2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.理)含详解

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数 学(供理科考生使用)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 球的表面积公式 S=4 π R
2

其中 R 表示球的半径 球的体和只公式 V= π R

4 3

2

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? p ) n ? k (k = 0,1, 2,L , n)

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知集合 M = x =| x | (A) M ∩ N (2) lim
x →∞

x+3 < 0 |, N =| x | x ≤ ?3 | ,则集合 | x | x ≥ 1| = x ?1 (B) M ∪ N (C) R( M ∩ N ) (D)

R(

M ∪N )

1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1) = n(2n + 1)
(D)2

1 1 (B) (C)1 4 2 (3)圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共点的充要条件是 ..
(A)

( A)k ∈ (? 2, 2) (C )k ∈ (? 3, 3)
(4)复数

( B)k ∈ (?∞, ? 2) ∪ ( 2, +∞) ( D)k ∈ (?∞, ? 3) ∪ ( 3, +∞)

1 1 + 的虚部是 ?2 + i 1 ? 2i 1 1 ( A) i ( B) 5 5

1 (C ) ? i 5

( D) ?

1 5

(5)已知 O、 、 是平面上的三个点, A B 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC + CB = 0 , OC ? 则

uuur uuu r

uuur

uuu uuu r r ( A)2OA ? OB

uuu r uuu r ( B) ? OA + 2OB

r r 2 uuu 1 uuu (C ) OA ? OB 3 3

r r 1 uuu 2 uuu ( D) ? OA ? OB 3 3

(6)设 P 为曲线 C: y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

[0,

π
4

],则点 P 横坐标的取值范围为

1 ( A)[?1, ? ] 2

( B )[?1, 0]

(C )[0,1]

1 ( D)[ ,1] 2

(7)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张 卡片上的数学之和为奇数的概率为

( A)

1 3

( B)

1 2

(C )

2 3

( D)

3 4

(8)将函数 y = 22 + 1的图象按向量a平移得到函数y = 2 a +1 的图象,则

( A)a = (?1, ?1)

( B )a = (1, ?1)

(C )a = (1,1)

( D)a = (?1,1)

(9)一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中 安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工 序只能从甲、丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有 (A)24 种 (B)36 种 (C)48 种 (D)72 种
2 (10)已知点 P 是抛物线 y = 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物

线准线的距离之和的最小值为

( A)

17 2

( B)3

(C ) 5

( D)

9 2

(11)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条 直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线

( A) 不存在

(B)有且只有两条 (C)有且只有三条

(D)有无数条

(12)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f ( 之和为 (A)-3

x+3 ) 的所有 x x+4

(B)3

(C)-8

(D)8

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
(13)函数 y = ?

? x + 1, x < 0,
x ?e , x ≥ 0

的反函数是__________.

(14)在体积为 4 3π 的球的表面上有 A、B、C 三点,AB=1,BC= 2 ,A、C 两点的球 而距离为

3 π ,则球心到平面 ABC 的距离为_________. 3
2

(15) 已 知 (1 + x + x )( x +

1 n ) 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 , n ∈ N * , 且 2 ≤ n ≤ 8, 则 y .. x

n=______.

(16)已知 f ( x ) = sin(ω x +

π

值,无最大值,则 ω =__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin C + sin( B ? A) = 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

)(ω > 0), f ( ) = f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小 3 6 3 6 3

π

π

π π

π
3

.

(18) (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结 果如下表所示: (Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ξ 表示该种商品两周销售利润的和 (单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ξ 的 分布列和数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A′B′C ′D′ 中, AP=BP=b (0<b<1) ,截面 PQEF ∥ A′D ,截面 PQGH ∥ A′D . (Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值, 并求出这个值; (Ⅲ)若 D′E 与平面 PQEF 所成的角为 45°, D′E 与 求 平面 PQGH 所成角的正弦值.

(20) (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两点(0,轨迹为 l、直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值; )(0, 、

3 )的距离之和等于 4,设点 P 的

uuu r

uuu r

uuu r
(21) (本小题满分 12 分)

uuu r

(Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |.

