高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质优化练习新人教A版选修23

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.在(a-b) 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是( A.第 15 项 C.第 17 项
5 15 20

)

B.第 16 项 D.第 18 项
5

解析:第 6 项的二项式系数为 C20,又 C20=C20,所以第 16 项符合条件. 答案:B 2.(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 的展开式中各项系数和为( A.2 C.2
n+1
2

n

)

B.2 -1 D.2
2

n

n+1

-1
n n+1

n+1

-2

解析:令 x=1,得 2+2 +…+2 =2 答案:D

-2.

? x+ 3 ? ?n 3.已知? 3 ? 的展开式中,各项系数的和与各二项式系数的和之比为 64,则 n 等于 ? x? ?
( A.4 C.6 ) B.5 D.7
n

4 n n 解析:令 x=1,得各项系数的和为 4 ,又各二项式系数的和为 2 ,故 n=64,∴n=6. 2 答案:C 4.若(1+ 2) =a+b 2(a,b 为有理数),则 a+b=( A.45 C.70
5 1 2 5

)

B.55 D.80
2 3 3 4 4 5 5

解析:∵(1+ 2) =1+C5× 2+C5×( 2) +C5×( 2) +C5×( 2) +C5×( 2) =1+5 2+20+20 2+20+4 2 =41+29 2, ∴a=41,b=29,a+b=70.故选 C. 答案:C

5.(2015 年高考湖北卷)已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇 数项的二项式系数和为( A.2 C.2
12

n

) B.2 D.2
11

10

9

1

解析:∵(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数分别为 Cn,Cn, ∴Cn=Cn,得 n=10. 从而有 C10+C10+C10+C10+…+C10=2 , 又 C10+C10+…+C10=C10+C10+…+C10, 所以奇数项的二项式系数和为 C10+C10+…+C10=2 . 答案:D 6.若(x-2) =a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0, 则 a1+a2+a3+a4+a5=________.(用数字作 答) 解析:令 x=0,得 a0=(-2) =-32. 令 x=1,得 a5+a4+a3+a2+a1+a0=(1-2) =-1, 故 a1+a2+a3+a4+a5=-1-(-32)=31. 答案:31
5 5 5 5 4 3 2 0 2 10 9 0 2 10 1 3 9 0 1 2 3 10 10 3 7

n

3

7

? 3 1 ?n 7.若?x + 2? 的展开式中仅第六项系数最大,则展开式中不含 x 的项为________. x ? ?
解析:由题意知,展开式各项的系数等于各项的二项式系数. 第六项系数最大,即第六项为中间项,故 n=10. ∴通项为 Tr+1=C10·(x )
6

r

3 10-r

? 1 ?r r 30-5r ·? 2? =C10·x .令 30-5r=0,得 r=6. x ? ?

∴常数项为 T7=C10=210. 答案:210 8.若(1-2x)
2 004

=a0+a1x+a2x +…+a2 004x

2

2 004

(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…

+(a0+a2 004)=________.(用数字作答) 解析:在(1-2x)
2 004

=a0+a1x+a2x +…+a2 004x
2 004

2

2 004

中,令 x=0,则 a0=1,令 x=1,则 a0

+a1+a2+a3+…+a2 004=(-1)

=1,

故 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2 004) =2 003a0+a0+a1+a2+a3+…+a2 004 =2 004. 答案:2 004 9.已知(1-x) 的展开式,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数最小的项. 解析:(1)因为(1-x) 的幂指数 8 是偶数,所以由二项式系数的性质知,中间一项(即第 5 项)的二项式系数最大,该项为 T5=C8(-x) =70x . (2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定. 由题意知第 4 项和第 6 项系数相等且最小,分别为
2
4 4 4 8 8

3 3 5 5 5 T4=C3 8(-x) =-56x ,T6=C8(-x) =-56x .

10.已知(1-2x) =a0+a1(x-1)+a2(x-1) +a3(x-1) +…+a7(x-1) .求: (1) a0+a1+a2+…+a7; (2)a0+a2+a4+a6. 解析:(1)令 x=2, 得(1-2×2) =-3 =a0+a1+a2+…+a7, ∴a0+a1+a2+…+a7=-3 . (2)令 x=0,得 a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=1. 又由(1)得,a0+a1+a2+…+a7=-3 , 两式相加,可得 2(a0+a2+a4+a6)=1-3 . 1-3 ∴a0+a2+a4+a6= . 2 [B 组 能力提升]
7 7 7 7 7 7

7

2

3

7

? x+ a ? ?n 1.已知关于 x 的二项式? 3 ? 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值 ? x? ?
为( A.1 C.2
n

) B.±1 D.±2
r
5-r

15 ?5 r ? a ? r r r ? ? 解析:由条件知 2 =32 即 n=5,在通项公式 Tr+1=C5( x) =C5a x 6 中,令 15- ? 3 x? ? ?

5r=0 得 r=3,∴C5a =80.解得 a=2. 答案:C 2.若(1-2x) A.2 C.-1 解析:(1-2x)
2 015 2 015

3 3

=a0+a1x+…+a2 015x

2 015

(x∈R),则 + 2+…+ 2 015的值为( 2 2 2 B.0 D.-2

a1 a2

a2 015

)

=a0+a1x+…+a2 015x

2 015

1?2 015 1 a1 a2 a2 015 ? ,令 x= ,则?1-2× ? =a0+ + 2+…+ 2 015 2? 2 2 2 2 ?

=0,其中 a0=1,所以 + 2+…+ 2 015=-1. 2 2 2 答案:C 3.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1, 2)+f(0,3)=( A.45 ) B.60
6 4

a1 a2

a2 015

m n

3

C.120
6

D.210
m m
4

解析: 在(1+x) 的展开式中, x 的系数为 C6, 在(1+y) 的展开式中, y 的系数为 C4, 故 f(m,
n 3 1 2 n)=Cm f(2,1)=C2 f(1,2)=C1 f(0,3)=C3 6·C4.从而 f(3,0)=C6=20, 6·C4=60, 6·C4=36, 4=

n

n

4,所以原式=20+60+36+4=120,故选 C. 答案:C 4.如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第 14 个与 第 15 个数的比为 2∶3. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1

1 2 1 1 3 3 1 4 1

6 4 1 1

1 5 10 10 5

解析: 由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为 2∶3, 故二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 2∶3,即 Cn ∶Cn =2∶3, 所以 ∴ 14
13 14

n! n-

∶ !·13! n-

n!
!·14!

=2∶3,

n-13 3

2 = ,∴n=34.

答案:34 5.已知(1+3x) 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中二项式系数 最大的项. 解析:由题意知,Cn+Cn +Cn =121, 即 Cn+Cn+Cn=121, ∴1+n+
0 1 2

n

n

n-1

n-2

n n-
2

=121,即 n +n-240=0,

2

解得 n=15 或-16(舍). ∴在(1+3x) 的展开式中,二项式系数最大的项是第八、九两项,T8=C15(3x) =C153 x ,T9 =C15(3x) =C153 x . 6.应用二项式定理证明 2 证明:当 n=1 时,2 所以 2
n+1
2 1+1 8 8 8 8 8 15 7 7 7 7 7

n+1

≥n +n+2(n∈N ).
2

2

*

=4,1 +1+2=4,

=n +n+2;

当 n≥2 时, 2
n+1

=2(1+1) =2(1+Cn+Cn+…+Cn)

n

1

2

n

4

≥2(1+Cn+Cn)=2[1+n+ =n +n+2. 所以 2
n+1
2

1

2

n n-
2

]

≥n +n+2(n∈N )成立.

2

*

5


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