山西省山西大学附属中学2013届高三1月月考数学文试题

山西省山西大学附属中学 2013 届高三 1 月月考数学文试题
时间:120 分钟 分数:150 分 一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。 1.已知集合 A ? ?x | y ? lg?1 ? x ??,集合 B ? y | y ? x 2 ,则 A ? B ? ( A. ?0, 1? B. ?0, 1? C. ?? ?, 1?

?

?



D. ?? ?, 1? )

2.若复数 z ? (a 2 ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( A. ? 3 3.函数 f ( x) ? A. [0,1] B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 ) D. [0, ] ) D. 1

x ? x 2 的单调递增区间为( 1 1 B. (??, ] C. [ ,1] 2 2

1 2

4.—个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是(

5.在整数集 Z 中,被 4 除所得余数 k 的所有整数组成一个“类”,记为 [ k ] , 即 [k ] ? {4n ? k | n ? Z} , k ? 0,1, 2,3 .给出如下四个结论:① 2012 ?[1] ; ② ?2 ?[2] ; Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ; ③ ④“整数 a , b 属于同一?类?”的充要 条件是“ a ? b ? [0] ”.其中正确的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为(



4 A. 5

3 2 1 B. C. D. 5 5 5 ? ? ? ? ? ? 7.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积”: a?b 是一个向量,它的模 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? ? ,若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ? ( sin )

?

?

?

?

A. 3

B. 2 3

C.2

D.4

8.已知命题 p : a, b ? R ,则 | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分不必要条件; 命题 q : 已知 A, B, C 是锐角三角形 ABC 的三个内角,向量 m ? (1 ? sin A,1 ? cos A),

??

? ?? ? n ? (1 ? sin B, ?1 ? cos B) ,则 m 与 n 的夹角是锐角,则(
A. p 假 q 真 B. p 且 q 为真 C. p 真 q 假

) D. p 或 q 为假 )

9.等差数列{ an }前 n 项和为 sn ,满足 S20 ? S40 ,则下列结论中正确的是(

第 1 页 共 9 页

A. S30 是 sn 中的最大值

B. S30 是 sn 中的最小值

C. S30 =0

D. S60 =0
2

P 10. 已知 x ? 2, y ? 2 , P 的坐标为 ? x, y ? , 点 则当 x, y ? z 时, 满足 (x - 2) 2 + ? y - 2? ? 4
的概率为( A. ) B.
2

2 25

4 25

C.

6 25
y 1

D.

8 25

11 . 下 图 是 函 数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的 部 分 图 象 , 则 函 数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是(
A. ( , )

) D. (2,3) O
2

1 1 4 2

B. (1, 2)

C. ( ,1)

1 2

1

x

12. 已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 是奇函数, x ? 0 时, f ?x ? ? | x ? a 2 | ? a , 当 且对 x ? R , 恒有 f ?x ?1? ? f ?x ? ,则实数 a 的取值范围为( A.[0,2] B.[) D.[-2,0]

1 1 , ] 2 2

C.[-1,1]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 13.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数 据绘制成频率分布直方图(如图) .若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 , 140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加 一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为 14.在△ ABC 中, a , b , c 分别为 ?A、?B、?C 的对边,三边 a 、

b 、 c 成等差数列,且 B ?

?
4

,则 cos A ? cos C 的值为
|ln x|

15.当直线 y ? kx 与曲线 y ? e

? | x ? 2 | 有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是

16.如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD ,将其沿对角线 使平面 A' BD ? 平面 BCD , 若四面体 A'? BCD 顶点在同一个球面 BD 折成四面体 A'? BCD , 上,则该球的体积为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分)

第 2 页 共 9 页

已知数列 (1)求数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? 1 ,且

?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
18. (本小题满分 12 分)

2n an ?1 ? an an ? an ?1 。 ? (n ? 2) , bn ? an an ?1 an an ?1 an

?? ? ? 3 ,且 m ? n . n ? (cos B cos C ,sin B sin C ? ) 2 (1)求 A 的大小;

已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,

??