在数列|an|,|bn|中,a1=2, b2=4,且 an , bn , an +1 成等差数列,bn , an +1 , bn +1 成等比数列( n ∈ N * )

(Ⅰ)求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

1 1 1 5 + + + < . a1 + b1 a2 + b2 an + bn 12

(22) (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=

ln x ? ln x + ln( x + 1). 1+ x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f(x) ≥ a 的解集为(0,+ ∞ )?若存在,求 a 的取 值范围;若不存在,试说明理由.

年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用) 数学(供理科考生使用)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 球的表面积公式 S=4 π R
2

其中 R 表示球的半径 球的体和只公式 V= π R

4 3

2

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? p ) n ? k (k = 0,1, 2,L , n)
一、选择题 1.已知集合 M = ? x A. M I N 答案: 答案:C

其中 R 表示球的半径

? x+3 ? < 0 ? , N = { x x ? ?3} ,则集合 { x x …1} 为( ? x ?1 ?
B. M U N C. ?R ( M I N ) D. ?R ( M U N )

)

解析:本小题主要考查集合的相关运算知识。依题 M = x ?3 < x < 1 , N = x x ? ?3 , ∴ M ∪ N = {x | x < 1} , ?R ( M U N ) = x x …1 . 2. lim

{

}

{

}

{

}

n →∞

1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1) 等于( n(2n + 1)

)

A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

答案: 答案:B 解 析 : 本 小 题 主 要 考 查 对 数 列 极 限 的 求 解 。 依 题

lim

1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1) n2 1 = lim 2 = . n →∞ n →∞ 2n + n n(2n + 1) 2
)

3.圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共点的充要条件是( A. k ∈ ( ? 2, 2) C. k ∈ ( ? 3, 3) 答案: 答案:C B. k ∈ ( ?∞, ? 2) U ( 2, +∞ ) D. k ∈ ( ?∞, ? 3) U ( 3, +∞)

解析:本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共 点? d =

2 1+ k 2

> 1 ? k ∈ (? 3,3).

4.复数

1 1 + 的虚部是( ) ?2 + i 1 ? 2i 1 1 1 1 A. i B. C. ? i D. ? 5 5 5 5 1 1 1 1 + = ? + i. ∴虚 5 5 ?2 + i 1 ? 2i

答案: 答案:B 解析:本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题: 部为 .

1 5

5.已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2AC + CB = 0 ,则 OC 等于 ( ) A. 2OA ? OB

uuur uuu r

uuur

uuu uuu r r

B. ?OA + 2OB

uuu r

uuu r

C.

r r 2 uuu 1 uuu OA ? OB 3 3

D. ? OA +

r 1 uuu 3

r 2 uuu OB 3

答案: 答案:A 解析:本小题主要考查平面向量的基本定理。 依题 OC = OB + BC = OB + 2 AC = OB + 2(OC ? OA). ∴ OC = 2OA ? OB.

uuur

uuu uuu r r

uuu r

uuur

uuu r

uuur uuu r

uuur

uuu uuu r r

6.设 P 为曲线 C : y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是

[0, ] ,则点 P 横坐标的取值范围是( 4

π

)

A. [ ?1, ? ] 答案: 答案:A

1 2

B. [ ?1, 0]

C. [0,1]

D. [ ,1]

1 2

解析:本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点 P 的横坐标为 x0 , 且 y ' = 2 x0 + 2 = tan α ( α 为点 P 处切线的倾斜角) ,又∵ α ∈ [0, ∴ x0 ∈ [ ?1, ? ]. 7.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( ) A.

π
4

] ,∴ 0 ≤ 2 x0 + 2 ≤ 1 ,

1 2

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

答案: 答案:C 解析: 本小题主要考查等可能事件概率求解问题。 依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和为 奇数, 则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶, ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的 概率 P =
1 1 C2 ? C2 4 2 = = . 6 3 C32

8.将函数 y = 2 x + 1 的图象按向量 a 平移得到函数 y = 2 x +1 的图象,则 a 等于( A. (?1, ?1) 答案: 答案:A B. (1, ?1) C. (1,1) D. (?1,1)

)

