方形









在侧面

上的射影.



(三垂线定理)



.

(2)设点 E 到平面

的距离为 h

由题设知在

中,

∴ 而 又∵ ∴ ∴


,只要证

由此得

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∴所求点 E 到平面

的距离为 .

(3) ∵

∴在平面 AED 内过点 D 作 DH⊥CE 于 H,连结



为二面角

的平面角



,DE,则



又 ∴ ∴

另一方面,



由此解得

.

∴当

时,二面角

的大小为 .

解法二:以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0),

从而





设平面 ACD1 的法向量为

,则

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也即

,得



从而



所以点 E 到平面 AD1C 的距离为

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(3)设平面 D1EC 的法向量





由 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, ∴

依题意 ∴
∴AE=

(不合,舍去),

.

时,二面角 D1—EC—D 的大小为 .

点评:对于(3),设

则有

.据此,一方面利用二面角的平面角



可用 x 表出

;另一方面,注意到 EC 在下底面内,又可从底面为矩形途径用 x 表出

.进而由 EC 的唯一性导出关于 x 的方程,通过解方程获得问题的答案.这一解方程的思路,也是解 决立体几何问题的重要思路之一.


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