福建省泉州七中-度高二数学下学期期中考试试卷(文)

2008-2009 年度高二年第二学期期中考试文科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分;共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X ) C. x ? 2或y ? 3 ) D. x ? 2或y ? 3 )

D. ?0? ? X

2.若命题 p : x ? 2且y ? 3, ,则┐p( A. x ? 2或y ? 3 B. x ? 2且y ? 3 3.对于线性相关系数 r ,叙述正确的是(

A. r ? (0, ??) , r 越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱; B. r ? ? ??, ??? , r 越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱; C. r ? 1 且 r 越接近于 1,相关程度越强; r 越接近于 0,相关程度越弱; D.以上说法都不对 4.函数 f ( x) ? A. (? ,?? )

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是(
B. ( ? ,1)

) D. ( ?? ,? ) )

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

1 3

5.设复数 z1 ? 8 ? ai, z2 ? 8 ? 2i ,若 z1 ? z2 , 则实数 a 等于( A.-2 B. 2 C.2i D.-2i )

6.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? ? x 2 ? 4 B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

D. y ? x

7.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵 轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 ( d d0 O A. t0 t B. ) d d0 O t0 t d d0 O C. t0 t d d0 O D. t0 t

8. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? ax在区间 (0,??) 上是增函数”的( A.充分而不必要条 B.必要而不充分条件



C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.有下列三个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;其中真命题为( A.①② B.②③ C.①③ D.③ 10.已知函数 f(x)满足:f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,则 f 2 (1) ? f (2) + f 2 (2) ? f (4) + f 2 (3) ? f (6) + f 2 (4) ? f (8) + f 2 (5) ? f (10) 的值为( f (9) f (1) f (3) f (5) f ( 7) A.15 11.已知 f ( x ? 1) ? B.75 C.30 D.60 ) )



2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 ( f ( x) ? 2
B. f ( x ) ?

A. f ( x ) ?

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x ) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ?1

12.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : 1 ①“若 a、b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“ a、c ? C, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” , ②“若 a、b、c、d ? R,则复数a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出 “ a、b、c、d ? Q,则a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ” 3 , 5

? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ” ③ “若 a、b、 类比推出 “若 a、b ? c, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” ④
“ 若 x ? R,则 | x |? 1 ? ?1 ? x ? 1 ” 类 比 推 出 “ 若

z ? C,则 | z |? 1 ? ?1 ? z ? 1”
其中类比结论正确 的个数有( .... A.1 B.2 ) C.3 D.4

开始 输入 p

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

n ? 0, S ? 0

(A 13.设集合 A ? ?1,2? , B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4? 则

B) C ?

n? p




14.某饮食店的日销售收入 y (单位:百元)与当天平均气

n ? n ?1

输出 S 结束

S?S?

1 2n

温 x (单位:℃)之间有下列数据: x -2 -1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙二位同学对上述数据进行研究,分别得到了 x 与 y 之间的二个线性回归方程:

? ? ? x ? 2.8 ? ? ?x ? 3 ①y ②y 其中正确的是 (仅填序号) . 15.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?
16. 已知命题 p :不等式 x ?1 ? x ? 2 ? m 的有解; 命题 q:“函数 f ( x) ?



4 3 x ? 2mx 2 ? (4m ? 3) x ? m 在(-∞,+∞) 3

上单调递增”,

若 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,则 m 的范围为 三、解答题(本大题共 6 小题;共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (满分 12 分)已知集合 A ? {x | (1)当 p=0 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B, 求实数p 的取值范围。

x?3 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2 px ? p 2 ? 1 ? 0}. x ?1

? 18.(满分 12 分)已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,求证:

1? x 1? y 与 中至少有一个小于 2. x y

19.(满分 12 分)已知 z , ? 为复数, (1 ? 3i) ? z 为纯虚数, ? ?

z ,且 | ? |? 5 2 。 2?i

20.(满分 12 分) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间 的关系用图(2)的抛物线表示.

(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天)

21、 (满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax3 ?bx ? c (a, b, c ? R) 的图象过原点,且 x =1 时 f ( x) 取

极小值-

2 。 3

(1)求 a,b,c 的值; (2)若 x1 , x 2 ? [?1,1], 求证 :| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?

