【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 定积分及其简单的应用学案 理 新人教A版

定积分及其简单的应用
导学目标: 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概 念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义,能根据几何意义解 释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则,反方向求使 F′(x)=f(x)的 F(x),并运用牛顿 —莱布尼茨公式求 f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的 面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功.

自主梳理 1.定积分的几何意义:如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯 形的________. 2.定积分的性质 b (1)?akf(x)dx=__________________ (k 为常数); b (2)?a[f1(x)±f2(x)]dx=_____________________________________; b (3)?af(x)dx=_______________________________________. 3.微积分基本定理 b 一般地, 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x), 那么?af(x)dx=F(b) - F(a) , 这 个 结 论 叫 做 __________________ , 为 了 方 便 , 我 们 常 把 F(b) - F(a) 记 成 b b __________________,即?af(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a). 4.定积分在几何中的应用 (1)当 x∈[a,b]且 f(x)>0 时,由直线 x=a,x=b (a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)围成的 曲边梯形的面积 S=__________________. (2)当 x∈[a,b]且 f(x)<0 时,由直线 x=a,x=b (a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)围成的 曲边梯形的面积 S=__________________. (3)当 x∈[a, b]且 f(x)>g(x)>0 时, 由直线 x=a, x=b (a≠b)和曲线 y=f(x), y=g(x) 围成的平面图形的面积 S=______________________. a a a (4)若 f(x)是偶函数,则?-af(x)dx=2?0f(x)dx;若 f(x)是奇函数,则?-af(x)dx=0. 5.定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间 [a,b]上的定积分,即________________________. (2)变力做功公式 一物体在变力 F(x)(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向从 x =a 移动到 x=b (a<b)(单位:m),则力 F 所做的功 W=__________________________. 自我检测 5 1 . 计 算 定 积 分 ? 3xdx 的 值 为 0 ( ) 75 A. B.75 2 25 C. D.25 2 2 ( . 定 积 分 ?
1 0

[ B.

1- π -1 2 π -1 D. 2

x-

2



x]dx





) π -2 A. 4 π -1 C. 4 3. 如右图所示, 阴影部分的面积是

(

)
1

A.2 3 32 C. 3 4 ( . (2010· 湖 南

B.2- 3 35 D. 3 ) ?
4 2

1

x

dx





) A.-2ln 2 B.2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2 2 2 5.若由曲线 y=x +k 与直线 y=2kx 及 y 轴所围成的平面图形的面积 S=9,则 k= ________.

探究点一 求定积分的值 例 1 计算下列定积分: (1)

?
?

e

1

(x ?

1 1 ? )dx ; x x2

2 sin x ? 2 cos x) dx ; (2) ( 0

?

(3)?0 (2sin x-3e +2)dx; 2 2 (4)?0|x -1|dx.

π

x

变式迁移 1 计算下列定积分: 2π π 2 (1)?0 |sin x|dx;(2)?0 sin xdx.

探究点二 求曲线围成的面积 1 2 2 例 2 计算由抛物线 y= x 和 y=3-(x-1) 所围成的平面图形的面积 S. 2

变式迁移 2 计算曲线 y=x -2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积.

2

2

探究点三 定积分在物理中的应用 例 3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求此汽车在这 1 min 内所行驶的路程.

变式迁移 3 A、B 两站相距 7.2 km,一辆电车从 A 站开往 B 站,电车开出 t s 后到达途 中 C 点,这一段速度为 1.2t m/s,到 C 点时速度达 24 m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以匀速行 驶,从 D 点开始刹车,经 t s 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求: (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间.

函数思想的应用 2 例 (12 分)在区间[0,1]上给定曲线 y=x .试在此区间内确定点 t 的值, 使图中的阴影 部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值.

【答题模板】 2 2 解 S1 面积等于边长为 t 与 t 的矩形面积去掉曲线 y=x 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面 2 3 2 t 2 积,即 S1=t·t -?0x dx= t .[2 分] 3 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别 2 3 2 1 2, 1 2 2 为 t 1-t,即 S2=?tx dx-t (1-t)= t -t + .[4 分] 3 3 4 3 1 2 所以阴影部分面积 S=S1+S2= t -t + (0≤t≤1).[6 分] 3 3 1 1 ? ? 2 令 S′(t)=4t -2t=4t?t- ?=0 时,得 t=0 或 t= .[8 分] 2 ? 2? 1 1 1 2 t=0 时,S= ;t= 时,S= ;t=1 时,S= .[10 分] 3 2 4 3 1 1 所以当 t= 时,S 最小,且最小值为 .[12 分] 2 4 【突破思维障碍】 本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是先利用定
3

