2017-2018学年高中数学(苏教版必修2)同步课件:第2章2.2.3圆与圆的位置关系_图文

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2.2.3
阶 段 二

圆与圆的位置关系
学 业 分 层 测 评

1.能根据两个圆的方程,判断两圆的位置关系.(重点) 2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点,能运用两圆的位置关系解决 有关问题.(易错点) 3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法;了解两圆公切线的概念,会判 断所给直线是不是两圆的公切线.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 圆与圆的位置关系 阅读教材P115,完成下列问题. 1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关 系的判断方法如下:
位置关系 图示 d与r1,r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 外离 外切 相交 内切 内含

2.代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. Δ>0? 相交 , ? ? 圆C1方程? ? 消元 ?――→一元二次方程?Δ=0? 内切或外切 圆C2方程? ? ?Δ<0? 外离或内含 . ?



1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两圆方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交.( √ ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( × ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.( × ) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( √ )

2.两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的公共弦所在的直线方程 为______________.
【解析】
2 2 ? ?x +y +6x+4y=0, ① 联立? 2 2 ? ?x +y +4x+2y-4=0,



①-②得:x+y+2=0.

【答案】 x+y+2=0

3.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为________.
【解析】
2 2 ? ?x +y =1, 由? 2 2 ? ?x +y +2x+2y+1=0,

? ?x=0, 解得? ? ?y=-1

? ?x=-1, 或? ? ?y=0.

【答案】 (-1,0)和(0,-1)

[小组合作型]
两圆位置关系的判定

已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,与圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)m=1时,圆C1与圆C2有什么位置关系? (2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含?

【精彩点拨】 (1)参数m的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比较 两圆的圆心距d与r1+r2和|r1-r2|的大小关系.(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内 含,则圆心距d<|r1-r2|.

【自主解答】

(1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为:

C1:(x-1)2+(y+2)2=9. C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距d= ?1+1?2+?-2?2=2 2, 又∵r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2, ∴r1-r2<d<r1+r2,所以圆C1与圆C2相交.

(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含, 则 ?m+1?2+?-2?2<3-1, 即(m+1)2<0,显然不等式无解. 故不存在m使得圆C1与圆C2内含.

判断圆与圆的位置关系时,通常用几何法,即转化为判断圆心距与两圆半径 的和与差之间的大小关系.

[ 再练一题] 1.已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0, C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求a为何值时两圆C1,C2(1)相切;(2)相交;(3)相离;(4)内含.

【解】

对圆C1,C2的方程,经配方后可得:

C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a, (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.

(2)当3<|C1C2|<5即3<a<5,时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时, 两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含.

两圆相交的问题

已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求公共弦所在直线的方程; (2)求公共弦的长.
【精彩点拨】 两圆方程相减→直线方程→

半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形→列式求解

【自主解答】

(1)设两圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).将点A的坐标代 ① ②

2 2 ? ?x1+y1-2x1+10y1-24=0, 入两圆方程,得? 2 2 ? ?x1+y1+2x1+2y1-8=0,

①-②,得x1-2y1+4=0,故点A在直线x-2y+4=0上. 同理,点B也在直线x-2y+4=0上,即点A,B均在直线x-2y+4=0上.因 为经过两点有且只有一条直线,所以直线AB的方程为x-2y+4=0,即公共弦所 在直线的方程为x-2y+4=0.

(2)圆C1的方程可化为(x-1)2+(y+5)2=50,所以C1(1,-5),半径r1=5 2. |1-2×?-5?+4| C1(1,-5)到公共弦的距离d= =3 5. 2 2 1 +?-2? 设公共弦的长为l,
2 则l=2 r1 -d2=2 ?5 2?2-?3 5?2=2 5.

1.利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时,必须注意只有当 两圆方程中二次项的系数相同时,才能如此求解,若二次项的系数不同,需先调 整方程中各项的系数. 2.求两圆的公共弦长有两种方法:一是先求出两圆公共弦所在直线的方 程;再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解;二是联立两 圆的方程求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求弦长.

[ 再练一题] 2.求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y- 6=0的交点的圆的方程.
【解】
2 2 ? ?x +y -4x-6=0, 由? 2 2 ? ?x +y -4y-6=0,

【导学号:41292111】

? ?x=-1, 得? ? ?y=-1,

? ?x=3, 或? ? ?y=3.

即两圆的交点坐标为A(-1,-1),B(3,3).