(3)当 x ? [?1,1] 时,图象上是否存在两点,使过此两点处的切线互相垂直,试证明你的 结论。

4 。 3

22. (满分 14 分)已知抛物线 C : y ? ax2 ,点 P(1,-1)在抛物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条直线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且满足 k1+k2=0. (1)求抛物线 C 的焦点坐标; (2)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程.

2008-2009 年度高二年第二学期期中考试文科数学试卷答案
考试时间:120 分钟 满分 :150 分 命卷人:张丽英 2009 年 4 月 一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分;共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X A ) D )

D. ?0? ? X

2.若命题 p : x ? 2且y ? 3, ,则┐p(

A. x ? 2或y ? 3 B. x ? 2且y ? 3 3.对于线性相关系数 r ,叙述正确的是(

C. x ? 2或y ? 3 C)

D. x ? 2或y ? 3

A. r ? (0, ??) , r 越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱; B. r ? ? ??, ??? , r 越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱; C. r ? 1 且 r 越接近于 1,相关程度越强; r 越接近于 0,相关程度越弱; D.以上说法都不对 4.函数 f ( x) ? A. (? ,?? )

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是( B )
B. ( ? ,1)

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. ( ?? ,? ) )

1 3

5.设复数 z1 ? 8 ? ai, z2 ? 8 ? 2i ,若 z1 ? z2 , 则实数 a 等于(A (A)-2 (B) 2 (C)2i (D) -2i

6.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( D ) A. y ? ? x 2 ? 4 B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

D. y ? x

7.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵 轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 d d0 O A. ( B )
2 8. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax在区间 (0,??) 上是增函数”的(A

d d0 t0 t B. O t0 t

d d0 O C. t0 t

d d0 O D. t0 t



A.充分而不必要条 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;其中真命题为( C )
2

A.①② B.②③ C.①③ D.③ 10.已知函数 f(x)满足:f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,则 f 2 (1) ? f (2) + f 2 (2) ? f (4) + f 2 (3) ? f (6) + f 2 (4) ? f (8) + f 2 (5) ? f (10) 的值为( C ) f (9) f (1) f (3) f (5) f ( 7) A.15 B.75 C.30 D.60 11.已知 f ( x ? 1) ?

2 f ( x) ,猜想 f ( x) 的表达式为 ( B ) , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2
B. f ( x ) ?

A. f ( x ) ?

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x ) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ?1

12.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : 1 ①“若 a、b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“ a、c ? C, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” , ②“若 a、b、c、d ? R,则复数a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出 “ a、b、c、d ? Q,则a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ” 3 , 5

? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a、b ? c, 则a ? b.0 ? a ? b ” ③“若 a、b、
④“若 x ? R,则 | x |? 1 ? ?1 ? x ? 1 ”类比推出“若 z ? C,则 | z |? 1 ? ?1 ? z ? 1” 其中类比结论正确 的个数有( B ) .... A.1 B.2

C.3

D.4 开始 2 , 输入 p

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . 设 集 合 。

A ? ?1 ? , 2B? ?,

?

1? C , ?2 ? , 则 3

,

3 ,

4

(A B) C ?

2, 3, 4? ?1,

A B ? ?1 , 2?

n ? 0, S ? 0

14.某饮食店的日销售收入 y (单位:百元)与当天平均气 温 x (单位:℃)之间有下列数据: x -2 -1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙二位同学对上述数据进行研究,分别得到了 x 与 y 之间的二个线性回归方程:

n? p




n ? n ?1

输出 S 结束

? ? ? x ? 2.8 ? ? ?x ? 3 ①y ②y 其中正确的是 (仅填序号) .① 15.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

S?S?


1 2n

16. 已知命题 p :不等式 x ?1 ? x ? 2 ? m 的有解; 命题 q:“函数 f ( x) ?

