四川省绵阳市高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)_图文

四川省绵阳市 2015 届高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)

绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准

①当 ?

b ? 1 ,即 b ? ?a 时, f ( x) min ? f (0) ? 0,f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 , a

?3b ? 1 ? a, 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? . 2 ?? a ? b,
②当 ?

b ? 1 即 b ? ?a 时, a

? f (0) ? 0, ? ?4b 3 ? ? a, b b 3 3 3 ? ,此时 a ? ? . ?? ?b? ? f ( x) max ? f ( ? ) ? 2b ? ? 1, 2 a a 2 ?? a ? 3b, ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0, ?
3 3 3 ,b ? 代入检验正确. 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
将a ? ? 11.

7 2

12.-160

13. ?

3 2

14.

5 6

15.①③

15.提示:③ 法一: f ( x) ? 1 ? x 2 和 g ( x) ? ? x ? b(b ? 2 ) 是(-1,1)上的“接近函数” , 结合图形, ?x ? (?1 , 1) 使 ? x ? b ? 1 ? x 2 ? 1 ? b ? ( 1 ? x 2 ? x ? 1) max ,

(?1 ? x ? 1) , h?( x) ? 1 ? 令 h( x) ? 1 ? x 2 ? x ? 1,
即 x ? (?

x 1? x
2

?0? x??

2 , 2

2 2 2 , ) 时, h ?( x) ? 0 ; x ? ( , 1) 时, h ?( x) ? 0 . 2 2 2 2 ) ? 2 ?1. 2
2 2 2 2 , ) ,当直线和圆在 P( , )的 2 2 2 2

所以 h( x) max ? h(

法二:数形结合求出直线和半圆相切时切点 P( “竖直距离”为 1 时, b ? 2 ? 1 .

ln x ? 2ex 与 g ( x) ? x 2 ? a ? e 2 是 [1 , , ? ?) 上的“远离函数” x 即 ?x ? [1 , ? ?) ,
④若 f ( x) ?

ln x ln x ln x ? 2ex ? x 2 ? a ? e 2 ? x 2 ? a ? e 2 ? 2ex ? ? ( x ? e) 2 ? a ? ? 1. x x x

令 P1 ( x) ? ( x ? e) 2 ? a ,则 P1 ( x) 在 (??,e) 递减,在 (e, ? ?) 递增, ∴ P1 ( x) min ? P1 (e) ? a ; 令 P2 ( x) ?

ln x 1 ? ln x , P2? ( x) ? ,易得 P2 ( x) 在 (??,e) 递增,在 (e, ? ?) 递减,∴ x2 x

1 1 1 ,∴ a ? ? 1 ? a ? 1 ? . e e e 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. P2 ( x) max ? P2 (e) ?
16.解:(Ⅰ)设所选取的 2 人中至少有 1 人为“满意观众”的事件为 A,则 A 为所选取的人中 没有 1 人为“满意观众” , ∴ P(A)=1-P( A )=12 C4 2 C12

=1-

1 10 = , 11 11 10 . 11
………………………………4 分

即至少有 1 人为“满意观众”的概率为

8 2 ? ,即从观看此影片的“满意 12 3 2 1 观众”的概率为 ,同理,不是“满意观众”的概率为 .…6 分 3 3 由题意有 ξ=0,1,2,3,则
(Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为

1 1 2 2 1 4 0 1 3 1 2 2 P(ξ=0)= C3 ,P(ξ=1)= C3 ( ) = ? ? ( ) 2 = ,P(ξ=2)= C3 ? ( )2 ? = , 3 27 3 3 9 3 3 9 8 3 2 3 ( ) = P(ξ=3)= C3 , 3 27 ∴ ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

P

1 2 4 8 27 9 9 27 ……………………………………………………………10



1 2 4 8 +1× +2× +3× =2.………………………12 分 27 9 9 27 17.解:(Ⅰ) 如图,连结 AC、BD 交于 O,连结 OE. 由 ABCD 是正方形,易得 O 为 AC 的中点,从而 OE 为△PAC 的中位线,
∴ ξ 的数学期望 Eξ=0× ∴ EO//PA. ∵ EO ? 面 EBD,PA ? 面 EBD, ∴ PA//面 EBD.………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)由已知 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥AD,PD⊥CD. 如图,以 DA,DC,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系. 设 AD=2,则 D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), PB =(2, 2,-2), DA ? (2,0,0).…………………………………6 分 设 F(x0,y0,z0), PF ? ? PB ,则由 PF =(x0,y0,z0-2), z P E F D O C y

? x0 ? 2?, ? 得(x0,y0,z0-2)=λ(2,2,-2) ,即得 ? y0 ? 2?, ? z ? 2 ? 2?, ? 0
于是 F(2λ,2λ,2-2λ). ∴ EF =(2λ,2λ-1,1-2λ). 又 EF⊥PB, ∴ 2? ? 2 ? (2? ? 1) ? 2 ? (1 ? 2? ) ? (?2) ? 0 ,解得 ? ?