3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45? ,试从中再选 择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? (

19. (本小题满分 12 分) 某大学高等数学老师这学期分别用 A, B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班 (人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样) 。现随机 抽取甲、乙两班各 20 名的高等数学期末考试成绩,得到茎叶图:

(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (2)现从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 86 分的同

学至少有一个被抽中的概率; (3)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯错 误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”

下面临界值表仅供参考:

P( K 2 ? k )
k
(参考公式: K ?
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题满分 12 分)

第 3 页 共 9 页

如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 .点 E , F 分别在边 CD, CB 上,点
0

E 与点 C , D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置, 使平面 PEF ⊥ 平面 ABFED . (1)求证: BD ⊥ 平面 POA ; (2)当 PB 取得最小值时,求四棱锥 P ? BDEF 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x (1) 当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (2) 求函数 g (x) 在区间 ?1, e? 上的最小值.

请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P( 交于不同的两点 M , N . (1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相 2 2

1 1 的取值范围. ? PM PN

23.(本小题满分 10 分). 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

第 4 页 共 9 页

2013 山大附中高三一月考数学理科答案 ADDBC
3

BCADC
(0,1)

CB
3 ? 2

?4 2

17、解: (1)

an?1 ? an an ? an?1 a ? a2 1 1 1 1 ? ? ... ? 1 ? ,∴ ? ? 。 an an ?1 2 an an?1 an an?1 a2 a1 2
?1? 1 1 ? 是以 为首项, 为公差的等差数列, 2 2 ? an ?

(2)由(1)知 ? ∴

1 n ? , bn ? n ? 2n?1 。 an 2

S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ... ? n ? 2n?1 ,
2S n ?
∴ ? Sn ∴ Sn 18、

1? 21 ? 2 ? 22 ? ... ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,
? 1? 2 ? 2 ??? 2
1 2 n ?1

1 ? 2n ? n? 2 ? ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 , 1? 2
n

? (n ?1)2n ?1 。

(Ⅱ)方案一:选择①②,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30? , a ? 1, 2c ? ( 3 ?1)b ? 0

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 2 整理得: b ? 2, b ? 2, c ? ……………10 分 2 1 1 6? 2 1 3 ?1 所以 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ……………………13 分 ? ? 2 2 2 2 4 ? ? ? 方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105
由余弦定理,得: 1 ? b ? (
2 2

又 sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?
? ? ? ? ? ? ?

6? 2 4

第 5 页 共 9 页

由正弦定理 c ? 所以 S?ABC

a sin C 1? sin105? 6? 2 ……………10 分 ? ? ? sin A sin 30 2 1 1 6? 2 2 3 ?1 ……………13 分 ? ac sin B ? ?1? ? ? 2 2 2 2 4
····· 分 ···· 1 ····

19、 (理科) 解: (Ⅰ)∵ X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, X ~ B(4,0.5) ,
0 ∴ P( X ? 0) ? C4 ? ? ? 4

?1? ?2?

4

1 1 1?1? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? , 16 ?2? 4
4

4

1 ?1? 3 3?1? P( X ? 2) ? C ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? , ?2? 8 ?2? 4
2 4

? X 的分布列为

1 ?1? P( X ? 4) ? C ? ? ? , ? 2 ? 16
4 4

4

···························6 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ·····

X
p

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

·············7 分 ··········· ·· ·········· ·· (Ⅱ) Y 的所有可能取值为 3,4,则 ························8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··

1 , ·····························9 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 4 3 P(Y ? 4) ? 1 ? P(Y ? 3) ? , ··························· 分 ·························· 11 ·········· ··········· ····· 4 1 3 15 ? Y 的期望值 E (Y ) ? 3 ? ? 4 ? ? . 4 4 4 15 答: Y 的期望值 E (Y ) 等于 . ·························· 13 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 4 P (Y ? 3) ? P ( X ? 3) ?
(文科) 解: (Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于 60-90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80-100 分之间, 所以乙班的平均分高----------------------------------------3 分 (Ⅱ)记成绩为 86 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C , D, E , F “从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基 本事件有:

? A, B ?? A, C ?? A, D ?? A, E ?? A, F ?? B, C ?? B, D ?? B, E ?? B, F ? 一共 15 个, ? C , D ?? C , E ?? C , F ?? D, E ?? D, F ?? E , F ?
“ 抽 到 至 少 有 一 个 86 分 的 同 学 ” 所 组 成 的 基 本 事 件 有 :

? A, B ??
故P ?