4 3 x ? 2mx 2 ? (4m ? 3) x ? m 在(-∞,+∞)上单调递增”, 3

若 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,则 m 的范围为 三、解答题(本大题共 6 小题;共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (满分 12 分)已知集合 A ? {x | (1)当 p=0 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B, 求实数p 的取值范围。

x?3 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2 px ? p 2 ? 1 ? 0}. x ?1

17.解: (1)

A ? {x | ?1 ? x ? 3},........................2分 B ? {x | x ? ?1或x ? 1}....................4分

? A ? B ? {x | 1 ? x ? 3} …………6 分
(2)由 x ? 2 px ? p ? 1 ? 0解得x ? p ? 1或x ? p ? 1
2 2

所以B ? {x | x 2 ? 2 px ? p 2 ? 1 ? 0} ? {x | x ? p ? 1或x ? p ? 1}????8分 又A ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} ? A ? B ? B,? A ? B,? p ? 1 ? ?1或p ? 1 ? 3????11分 即P ? ?2或p ? 4????12分
18.(满分 12 分)已知 x, y ? R ? ,且 x ? y ? 2 ,求证:

1? x 1? y 与 中至少有一个小于 2. x y

?1 ? x …2 ? 1? x 1? y ? y 18.解:用反证法.假设 与 都大于或等于 2,即 ? , ----------4 分 2 y ?1 ? y …2 ? ? x

?1 ? x …2 y , x, y ? R? ,故可化为 ? ?1 ? y …2 x
两式相加,得 x ? y ? 2 , ----------------------------------------10 分 --------------------12 分 与已知 x ? y ? 2 矛盾.所以假设不成立,即原命题成立. 19.已知 z , ? 为复数, (1 ? 3i) ? z 为纯虚数, ? ? 求复数 ?

z ,且 | ? |? 5 2 。 2?i

19.解:设 z ? x ? yi,( x, y ? R) , 所以 x ? 3 y ? 0 , 因为 | ? |?|

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

则 (1 ? 3i) ? z = (1 ? 3i) ? ( x ? yi) = ( x ? 3 y) ? (3x ? y)i 为纯虚数,┄┄┄┄3 分

z x ? yi z |? ? ?5 2 , 2?i 2?i 5

2 2 所以 x ? y ? 5 10 ;又 x ? 3 y ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

解得 x ? 15, y ? 5; x ? ?15, y ? ?5

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

所以 z ? 15 ? 5i 或 z ? ?15 ? 5i ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 15 ? 5i (15 ? 5i) ? (2 ? i) 所以 ? ? ? ?? ? ?(7 ? i) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 2?i (2 ? i) ? (2 ? i) 20.(本小题满分 12 分) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红 柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间 的关系用图(2)的抛物线表示.

(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天) 20.解: (1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

?300 ? t ,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300.……………………….4 分 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,

? 1 2 1 175 ? t ? t? ,0 ? t ? 200, ? ? 200 2 2 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300. ? 2 2 ? 200
…………………………………………………………………………..6 分 当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-350)2+100, 200

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5…………10 分 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即 从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大……………………12 分 21、 (满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax3 ?bx ? c (a, b, c ? R) 的图象过原点,且 x =1 时 f ( x) 取

极小值-

2 。 3 4 。 3

(1)求 a,b,c 的值; (2)若 x1 , x 2 ? [?1,1], 求证 :| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?

(3)当 x ? [?1,1] 时,图象上是否存在两点,使过此两点处的切线互相垂直,试证明你的 结论。 20、解: (1)由函数f ( x)图象过原点可知c ? 0, f ( x) ? ax3 ? bx

2 x ? 1时f ( x)取极小值 ? , 3 1 ? f '(1) ? 0 ? ?3a ? b ? 0 ?a ? 1 3 ? ?? ?? 3 ? f ( x) ? x ? x ? ? ? 4 ' 2?? 3 f (1) ? ? ?a ? c ? 0 ? ? 3 ? ?b ? ?1 又

f '( x) ? x 2 ? 1,? x ? [?1,1]时f '( x) ? 0,? f ( x)在[?11]上单调递减, 2 2 从而f ( x) max ? , f ( x) min ? ? , 3 3 4 当x1 , x2 ? [?1,1], 有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x) max ? f ( x) min ) ? ? ? ? ?8' 3 (2)

