【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案设计 新人教A版必修4

第一章 1.4 1.4.3

三角函数

三角函数的图象与性质 正切函数的性质与图象
学习目标

1.掌握正切函数的性质及其应用; 2.理解并掌握作正切函数图象的方法; 3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.

学习过程
【问题激趣导学】 1.画出下列各角的正切线:

2.复习相关诱导公式 tan(x+π )= ;tan(-x)= . 【基础知识再现】 探究一 正切函数的性质 1.正切函数的定义域 . 2.正切函数的周期性 由诱导公式 tan(x+π )= ,可知函数 y=tan x(x≠+kπ ,k∈Z)是 函数, 且它的周期是 . 3.正切函数的奇偶性 因为 tan(-x)= ,所以正切函数 y=tan x(x≠+kπ ,k∈Z)是 函数. 4.正切函数的单调性 由图(Ⅰ)(Ⅱ)(课本 P43)正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-)内是 函数, 又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间 内都是增函数. 5.正切函数的值域 由图(Ⅰ)可知,当 x 大于-且无限接近于-时,正切线 AT 向 y 轴的负方向无限延伸;由图 (Ⅱ)可知,当 x 小于且无限接近于时,正切线 AT 向 y 轴的正方向无限延伸.因此,y=tan x 在 (-)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是 . 探究二 正切函数的图象 1.利用正切线画出 y=tan x,x∈(-)的图象.

2.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y=tan x,x∈R 且 x≠+kπ (k∈Z)的图象,称“正切曲线”.

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3.如何快速作出正切函数的简图?

4.根据图象讨论验证正切函数的性质.

【探究成果展示】 【例 1】求函数 y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.

【例 2】解不等式 tan x≥. 【例 3】求函数 y=的定义域. 【例 4】比较 tan 与 tan 的大小. 【课堂练习】 1.求函数 y=tan3x 的定义域、值域和单调增区间.

2.观察正切曲线,写出满足下列条件的 x 的取值范围: (1)tan x>0;(2)tan x=0;(3)tan x<0.

【学习小结】

达标检测 1.函数 y=tan3π x 的最小正周期是( ) A. B. C. D. 2.函数 y=tan(-x)的定义域是( ) A.{x|x∈R 且 x≠-} B.{x|x∈R 且 x≠} C.{x|x∈R 且 x≠kπ -,k∈Z} D.{x|x∈R 且 x≠kπ +,k∈Z} 3.下列不等式中正确的是( ) A.tanπ >tanπ B.tanπ <tanπ C.tan(-π )<tan(-π ) D.tan(-π )<tan(-π ) 4.在下列函数中,同时满足:①在(0,)上递增;②以 2π 为周期;③是奇函数的是( ) A.y=tan x B.y=cos x C.y=tan D.y=-tan x 5. 函 数 tan224°,sin136°,cos310° 的 大 小 关 系 是 ( 用 不 等 号 连 接)

. 6.画出 y=|tan x|的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.

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参考答案
问题激趣导学 1.(略) 2.tan(x+π )=tan x;tan(-x)=-tan x,x∈R 且 x≠+kπ ,k∈Z 【基础知识再现】 探究一 正切函数的性质 1.{x|x≠+kπ ,k∈Z} 2.tan x(x∈R,且 x≠+kπ ,k∈Z) 奇 π 3.-tan x(x∈R,且 x≠+kπ ,k∈Z) 奇 4.增 (-+kπ ,+kπ ),k∈Z 5.R 探究二 正切函数的图象 1.

2.

3.只需作出(-)上的图象,进行平移即可. 4.(略) 【探究成果展示】 【 例 1 】 解 : 令 x++kπ ,k ∈ Z, 得 x≠+2k,k ∈ Z, 所 以 函 数 y=tan(x+) 的 定 义 域 为 {x|x≠+2k,k∈Z}. 周期 T==2. 令-+kπ <x++kπ ,k∈Z,得-+2k<x<+2k,k∈Z, 所以函数 y=tan(x+)的单调增区间为(-+2k,+2k),k∈Z. 【例 2】解:因为 tan x≥,所以 tan x≥tan,因为 y=tan x 在(-)上单调递增,所以在(-) 上,tan x≥的解集为[).又因为 y=tan x 是周期为 π 的周期函数,所以 tan x≥的解集为 [+kπ ,+kπ ),k∈Z. 【例 3】解:由题意得 tan x≠1,即 x≠+kπ ,且 x≠+kπ ,k∈Z,所以函数 y=的定义域为 {x|x≠+kπ ,且 x≠+kπ ,k∈Z}. 【例 4】 解:因为 tan=tan∈(-),且 y=tan x 在(-)上单调递增,所以 tan<tan,即 tan<tan. 【课堂练习】 1.解:定义域为{x|x≠π ,k∈Z},值域为 R;单调增区间为(-π ,π ),k∈Z. 2.解:(1)(kπ ,+kπ ),k∈Z;(2){x|x=kπ ,k∈Z};(3)(-+kπ ,kπ ),k∈Z. 【学习小结】 1.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函 数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同 ?研究正、余弦函数,是由图象得性质, 而本节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质 ,并在此基础上得到图象,最后用图象又

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验证了函数的性质. 2.本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别 是又运用了类比的方法、 数形结合的方法、 化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度 观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义? 达标检测 1.A 2.C 3.C 4.C 5.tan224°>sin136°>cos310° 6.

定义域:{x|x≠+kπ ,k∈Z};值域:[0,+∞);最小正周期:π ;单调增区间:[kπ ,+kπ ),k ∈Z,单调减区间:(-+kπ ,kπ ],k∈Z.

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