积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小 值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识. 1. 定积分?af(x)dx 的几何意义就是表示由直线 x=a, x=b (a≠b), y=0 和曲线 y=f(x) 围成的曲边梯形的面积;反过来,如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积 1 2 2 2 2 分的值,如?0 4-x dx=π (半径为 2 的 个圆的面积),?-2 4-x dx=2π . 4 2. 运用定积分的性质可以化简定积分计算, 也可以把一个函数的定积分化成几个简单函 数定积分的和或差. 3.计算一些简单的定积分问题,解题步骤是:第一步,把被积函数变形为幂函数、正弦 函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差;第二步,把定积分用定积分性质变形为求被 积函数为上述函数的定积分;第三步,分别用求导公式找到一个相应的使 F′(x)=f(x)的 F(x);第四步,再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值.
b

(

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 . 下 列 值 等 于 ) 1 1 A.?0xdx B.?0(x+1)dx 11 1 C.?0 dx D.?01dx 2
2

1









? ?x +1,0≤x≤1, 2 . (2011· 汕 头 模 拟 ) 设 函 数 f(x) = ? ?3-x,1<x≤2, ?

则 ? 0 f(x)dx 等 于

2

(

(

) 1 A. 3 C.6 3 . 已 知 ) A.0

17 6 D.17 f(x) 为 偶 函 数 且 ? 6 0 f(x)dx = 8 , 则 ? B. B.4 C.8 D.16

6 -6

f(x)dx

等 于

π 4.(2011·深圳模拟)曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面区域 2 的 面 积 为 ( ) π A.? 0(sin x-cos x)dx 2 π B.2? 0(sin x-cos x)dx 4 π C.? 0(cos x-sin x)dx 2 π D.2? 0(cos x-sin x)dx 4 x 5 . (2011· 临 渭 区 高 三 调 研 ) 函 数 f(x) = ? 0 t(t - 4)dt 在 [ - 1,5] 上 ( ) A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0,最小值- 3
4

32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 1 N 的力使弹簧伸长 2 cm,则使弹簧伸长 12 cm 时克服弹力做的功为__________J. 1 k 7.?0(2x +1)dx=2,则 k=________. 2 3 8.(2010·山东实验中学高三三诊)若 f(x)在 R 上可导,f(x)=x +2f′(2)x+3,则?0 f(x)dx=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)计算以下定积分: 1 ?2 1? 2 2? 3? (1)?1?2x - ?dx; (2)?2? x+ ? dx;

?

x?

?

x?

π (3)? 0(sin x-sin 2x)dx; 3

(4)?1|3-2x|dx.

2

10.(12 分)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x- 2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

11.(14 分)求曲线 y=e -1 与直线 x=-ln 2,y=e-1 所围成的平面图形的面积.

x

答案 自主梳理 1.x=a,x=b (a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 面积 b b b c b 2.(1)k?af(x)dx (2)?af1(x)dx±?af2(x)dx (3)?af(x)dx+?cf(x)dx(其中 a<c<b) b b b b 3.微积分基本定理 F(x)|a 4.(1)?af(x)dx (2)-?af(x)dx (3)?a[f(x)-g(x)]dx b b 5.(1)s=?av(t)dt (2)?aF(x)dx 自我检测 1.A 2.A 3.C 4.D 5.±3

解析 由?
2

?y=x +k , ? ? ?y=2kx.

2

2

得(x-k) =0, 即 x=k,
5

所以直线与曲线相切,如图所示, k 2 2 当 k>0 时,S=?0(x +k -2kx)dx 1 1 k3 k 2 3 k 3 =?0(x-k) dx= (x-k) |0=0- (-k) = , 3 3 3 由题意知 =9,∴k=3. 3 由图象的对称性可知 k=-3 也满足题意,故 k=±3. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数. ①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式. ②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原函数分段的情况分即可,无需分 得过细. a a (2)f(x)是偶函数, 且在关于原点对称的区间[-a, a]上连续, 则?-af(x)dx=2?0f(x)dx. 1 1? e? 解 (1)?1?x+ + 2?dx

k3

?

x x?