1 . 3

2 2 4 2 2 4 ∴ F ( , , ) , DF ? ( , , ) . 3 3 3 3 3 3
设平面 DAF 的法向量是 n1=(x,y,z),

………………………………………8 分

? ? DA ? n1 ? 0, ?2 x ? 0, 则? 即? 令 z=1,得 n1=(0,-2,1). x ? y ? 2 z ? 0, ? ? DF ? n ? 0 , 1 ?
又平面 PAD 的一个法向量为 n2=(0,1,0), ………………………………10 分 设二面角 P-AD-F 的平面角为 θ, 则 cosθ=

n1 ? n 2 2 2 5 ? ? , 5 n1 n 2 5
2 5 . ………………………………………12 分 5

即二面角 P-AD-F 的余弦值为

1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 18.解:(Ⅰ)由余弦定理得 cos A ? ? ? , 2bc 2bc 4
15 . …………………………………………………4 分 4 (Ⅱ)由 A+B+C=π 有 C=π-(A+B),
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 于是由已知 sinB+sinC=

10 10 得 sin B ? (sin A ? B ) ? , 2 2 10 , 2

即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?

1 15 5 15 10 , cos A ? 代入整理得 sin B ? .①………7 分 cos B ? 4 4 4 2 4

根据 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,可得 cos B ? ? 1 ? sin 2 B . 代入①中,整理得 8sin B-4 10 sinB+5=0, 解得 sin B ?
2

10 . ……………………………………………………………10 分 4

a sin B a b ? ? ∴ 由正弦定理 有b ? sin A sin A sin B

1?

10 4 ? 6. 3 15 4

………………12 分

19.解:(Ⅰ) ∵二次函数 f ( x) ? ∴ an≠0, ?

1 1 a n ? x 2 ? (2 ? n ? a n ?1 ) ? x 的对称轴为 x= , 2 2

1 1 2 ? n ? an ?1 1 ? ,整理得 an ?1 ? an ? n ,………………………2 分 1 2 2 2 2 ? an 2

左右两边同时乘以 2 n ?1 ,得 2n ?1 an ?1 ? 2n an ? 2 ,即 2 n ?1 a n ?1 ? 2 n a n ? 2 (常数), ∴ {2 n an } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ 2 n an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n , ∴ an ?

2n n ? n ?1 . ……………………………………………………………5 分 n 2 2 1 2 3 n ?1 n ? 1 ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , ① 0 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n , ② 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)∵ S n ?

1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n , ①-②得: S n ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2
整理得 S n ? 4 ?

n?2 .…………………………………………………………8 分 2 n ?1

n?3 n ? 2 n ?1 ? (4 ? n ?1 ) = n >0, n 2 2 2 ∴ 数列{Sn}是单调递增数列.………………………………………………10 分
∵ S n ?1 ? S n ? 4 ?

n?2 <3,整理得 n+2> 2 n ?1 , 2 n ?1 ∴ n=1,2,3.………………………………………………………………12 分
∴ 要使 Sn<3 成立,即使 4 ? 20.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为(c,0), a 2 b2

?c 3 , ? ? 2 2 2 2 2 3 由题知: ? a 结合 a =b +c ,解得:a =3,b =2, ? 2 2 ? a ?b ? 5,
∴ 椭圆 E 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 . ………………………………………4 分 3 2

(Ⅱ) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 由已知直线 MN 的方程为 y=kx+3k+4,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6, 联立方程 ? ? y ? kx ? (3k ? 4),
消去 y ,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (3k ? 4) x ? (27 k 2 ? 72k ? 42) ? 0 , 于是 x1+x2= ?

27 k 2 ? 72k ? 42 6k (3k ? 4) , x .① ………………………7 分 1x2= 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

又 P,M,H,N 四点共线,将四点都投影到 x 轴上, 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

x1 ? 3 x0 ? x1 , ? x2 ? 3 x2 ? x0
…………………………………………10 分

整理得: x0 ?

2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) . 6 ? ( x1 ? x2 )
2?

将①代入可得 x0 ?

