2017_2018学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.4圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2_图文

第二章—— 2.3.4 圆与圆的位置关系 [学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题. 3.体会用代数方法处理几何问题的思想. 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 [知识链接] 1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法 、 几何法 . 2.两圆的位置关系有外离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . [预习导引] 圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d, 则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置关系 图示 外离 外切 相交 内切 内含 d与r1、r2 |r1-r2| _______ <d<r1 _________ d >r1+r2 d =r1+r2 _______ d=|r1-r2| ________ d<|r1-r2| _______ ________ +r2 _______ 的关系 (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行 判断. 相交 Δ >0 ? ? 圆C1方程? ? ? ?消元一元二次方程?Δ=0? 内切或外切 ? 圆C2方程? ? ?Δ<0? 外离或内含 要点一 与两圆相切有关的问题 例 1 求与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3y=0 相切于 点 M(3,- 3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则 ?a-1?2+b2=r+1, ① b+ 3 = 3, a-3 |a+ 3b| = r . 2 r=6, ② ③ 联立①②③解得 a=4,b=0,r=2,或 a=0,b=-4 3, 即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有: (1)设两圆的圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2, ? ?内切?|O1O2|=|r1-r2|, 则两圆相切? ? ?外切?|O1O2|=r1+r2. (2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时, 两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪演练1 求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1) 且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P(a,b), 则 ?a-4?2+?b+1?2=1. ① (1)若两圆外切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=1+2=3, ② 联立①②,解得a=5,b=-1, 所以,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1; (2)若两圆内切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=|2-1|=1,③ 联立①③,解得a=3,b=-1, 所以,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上所述,所求圆的方程为 (x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1. 要点二 与两圆相交有关的问题 例2 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x +2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 解 设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 ? x + y +2x-6y+1=0 ? 则 A,B 两点坐标是方程组? 2 2 ? ?x +y -4x+2y-11=0 ① ② 的解, ①-②得:3x-4y+6=0. ∵A,B两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r1=3. |-1×3-4×3+6| 9 又 C1 到直线 AB 的距离为 d= =5. 2 2 3 +?-4? ∴|AB|=2 2 r2 - d =2 1 3 2 ?9? ? ?2 24 -?5? = 5 . ? ? 24 即两圆的公共弦长为 5 . 规律方法 1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆 C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 与圆 C2 : x2 + y2 + D2x + E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x +(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间 的距离公式求出弦长. (2) 几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、 半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 跟踪演练 2 求两圆 x2 + y2 - 2x + 10y - 24 = 0 和 x2 + y2 + 2x +2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长. 解 2 2 ? x + y -2x+10y-24=0 ? 联立两圆的方程得方程组? 2 2 , ? ?x +y +2x+2y-8=0 两式相减得x-2y+4=0, 此即为两圆公共弦所在直线的方程. 方法一 设两圆相交于点A,B, ? ?x-2y+4=0 则 A,B 两点满足方程组? 2 2 , ? ?x +y +2x+2y-8=0 ? ? ?x=-4 ?x=0 解得? 或? . ? ? ?y=0 ?y=2 所以|AB|= ?-4-0?2+?0-2?2=2 5, 即公共弦长为 2 5. 方法二 由x2+y2-2x+10y-24=0, 得(x-1)2+(y+5)2=50, 其圆心坐标为(1,-5),半径长 r=5 2, 圆心到直线 x-2y+4=0 的距离为 |1-2×?-5?+4| d= =3 5. 2 1+?-2? 设公共弦长为2l, 由勾股定理得r2=d2+l2, 即 50=(3 5)2+l2, 解得 l= 5, 故公共弦长 2l=2 5. 要点三 直线与圆的方程的应用 例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风 预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半 径为30 km

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