解析:本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数 y = 2 x + 1 的图象得 到函数 y = 2 x +1 的图象,需将函数 y = 2 x + 1 的图象向左平移 1 个单位,向下平移 1 个单位; 故 a = ( ?1, 1). ? 9.生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等 6 名工人中安排 4 人分别 照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲丙两工人中 安排 1 人,则不同的安排方案有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 答案: 答案:B 解析:本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成,则第四道工序必由丙 来完成,故完成方案共有 A4 = 12 种;若第一道工序由乙来完成,则第四道工序必由甲、丙
2

r

二 人 之 一 来 完 成 , 故 完 成 方 案 共 有 A2 ? A4 = 24 种 ; ∴ 则 不 同 的 安 排 方 案 共 有
1 2 1 A42 + A2 ? A42 = 36 种。

10.已知点 P 是抛物线 y = 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准
2

线的距离之和的最小值为( A.

) C. 5 D.

17 2

B. 3

9 2

答案: 答案:A 解析:本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ' ,抛物线的 焦点为 F ,则 F ( , 0) ,依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 | PP ' |=| PF | ,则点 P 到 点

1 2

A(0, 2) 的 距 离 与 P 到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和

1 17 d =| PF | + | PA |≥| AF |= ( ) 2 + 22 = . 2 2
11.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点,则在空间中与三条直 线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线( )

A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 答案:D 解析:本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查学 生的空间想象能力。 EF 上任意取一点 M,直线 A1 D1 与 M 确定 在 一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同 的位置就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点的.如右图: 12.设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x > 0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x ) = f ( 有 x 之和为( ) A. ?3 B. 3 答案: 答案:C C. ?8

x+3 ) 的所 x+4

D. 8

解析:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足 f ( x ) = f (

x+3 2 时 , 得 x + 3 x ? 3 = 0 , 此 时 x1 + x2 = ?3. 又 f ( x ) 是 连 续 的 偶 函 数 , ∴ x+4 x+3 x+3 2 f (? x) = f ( x) ,∴另一种情形是 f (? x) = f ( ) ,即 ? x = ,得 x + 5 x + 3 = 0 , x+4 x+4 x+3 ∴ x3 + x4 = ?5. ∴满足 f ( x ) = f ( ) 的所有 x 之和为 ?3 + (?5) = ?8. x+4 x=

x+3 ) 时,即 x+4

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

二、填空题 13.函数 y = ?

? x + 1, x < 0 的反函数是____________________. x ? e , x …0

答案: y = ?

? x ? 1,x < 1, ?ln x, x ≥ 1.

解析: 本小题主要考查求反函数基本知识。 求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解 以及反函数的定义域问题。 14.在体积为 4 3π 的球的表面上有 A, B, C 三点, AB = 1, BC =

2, A, C 两点的球面距离



3 π ,则球心到平面 ABC 的距离为______________. 3
3 2

答案:

解析:本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为 R ,则

4 3 V = π R 3 = 4 3π ,∴ R = 3. 设 A 、 两点对球心张角为 θ , AC = Rθ = 3θ = C 则 π, 3 3
∴θ =

π
3

,∴ AC =

3 ,∴ AC 为 ABC 所在平面的小圆的直径,∴ ∠ABC = 90o ,设 ABC 所
ABC 的 距 离 为

在 平 面 的 小 圆 圆 心 为 O' , 则 球 心 到 平 面

d = OO ' = R 2 ? BO '2 = 3 ? (
15.已知 (1 + x + x )( x +
2

3 2 3 ) = . 2 2 8 ,则 n = ______.

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ∈ N * , 2 剟n 3 x

答案:5 解析:本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x +

1 n ) 对 n ∈ N * , 2 剟n 3 x
2

8 中,

只有 n = 5 时,其展开式既不出现常数项,也不会出现与 x 、 x 乘积为常数的项。 16.已知 f ( x ) = sin(ω x +

π

最大值,则 ω = __________. 答案:

) (ω > 0), f ( ) = f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值,无 3 6 3 6 3

π

π

π π

14 3

解 析 : 本 小 题 主 要 针 对 考 查 三 角 函 数 图 像 对 称 性 及 周 期 性 。 依 题

f ( x) = sin(ω x + ) (ω > 0), f ( ) = f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值,无最大值,∴ 3 6 3 6 3

π

π

π

π π

区间 (

π , ) 为 f ( x) 的一个半周期的子区间,且知 f ( x) 的图像关于 x = 6 3 = 对称, 6 3 2 4 π π 3π 14 , k ∈ Z ,取 K = 0 得 ω = . ∴ ? ω + = 2k π + 4 3 2 3
π π

π

+

π

三、解答题 17.在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c = 2, C = ⑴若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; ⑵若 sin C + sin( B ? A) = 2 sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 说明:本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 解析: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a + b ? ab = 4 ,
2 2

π
3

.