27 k 2 ? 72k ? 42 ? 6k (3k ? 4) ? 3? 2 6k ? 7 2 ? 3k 2 ? 3k 2 , ? ? 6k (3k ? 4) 1 ? 2k 6? 2 ? 3k 2

…… 12 分

6k ? 7 2k ? 4 , ? (3k ? 4) ? 1 ? 2k 1 ? 2k 消去参数 k 得 x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0 ,即 H 点恒在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ………13 分
∴ y0 ? kx0 ? (3k ? 4) ? k 21.解:(Ⅰ) ∵ f ?( x) ? ax ? ∴ a=2 时, f ?( x) ? ∴ 解得 x=

1 ? 1 ,x∈(0,+∞), x

………………………1 分

2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) =0, ? x x

1 ,x=-1(舍). 2

即 f ( x) 的极值点为 x0= (Ⅱ) f ?( x) ? ax ?

1 . ……………………………………………………3 分 2

1 ax 2 ? x ? 1 . ?1 ? x x

(1) a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数;

a ? 0 时, 对二次方程 ax2+x-1=0,Δ=1+4a, 1 2 (2)若 1+4a ? 0,即 a ? ? 时,ax +x-1<0,而 x>0,故 f ?( x) <0, 4
∴ f ( x) 在(0,+∞)上是减函数. (3)若 1+4a>0,即 a> ? ①若 ?

1 ? 1 ? 1 ? 4a 2 时,ax +x-1=0 的根为 x1, , 2 ? 4 2a

1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a > >0, ? a<0,则 2a 2a 4

∴ 当 x∈(

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 2 , )时,ax +x-1>0,即 f ?( x) >0,得 f ( x) 是增函数; 2a 2a ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 2 ,+∞)时,ax +x-1<0,即 f ?( x) <0,得 f ( x) ), ( 2 a 2a

当 x∈ (0, 是减函数. ②若 a>0,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a <0< , 2a 2a ? 1 ? 1 ? 4a 2 )时,ax +x-1<0,即 f ?( x) <0, 得 f ( x) 是减函数; 2a

∴ 当 x∈(0,

当 x∈(

? 1 ? 1 ? 4a 2 ,+∞)时,ax +x-1>0,即 f ?( x) >0 得 f ( x) 是增函数. 2a

∴ 综上所述, a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数 当a ? ? 当 ?

1 时, f ( x) 在(0,+∞)上是减函数; 4

? 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 1 ? 4a <a<0 时 , f ( x) 在 ( , )上是增函数,在 4 2a 2a

(0,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ,+∞)上是减函数; ), ( 2a 2a
? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , + ∞ ) 上是增函数,在 (0 , ) 上是减函 2a 2a

当 a>0 时, f ( x) 在 (

数.…………………………………………………………………………7 分 (Ⅲ)令 h( x) ? g ( x) ? f ?( x) ? ae x ? 于是 h ?( x) ? ae x ?

a ?1 ? 2(a ? 1) ,x>0, x

a ? 1 ae x ? x 2 ? (a ? 1) ? . x2 x2

令 p ( x) ? ae x ? x 2 ? (a ? 1) ,则 p ?( x) ? ae x ? x( x ? 2) >0, 即 p(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵ p(x)=-(a+1)<0,而当 x→+∞时,p(x)→+∞, ∴ ? x0∈(0,+∞),使得 p(x0)=0. ∴ 当 x∈(0,x0)时,p(x)<0,即 h ?( x) <0,此时,h(x)单调递减; 当 x∈(x0,+∞)时,p(x)>0,即 h ?( x) >0,此时,h(x)单调递增, ∴ h( x) min ? h( x 0 ) = ae x0 ?
2

a ?1 ? 2(a ? 1) .① x0
a ?1 x0
2

由 p(x0)=0 可得 ae x0 ? x 0 ? (a ? 1) ? 0 ,整理得 ae x0 ? 代入①中,得 h( x 0 ) =

,②…………10 分

a ?1 x0
2

?

a ?1 ? 2(a ? 1) , x0 a ?1 x0
2

由 ? x∈(0,+∞),恒有 g ( x) ≥ f ?( x) ,转化为 因为 a>0,③式可化为 解得 ?

?

a ?1 ? 2(a ? 1) ≥0,③ x0

1 x0
2

?

1 2 ? 2 ≥0,整理得 2 x 0 ? x 0 ? 1 ≤0, x0

1 ≤x0≤1. 2 再由 x0>0,于是 0<x0≤1.…………………………………………………12 分
由②可得 e x0 ? x 0 ? 令 ? ( x 0 ) = e x0 ? x 0
2

2

a ?1 . a
,则根据 p(x)的单调性易得 ? ( x 0 ) 在 (0 , 1] 是增函数,

∴ ? (0) < ? ( x 0 ) ≤ ? (1) ,

即 0<

a ?1 ≤e, a

解得 a≥

1 1 ,即 a 的最小值为 .……………………………………14 分 e ?1 e ?1


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