e e1 e1 =?1xdx+?1 dx+?1 2dx

x

x

1 2 e 1 e e = x |1+ln x|1- |1 2 x 1 2 ?1 1? = (e -1)+(ln e-ln 1)-? - ? 2 ?e 1? 1 2 1 3 = e- + . 2 e 2 π (2)? 0(sin x-2cos x)dx 2 π π =? 0sin xdx-2? 0cos xdx 2 2 π π =(-cos x)| 0-2sin x| 0 2 2 π π ? ? =-cos -(-cos 0)-2?sin -sin 0? 2 2 ? ? =-1. π x (3)?0 (2sin x-3e +2)dx π π x π =2?0 sin xdx-3?0 e dx+?0 2dx π x π π =2(-cos x)|0 -3e |0 +2x|0 π 0 =2[(-cos π )-(-cos 0)]-3(e -e )+2(π -0) π =7-3e +2π . (4)∵0≤x≤2, 2 ?x -1,1<x≤2, ? 2 于是|x -1|=? 2 ? ?1-x ,0≤x≤1, 2 2 1 2 2 2 ∴?0|x -1|dx=?0(1-x )dx+?1(x -1)dx ? 1 3? 1 ?1 3 ? 2 =?x- x ?|0+? x -x?|1=2. ? 3 ? ?3 ? 变式迁移 1 解 (1)∵(-cos x)′=sin x, 2π π 2π ∴?0 |sin x|dx=?0 |sin x|dx+?π |sin x|dx π 2π =?0 sin xdx-?π sin xdx π 2π =-cos x|0 +cos x|π =-(cos π -cos 0)+(cos 2π -cos π )=4.

6

1 ? π 2 π ?1 (2)?0 sin xdx=?0 ? - cos 2x?dx ?2 2 ? 1 1 π π =?0 dx- ?0 cos 2xdx 2 2 1 π 1?1 ? π = x|0 - ? sin 2x?|0 2 2?2 ? π 1 1 ? ? 1? ? =? -0?- ? sin 2π - sin 0? 2 ?2 ? 2?2 ? π = . 2 例 2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为:(1)作出曲线的图象,确定所要求 的面积;(2)联立方程解出交点坐标;(3)用定积分表示所求的面积;(4)求出定积分的值. 1 2 2 解 作出函数 y= x 和 y=3-(x-1) 的图象(如图所示),则所求平面图形的面积 S 为 2 图中阴影部分的面积.

1 ? ?y= x2, 解方程组? 2 ? ?y=3- x-

2



2 ? ?x=-3, 得? 2 ? ?y=9

或?

? ?x=2, ?y=2. ?

? 2 2? 所以两曲线交点为 A?- , ?,B(2,2). ? 3 9? 2 21 2 2 2 2 所以 S=? - [3-(x-1) ]dx-? - x dx 3 32 2 21 2 2 2 2 =? - (-x +2x+2)dx-? - x dx 3 32 ?-1x3+x2+2x??2-2- 1x3?2-2 ? 3 ?? 3 ? 6 ? 3 ? ?? 8? ? 8 ? ? 8 4 4? 1 ? =?- +4+4?-? + - ?- ×?8+ ? ? 3 ? ?81 9 3? 6 ? 27?
= 20 =4 . 27 变式迁移 2 解

如图, 设 f(x)=x+3, g(x)=x2-2x+3, 两函数图象的交点为 A,B,

7

由? 得?

?y=x+3, ? ?y=x -2x+3. ? ? ?x=0, ?y=3 ?
2 2

或?

? ?x=3, ?y=6. ?

∴曲线 y=x -2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积 S=?3 0[f(x)-g(x)]dx 3 2 =?0[(x+3)-(x -2x+3)dx] 3 2 =?0(-x +3x)dx ? 1 3 3 2? 3 9 =?- x + x ?|0= . 2 ? 2 ? 3 9 故曲线与直线所围图形的面积为 . 2 例 3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时, 将物理问题转化为数学 问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其 分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案.s(t)求导后得到速度,对速度积分则得 到路程. 解 方法一 由速度—时间曲线易知. 3t,t∈[0, , ? ? , v(t)=?30,t∈[10, ? ?-1.5t+90,t∈[40,60], 由变速直线运动的路程公式可得 40 60 s=?10 0 3tdt+?1030dt+?40(-1.5t+90)dt 3 2 10 ? 3 2 ? 60 40 = t |0 +30t|10+?- t +90t?|40=1 350 (m). 2 ? 4 ? 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知,汽车 1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上 的积分,也就是其速度曲线与 x 轴围成梯形的面积, 1 1 ∴s= (AB+OC)×30= ×(30+60)×30=1 350 (m). 2 2 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 变式迁移 3 解 (1)设 v(t)=1.2t,令 v(t)=24,∴t=20. 20 ∴A、C 间距离|AC|=?0 1.2tdt 2 20 2 =(0.6t )|0 =0.6×20 =240 (m). (2)由 D 到 B 时段的速度公式为 v(t)=(24-1.2t) m/s,可知|BD|=|AC|=240 (m). (3)∵|AC|=|BD|=240 (m), ∴|CD|=7 200-240×2=6 720 (m). 6 720 ∴C、D 段用时 =280 (s). 24 又 A、C 段与 B、D 段用时均为 20 s, ∴共用时 280+20+20=320 (s). 课后练习区 1.D 2.B 3.D 4.D 5.B 6.0.36 解析 设力 F 与弹簧伸长的长度 x 的关系式为 F=kx, 则 1=k×0.02,∴k=50, ∴F=50x,伸长 12 cm 时克服弹力做的功