1 3 x ? x, ? f '( x) ? x 2 ? 1, 3 则两切线斜率可设为k1 ? m 2 ? 1, k2 ? n 2 ? 1, m, n ? [?1,1], 两切线要互相 (3) f ( x) ? 垂直必须满足k1k2 ? ?1 m, n ? [?1,1],? (m 2 ? 1)(n 2 ? 1) ? ?1是不可能的, 故当x ? [?1,1]时,

不存在两点, 使过此两点处的切线互相垂直. ? ? ? ? ? ? ? ?12'
22.已知抛物线 C : y ? ax2 ,点 P(1,-1)在抛物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条 直线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且满足 k1+k2=0. (I)求抛物线 C 的焦点坐标; (II)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程. 解: (I)将 P(1,-1)代入抛物线 C 的方程 y ? ax2 得 a=-1, ∴抛物线 C 的方程为 y ? ? x 2 ,即 x 2 ? ? y. 焦点坐标为 F(0,-

1 ).……………………………………4 分 4

(II)设直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 1) , 联立方程 ?

? y ? 1 ? k1 ( x ? 1), ? y ? ?x .
2

消去 y 得 x 2 ? k1 x ? k1 ? 1 ? 0,

则 1 ? x1 ? ?k1 ? 1,即x1 ? ?k1 ? 1. 由 ? ? k1 ? 4(?k1 ? 1) ? (k1 ? 2) ? 0, 得k1 ? ?2. ………………7 分
2 2

同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), 联立方程 ?

? y ? 1 ? k 2 ( x ? 1),
2 ?y ? ?x .

消去 y 得 x ? k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0,
2

则 1 ? x2 ? ?k 2 ? 1,即x2 ? ?k 2 ? 1.且k 2 ? ?2.

又? k1 ? k 2 ? 0,? k1 ? 2. …………………………9 分 设点 M 的坐标为(x,y) ,由 BM ? MA, 则x ?

x1 ? x 2 . 2

x?

? k1 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 2 ? (k1 ? k 2 ) ? . 2 2

又? k1 ? k 2 ? 0,? x ? ?1.…………………………………………11 分
2 y1 ? y 2 ? x12 ? x2 ? (k1 ? 1) 2 ? (?k 2 ? 1) 2 ? (?k1 ? 1) 2 ? (k1 ? 1) 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?(k1 ? 1) ? ?1,

y?

又k1 ? ?2,? y ? ?5.
∴所求 M 的轨迹方程为: x ? ?1( y ? ?1且y ? ?5).

2008-2009 学年上学期高二年期中考试文科数学试卷答案
1-6 DDCBAD 7-12 BACCBB 13. ?1,2,3,4? 14. ① 15.

15 16

16. m ??1,2? ? ?3, ???

17.解: (1)

A ? {x | ?1 ? x ? 3},........................2分 B ? {x | x ? ?1或x ? 1}....................4分

? A ? B ? {x | 1 ? x ? 3} …………6 分

(2)由 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 1 ? 0解得x ? p ? 1或x ? p ? 1

所以B ? {x | x 2 ? 2 px ? p 2 ? 1 ? 0} ? {x | x ? p ? 1或x ? p ? 1}????8分 又A ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} ? A ? B ? B,? A ? B,? p ? 1 ? ?1或p ? 1 ? 3????11分 即P ? ?2或p ? 4????12分

?1 ? x …2 ? 1? x 1? y ? y 18.解:用反证法.假设 与 都大于或等于 2,即 ? , ----------4 分 2 y ?1 ? y …2 ? ? x

?1 ? x …2 y , x, y ? R? ,故可化为 ? ?1 ? y …2 x
两式相加,得 x ? y ? 2 , 19.解:设 z ? x ? yi,( x, y ? R) , 所以 x ? 3 y ? 0 , 因为 | ? |?| ----------------------------------------10 分 --------------------12 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 与已知 x ? y ? 2 矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.