, ?? C , A D , A ??E A , ?? ??

A ??

,F ?? B , ?? C

B共 D个,---------5 分 F ?, 9 ,B E B

9 3 ? ------------------------------------------------------7 分 15 5

第 6 页 共 9 页

(Ⅲ)

--------------------------9 分

, 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 可以认为成绩优秀与教学方式有关.-----------------------12 分 20、 (Ⅰ)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ····························· 分 ··········· ·········· ······· 1 ·········· ··········· ······· ∵ E F? A C ,∴ PO ? EF . ∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF , 且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ········ 分 ······· 3 ······· ? O ∵ A O? P O ,∴ BD ? 平面 POA . ····················· 4 分 ··········· ·········· ·········· ··········· (Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ··············· 分 ··········· ··· 5 ·········· ···· (ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x,2,0) , ??? ??? ??? ? ? ? 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x,2, ?x) , ························· 分 ··········· ·········· ··· 6 ·········· ··········· ··· ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x)2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 , 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ··············· 分 ··········· ··· 7 ·········· ···· 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 ? 2 2 ) ? 3 ? 3 . ········· 分 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? ········ 8 ········ 3 3 4 4 (ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,

由(i)知, OP ? 3 ,则 A(3 3,0,0) , B( 3,2,0) , D( 3, ?2,0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , ··················· 分 ··········· ······· 9 ·········· ········

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

? 3 3 , ?a ? ?a ? 3 3 ? ?? a, ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? c ? 3? ? ?c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ?
第 7 页 共 9 页

3? ), ? ?1 ???? 3 3 3? , 0, ). ∴ OQ ? ( ······10 分 ······ ····· ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ??? ? ??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? ∵ PB ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0? ,∴ ? , ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ··················11 分 ··········· ······· ·········· ······· 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,

∴ Q(

3 3

? ?1

, 0,

?

?

???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

1 9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? . ···········12 分 ··········· ·········· 2 9?? 9 ? ?2 2 2

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

2 . ······························13 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 2

∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 4 因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于

?

?

? ,即结论成立. ··········· 14 分 ··········· ·········· · 4

21、(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x , g ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

1 1 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,?? ) ……………… 3 分 2 2 2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,
x ? 1或 x ?

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)(x ? a) ? ? ?0 x x x 当 a ? 1 , x ? ? , e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 1 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?

g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a 2 当 a ? e , x ? ? , e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a 1 ? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

? x ? ?2,??? ,
ln x ? 1 2 ( x ? 1) 4

1 2 ( x ? 1) , 4 2 ? x2 h?( x) ? ?0 2x

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4



第 8 页 共 9 页

?

1 4 1 1 ? ? 2( ? ) ln x ( x ? 1)(x ? 1) x ?1 x ?1 n n 1 1 1 1 1 k ? f (k ) ? ln k , ? ?? ? ? ?? ? ln 2 ln 3 ln n k ? 2 k ? f (k ) k ? 2 ln k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? )? 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 3n 2 ? n ? 2 ……………………………………… 12 分 (n ? 2) n(n ? 1)
? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 ( t 为参数)… 4 分(Ⅱ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?

? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 22、 (Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ? 2 2 代入 x ? y ? 1 ,得

( t 为参数)

t 2 ? ( 3 cos? ? 3sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1t 2 2 6
………10 分

?

2, 3

?



23 、 解 : Ⅰ ) 由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 (

a ? 3 ? x ? 3 ,┈┈3 分∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,┈5 分,只需 m ? f (n) ? f (?n) 的最小值┈6 分
令 ? ? n? ? f ? n? ? f ? ?n? ,
1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 则 1 1 ? ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, ? ?n? 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?

┈┈8 分∴ ? ? n ? 的最小值为 4,┈9 分;故实数 m 的取值范围是 ?4,??? 。┈10 分

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