8

2 0.12 2 W=?0.12 50xdx= x |0 = ×0.12 =0.36(J). 0

50 2

50 2

7.1 解析 ∵?0(2x +1)dx= = 2
1

k

? 2 xk+1+x??1 ?k+1 ??0 ? ??

k+1

+1=2,∴k=1.

8.-18 解析 ∵f′(x)=2x+2f′(2),∴f′(2)=4+2f′(2), 2 即 f′(2)=-4,∴f(x)=x -8x+3, 1 3 3 2 ∴?0f(x)dx= ×3 -4×3 +3×3=-18. 3 1 2 3 2 9.解 (1)函数 y=2x - 的一个原函数是 y= x -ln x, x 3 1? 2 2? 所以?1?2x - ?dx=

?

x?

?2x3-ln ?3 ?

? x? ??2 1 ??

= 分)

16 2 14 -ln 2- = -ln 2.……………………………………………………………… (3 3 3 3 1 ?2 1 ? 3? ? dx=?2?x+x+2?dx ? ?

3? (2)?2? x+

? ?1 2 ??3 = ? x +ln x+2x??2 ?2 ?? ?9 ? =? +ln 3+6?-(2+ln 2+4) ?2 ?
=ln 分)

x?

3 9 + .…………………………………………………………………………………(6 2 2

(3)函数 y=sin x-sin 2x 的一个原函数为 1 π y=-cos x+ cos 2x,所以? 0(sin x-sin 2x)dx 2 3

?-cos x+1cos 2x??π ? ?? 3 0 2 ? ?? 1? 1 ? 1 1? ? = ?- - ? - ?-1+ ? =- . …………………………………………………………… (9 2? 4 ? 2 4? ?
= 分)

3 2 (4) ? ? 3 ? 2 x dx ? ? 2 3 ? 2 x dx ? ? 3 3 ? 2 x dx 1 1 2 2 3 2 ? ? 2 (3 ? 2 x)dx ? ? 3 (2 x ? 3)dx 1 2
3 1 2 2 23 =(3x-x )| 1+(x -3x)| = .………………………………………………………… (12 2 2 2 分) 10.解 (1)设 f(x)=ax +bx+c (a≠0), 则 f′(x)=2ax+b.又 f′(x)=2x-2,
9
2

所以 a=1,b=-2,即 f(x)=x -2x+c.………………………………………………(4 分) 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, 所以 Δ =4-4c=0,即 c=1. 2 故 f(x)=x -2x+1.……………………………………………………………………… (8 分) (2)依题意,所求面积 S=?0(x -2x+1)dx ?1 3 2 ? 1 1 = ? x -x +x? | 0 = . …………………………………………………………………… (12 3 ?3 ? 分) 11.解 画出直线 x=-ln 2,y=e-1 及曲线 y=e -1 如图所示,则所求面积为图中 阴影部分的面积.
x
1 2

2

由? 由? 分)

? ?y=e-1, ? ?y=e -1, ?x=-ln 2, ? ? ?y=e -1,
x x

解得 B(1,e-1). 1? ? 解得 A?-ln 2,- ?.…………………………………………………(4 2? ?

此时,C(-ln 2,e-1),D(-ln 2,0). 所以 S=S 曲边梯形 BCDO+S 曲边三角形 OAD 1 1 x = ? (e - 1)dx - ? (e - 1)dx + -ln 2 0 | 0-ln 2 x- x|………………………………………(7 分) 1 x 1 x 0 =(e-1)x|-ln 2-(e -x)|0+|(e -x)|-ln 2| ……………………………………………… (10 分) 0 0 -ln 2 =(e-1)(1+ln 2)-(e-1-e )+|e -(e +ln 2)| 1 =(e-1)(1+ln 2)-(e-2)+ln 2- 2 1 =eln 2+ .……………………………………………………………………………(14 分) 2

10


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