则 (1 ? 3i) ? z = (1 ? 3i) ? ( x ? yi) = ( x ? 3 y) ? (3x ? y)i 为纯虚数,┄┄┄┄3 分

z x ? yi z |? ? ?5 2 , 2?i 2?i 5

2 2 所以 x ? y ? 5 10 ;又 x ? 3 y ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

解得 x ? 15, y ? 5; x ? ?15, y ? ?5

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

所以 z ? 15 ? 5i 或 z ? ?15 ? 5i ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 15 ? 5i (15 ? 5i) ? (2 ? i) 所以 ? ? ? ?? ? ?(7 ? i) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 2?i (2 ? i) ? (2 ? i) 20.解: (1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

?300 ? t ,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300.……………………….4 分 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,

? 1 2 1 175 ? t ? t? ,0 ? t ? 200, ? ? 200 2 2 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300. ? 2 2 ? 200
…………………………………………………………………………..6 分 当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-350)2+100, 200

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5…………10 分 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100, 此时 t=50,即从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大…………12 分

21、解: (1)由函数f ( x)图象过原点可知c ? 0, f ( x) ? ax3 ? bx

2 x ? 1时f ( x)取极小值 ? , 3 1 ? f '(1) ? 0 ? ?3a ? b ? 0 ?a ? 1 3 ? ?? ?? 3 ? f ( x) ? x ? x ? ? ? 4 ' 2?? 3 f (1) ? ? ?a ? c ? 0 ? ? 3 ? ?b ? ?1 又

f '( x) ? x 2 ? 1,? x ? [?1,1]时f '( x) ? 0,? f ( x)在[?11]上单调递减, 2 2 从而f ( x) max ? , f ( x) min ? ? , 3 3 4 当x1 , x2 ? [?1,1], 有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x) max ? f ( x) min ) ? ? ? ? ?8' 3 (2)
1 3 x ? x, ? f '( x) ? x 2 ? 1, 3 则两切线斜率可设为k1 ? m 2 ? 1, k2 ? n 2 ? 1, m, n ? [?1,1], 两切线要互相 (3) f ( x) ? 垂直必须满足k1k2 ? ?1 m, n ? [?1,1],? (m 2 ? 1)(n 2 ? 1) ? ?1是不可能的, 故当x ? [?1,1]时,

不存在两点, 使过此两点处的切线互相垂直. ? ? ? ? ? ? ? ?12'

22 解: (I)将 P(1,-1)代入抛物线 C 的方程 y ? ax2 得 a=-1, ∴抛物线 C 的方程为 y ? ? x 2 ,即 x 2 ? ? y. 焦点坐标为 F(0,-

1 ).……………………………………4 分 4

(II)设直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 1) , 联立方程 ?

? y ? 1 ? k1 ( x ? 1), ? y ? ?x .
2

消去 y 得 x 2 ? k1 x ? k1 ? 1 ? 0,

则 1 ? x1 ? ?k1 ? 1,即x1 ? ?k1 ? 1. 由 ? ? k12 ? 4(?k1 ? 1) ? (k1 ? 2) 2 ? 0, 得k1 ? ?2. ………………7 分 同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), 联立方程 ?

? y ? 1 ? k 2 ( x ? 1),
2 ?y ? ?x .

消去 y 得 x 2 ? k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0,

则 1 ? x2 ? ?k 2 ? 1,即x2 ? ?k 2 ? 1.且k 2 ? ?2. 又? k1 ? k 2 ? 0,? k1 ? 2. …………………………9 分 设点 M 的坐标为(x,y) ,由 BM ? MA, 则x ?

x1 ? x 2 . 2

x?

? k1 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 2 ? (k1 ? k 2 ) ? . 2 2

又? k1 ? k 2 ? 0,? x ? ?1.…………………………………………11 分
2 y1 ? y 2 ? x12 ? x2 ? (k1 ? 1) 2 ? (?k 2 ? 1) 2 ? (?k1 ? 1) 2 ? (k1 ? 1) 2 y? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?(k1 ? 1) ? ?1,

又k1 ? ?2,? y ? ?5.
∴所求 M 的轨迹方程为: x ? ?1( y ? ?1且y ? ?5). ……………………..14 分


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