设所求圆的圆心坐标C为(a,a-4),由题意可知CA=CB, 即 ?a+1?2+?a-3?2= ?a-3?2+?a-7?2, 解得a=3,∴C(3,-1). ∴CA= ?3+1?2+?-1+1?2=4, 所以,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

[探究共研型]
两圆相切的问题
探究1 若已知圆C1:x2+y2=a2(a>0)和C2:(x-2)2+y2=1,那么a取何值时 C1与C2相外切?

【提示】 由|C1C2|=a+1,得a+1=2,∴a=1.
探究2 若将探究1中,C2的方程改为(x-2)2+y2=r2(r>0),那么a与r满足什么 条件时两圆相切? 【提示】 若两圆外切,则a+r=|C1C2|=2,即a+r=2时外切.若两圆内

切,则|r-a|=|C1C2|=2. ∴r-a=2或a-r=2.

已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明:圆C1与圆C2相切,并求过切点的公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
【精彩点拨】 (1)证明|C1C2|=r1+r2,两圆方程相减得公切线方程. (2)由圆系方程设圆的方程,将已知点代入.

【自主解答】

(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,

得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13; 圆心与半径长分别为 C1(-2,2),r1= 13;C2(4,-2),r2= 13, 因为|C1C2|= ?4+2?2+?-2-2?2=2 13=r1+r2,所以圆C1与圆C2相切.
2 2 ? ?x +y +4x-4y-5=0, 由? 2 2 ? ?x +y -8x+4y+7=0,

得12x-8y-12=0, 即3x-2y-3=0,这就是过切点的两圆公切线的方程.

(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为 x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0. 4 点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得λ=3. 所以所求圆的方程为 4 x +y +4x-4y-5+3(3x-2y-3)=0,
2 2

20 即x +y +8x- 3 y-9=0.
2 2

两圆相切有如下性质: (1)设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则两圆相切
? ?内切?O1O2=|r1-r2|, ? ? ?外切?O1O2=r1+r2.

(2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂 直平分公共弦). 在解题过程中应用这些性质,有时能大大简化运算.

[ 再练一题] 3.求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+ 3 y=0相切于点M(3,- 3) 的圆的方程.

【解】

圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,

圆心C(1,0),半径为1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ? ?a-1?2+b2=r+1, ? 3? ? ? ?b+ 3×? =-1, - 3? 由题意可知? a-3 ? ? ? ? ?|a+ 3b|=r, 2 ? 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4. ?a=4, ? 解得?b=0, ?r=2. ?

1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为________.

【解析】 两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d= 42+1= 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交.
【答案】 相交

2.已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=1与圆C2:x2+y2+2y=8外离,则实数m的 取值范围是________.

【解析】 圆C1可化为(x-m)2+y2=1,圆C2可化为x2+(y+1)2=9,所以圆 心C1(m,0),C2(0,-1),半径r1=1,r2=3,因为两圆外离,所以应有C1C2>r1+r2 =1+3=4,即 ?m-0?2+?0+1?2>4,解得m> 15或m<- 15.
【答案】 (-∞,- 15)∪( 15,+∞)

3.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为 ________.

【解析】 设圆心坐标为(a,b),由题意知b=6, a2+32 =5,可以解得a= ± 4,故所求圆的方程为(x± 4)2+(y-6)2=36.
【答案】 (x± 4)2+(y-6)2=36

4.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线方程为________. 【导学号:41292112】
【解析】 直线AB的方程为:4x-4y+1=0,因此它的垂直平分线斜率为- 1,过圆心(1,0),方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.

【答案】 x+y-1=0

5.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3 =0,m为何值时, (1)圆C1与圆C2外切; (2)圆C1与圆C2内含.

【解】

将圆C1,圆C2化为标准形式得

C1:(x-m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4. 则C1(m,-2),C2(-1,m),r1=3,r2=2,C1C2= 2m2+6m+5. (1)当圆C1与圆C2外切时, 有r1+r2=C1C2, 则 2m2+6m+5=5,解得m=-5或2,即当m=-5或2时,两圆外切. ?m+1?2+?m+2?2 =

(2)当圆C1与圆C2内含时, C1C2<r1-r2, ∴ 2m2+6m+5<1,即m2+3m+2<0. ∵f(m)=m2+3m+2的图象与横坐标轴的交点是(-2,0),(-1,0), ∴由m2+3m+2<0,可得-2<m<-1,即当-2<m<-1时,两圆内含.


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