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C = 3 ,得 ab = 4 . ······························· 4 分 2

联立方程组 ?

?a 2 + b 2 ? ab = 4,

?ab = 4,

解得 a = 2 , b = 2 . ··························································· 6 分

(Ⅱ)由题意得 sin( B + A) + sin( B ? A) = 4sin A cos A , 即 sin B cos A = 2sin A cos A , ···························································································· 8 分 当 cos A = 0 时, A =

π π 4 3 2 3 ,B = ,a = ,b = , 2 6 3 3

当 cos A ≠ 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得 b = 2a , 联立方程组 ?

?a 2 + b 2 ? ab = 4,

?b = 2a,

解得 a =

2 3 4 3 ,b = . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S =

1 2 3 ab sin C = . ···································································· 12 分 2 3

18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所 示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; ⑵已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ξ 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若 以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ξ 的分布列和数学期望.

说明:本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题 的能力.满分 12 分. 解析: (Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. ························ 3 分 (Ⅱ) ξ 的可能值为 8,10,12,14,16,且 P( ξ =8)=0.22=0.04, P( ξ =10)=2×0.2×0.5=0.2, P( ξ =12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37, P( ξ =14)=2×0.5×0.3=0.3, P( ξ =16)=0.32=0.09.

ξ 的分布列为 ξ
P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09

········································································································· 9 分

Eξ =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元) ···································· 12 分

19. 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A′B′C ′D′ 中 , AP = BQ = b (0 < b < 1) , 截 面

PQEF ∥ A′D ,截面 PQGH ∥ AD′ .
H ⑴证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ⑵证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 定值,并求出这个值; ⑶若 D′E 与平面 PQEF 所成的角为 45 ,求 D′E
o

D′
G

C′ B′

A′

P F

Q D E B C

与平面 PQGH 所成角的正弦值.

A

说明:本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象 能力与逻辑思维能力。满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)证明:在正方体中, AD′ ⊥ A′D , AD′ ⊥ AB ,又由已知可得

PF ∥ A′D , PH ∥ AD′ , PQ ∥ AB ,
D′
H

C′

A′
P N D A F

B′

G

QM B E

C

所以 PH ⊥ PF , PH ⊥ PQ , 所以 PH ⊥ 平面 PQEF . 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. ·························· 4 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

PF = 2 AP,PH = 2 PA′ ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面
PQEF 和截面 PQGH 面积之和是

( 2 AP + 2 PA′) × PQ = 2 ,是定值. ············································································ 8 分
(III)解:连结 BC′交 EQ 于点 M. 因为 PH ∥ AD′ , PQ ∥ AB , 所以平面 ABC ′D′ 和平面 PQGH 互相平行,因此 D′E 与平面 PQGH 所成角与 D′E 与平面 ABC ′D′ 所成角相等. 与(Ⅰ)同理可证 EQ⊥平面 PQGH,可知 EM⊥平面 ABC ′D′ ,因此 EM 与 D′E 的比值就 是所求的正弦值. 设 AD′ 交 PF 于点 N,连结 EN,由 FD = 1 ? b 知

D′E = (1 ? b) 2 + 2,ND′ =

2 2 + (1 ? b) . 2 2
o

因为 AD′ ⊥平面 PQEF,又已知 D′E 与平面 PQEF 成 45 角, 所以 D′E = 解得 b =

2 ND′ ,即

? 2 ? 2 2? + (1 ? b) ? = (1 ? b) 2 + 2 , 2 ? 2 ?

1 ,可知 E 为 BC 中点. 2 3 2 2 ,又 D′E = (1 ? b) + 2 = , 4 2 EM 2 = . ····················································· 12 分 D′E 6

所以 EM=

故 D′E 与平面 PQCH 所成角的正弦值为

解法二: 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD′分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D-xyz 由已知得 DF = 1 ? b ,故

A(1, 0) , A′(1,1) , D(0, 0) , D′(0,1) , 0, 0, 0, 0,
z

P (1, b) , Q(11,b) , E (1 ? b,0) , 0, , 1, F (1 ? b, 0) , G (b, , H (b,1) . 0, 11) , 0,
A′
P A x H

D′ B′
G

C′

D F

Q C B E y

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

uuu r uuu r PQ = (0,0) PF = (?b, ? b) , 1,, 0, uuur PH = (b ? 1,1 ? b) , 0, uuuu r uuuu r AD′ = (?1,1) A′D = (?1, ? 1) . 0,, 0, AD 因为 AD′ PQ = 0, ′ PF = 0 ,所以 AD′ 是平面 PQEF 的法向量.
因为 A′D PQ = 0,′D PH = 0 ,所以 A′D 是平面 PQGH 的法向量. A 因为 AD′ A′D = 0 ,所以 A′D ⊥ AD′ , 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. ··········································································· 4 分 (Ⅱ) 证明:因为 EF = (0, 1, ,所以 EF ∥ PQ, = PQ ,又 PF ⊥ PQ ,所以 PQEF ? 0) EF 为矩形,同理 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得 PH = 所以 PH + PF =

uuuu uuu r r
uuuu uuu r r

uuuu uuu r r

uuuu r

uuuu uuur r

uuuu r

uuuu uuuu r r

uuuu r

uuuu r

uuu r

uuu r

uuu uuuu r r

uuuu r

uuu r

uuu r

uuuur

uuuu r 2(1 ? b) , PF = 2b ,

uuuur uuuu r

uuuu r 2 ,又 PQ = 1 ,

所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值. ················································· 8 分

1, AD 0, (Ⅲ)解:由已知得 D′E 与 AD′ 成 45 角,又 D′E = (1 ? b, ? 1), ′ = ( ?1,1) 可得
o

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu uuuu r r D′E AD′ uuuuu uuuuu = r r D′E AD′


b?2 2 (1 ? b) + 2
2

=

2 , 2

2?b (1 ? b) + 2
2

= 1 ,解得 b =
? ? uuuu r

1 . 2

所以 D′E = ? , ? 1? ,又 A′D = ( ?1, ? 1) ,所以 D′E 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 0, 1,

uuuu r

?1 ?2

1 ? +1 uuuu uuuu r r 2 | cos < D′E,′D >|= 2 A = . ················································································ 12 分 3 6 × 2 2
20.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3), (0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C , 直线 y = kx + 1 与 C 交于 A, B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA ⊥ OB ,求 k 的值;

uuu r

uuu r

⑶若点 A 在第一象限,证明:当 k > 0 时,恒有 OA > OB . 说明: 本小题主要考查平面向量, 椭圆的定义、 标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点,长半 ? (0 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b =
2

uuu r

uuu r

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 故曲线 C 的方程为 x + = 1 . ·························································································· 3 分 4
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 = 1, ?x + 4 ? ? y = kx + 1. ?
消去 y 并整理得 ( k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?

若 OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 . 而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,
2

uuu r

uuu r

2k 3 ,x1 x2 = ? 2 .·············································································· 5 分 k +4 k +4
2

于是 x1 x2 + y1 y2 = ?
2

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 +1 = 0 , k2 + 4 k + 4 k + 4
1 . ··················································································· 8 分 2
2 2

化简得 ?4k + 1 = 0 ,所以 k = ±

(Ⅲ) OA ? OB = x1 + y1 ? ( x2 + y2 )
2 2 2 2 = ( x12 ? x2 ) + 4(1 ? x12 ? 1 + x2 )

uuuu 2 r

uuuu 2 r

= ?3( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) = 6k ( x1 ? x2 ) . k2 + 4 3 知 x2 < 0 ,从而 x1 ? x2 > 0 .又 k > 0 , k +4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 > 0 .由 x1 x2 = ? 故 OA ? OB > 0 ,

uuuu 2 r

uuuu 2 r

即在题设条件下,恒有 OA > OB . ················································································· 12 分

uuuu r

uuuu r

21.在数列 {an } , {bn } 中, a1 = 2, b1 = 4 ,且 an , bn , an +1 成等差数列, bn , an +1 , bn +1 成等比数列. ⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {an } , {bn } 的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:

1 1 1 5 + +L + < . a1 + b1 a2 + b2 an + bn 12

说明:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运 用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分 12 分. 解析: (Ⅰ)由条件得 2bn = an + an +1,an +1 = bn bn +1
2

由此可得

a2 = 6,b2 = 9,a3 = 12,b3 = 16,a4 = 20,b4 = 25 . ···················································· 2 分
猜测 an = n(n + 1),bn = ( n + 1) . ······················································································· 4 分
2

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak = k (k + 1),bk = (k + 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,

ak2+ 2 ak +1 = 2bk ? ak = 2(k + 1) ? k (k + 1) = (k + 1)(k + 2),bk +1 = = (k + 2) 2 . bk
2

所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an = n( n + 1),bn ( n + 1) 对一切正整数都成立. ·········································· 7 分
2

(Ⅱ)

1 1 5 = < . a1 + b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an + bn = ( n + 1)(2n + 1) > 2( n + 1) n . ·············································· 9 分 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? + +…+ < + ? + +…+ ? a1 + b1 a2 + b2 an + bn 6 2 ? 2 × 3 3 × 4 n(n + 1) ? 1 1?1 1 1 1 1 1 ? + ? ? + ? +…+ ? ? 6 2?2 3 3 4 n n +1? 1 1?1 1 ? 1 1 5 + ? ? ?< + = 6 2 ? 2 n + 1 ? 6 4 12

=

=

综上,原不等式成立. ······································································································· 12 分 22.设函数 f ( x ) =

ln x ? ln x + ln( x + 1) . 1+ x

⑴求 f ( x ) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x ) …a 的解集为 (0, +∞ ) ?若存在,求 a 的取值范 围;若不存在,试说明理由. 说明:本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学 知识分析问题、解决问题的能力.满分 14 分. 解析: (Ⅰ) f ′( x) =

1 ln x 1 1 ln x ? ? + =? . ···································· 2 分 2 x(1 + x) (1 + x) x x +1 (1 + x) 2

故当 x ∈ (0, 时, f ′( x) > 0 , 1)

x ∈ (1, ∞) 时, f ′( x) < 0 . +
所以 f ( x) 在 (0, 单调递增,在 (1 + ∞) 单调递减.··························································· 4 分 1) , 由此知 f ( x) 在 (0, ∞) 的极大值为 f (1) = ln 2 ,没有极小值. ········································ 6 分 + (Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时, 由于 f ( x ) =

(1 + x) ln(1 + x) ? x ln x ln(1 + x) + x [ ln(1 + x) ? ln x ] = > 0, 1+ x 1+ x

故关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a 的解集为 (0, ∞) . ····························································· 10 分 + (ⅱ)当 a > 0 时,由 f ( x ) = 正整数,且有

ln 2n 1 ln x ? 1? ? + ln ?1 + n + ln ?1 + ? 知 f (2n ) = n 1+ 2 1+ x ? x? ? 2

? ? ,其中 n 为 ?

1 ? ln ?1 + n ? 2

n n 1 ? a < ? n < e 2 ? 1 ? n > ? log 2 (e 2 ? 1) . ··················································· 12 分 ? 2 ? 2

又 n ≥ 2 时,

ln 2 n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 = < = . n n n(n ? 1) n ? 1 1 + 2 1 + (1 + 1) 2



2 ln 2 a 4 ln 2 < ?n> + 1. n ?1 2 n
n

取整数 n0 满足 n0 > ? log 2 (e 2 ? 1) , n0 >

4 ln 2 + 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

则 f (2 0 ) =
n

n0 ln 2 1 ? + ln ?1 + n0 n0 1+ 2 ? 2

? a a ?< + =a, ? 2 2

即当 a > 0 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a 的解集不是 (0, ∞) . + 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a 的解集为 (0, ∞) ,且 a 的取 +

0 值范围为 ( ?∞,] . ············································································································· 14 分


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