高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大版选修45_图文

第一章 不等关系与基本不等式
§1 不等式的性质

1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质

学习目标 1.会用作差法比较实数或式子的大 小,判断不等关系. 2.理解并掌握不等式的基本性质, 并会判断命题结论的真假. 3.会运用不等式的基本性质证明简 单的不等式、求代数式的取值范围.

重点难点 1.重点是理解并掌握不 等式的基本性质. 2.难点是运用不等式 的基本性质比较大 小、证明不等式及求 代数式的取值范围.

一、阅读教材P1~P2“实数大小的比较”的有关内容,完 成下列问题: 1.数轴上点的位置与实数的大小关系 若用数轴上的A,B两点分别表示实数a,b,则当a>b时, 右边 ;当a=b时,点A与点B______________ 表示同一点 ; 点A在点B的_______ 左边 当a<b时,点A在点B的_________.

2.实数大小的比较 a-b>0 a>b?____________ ;
作差法

a-b<0 a<b?____________ ; a-b=0 a=b?____________
? ?a>1?__________ a>b ; b ? ?a a<b ; 当 a>0,b>0 时,?b<1?__________ ? ?a a=b =1?__________ ? ?b

作商法

a 1.若b>1,a>b 一定成立吗?为什么?
-2 提示:不一定,例如, >1,但-2>-1 不成立.当 b -1 a >0 时,b>1,才能使 a>b 成立.

二、阅读教材P2~P4“不等式的性质”的有关内容,完成
下列问题: 3.不等式的基本性质

(1)对称性
< a;如果b_______ < 如果a>b,那么b______ a,那么a>b.即 a>b?b<a. (2)传递性 > 如果a>b,b>c,那么a_______ c,即a>b,b>c?a>c.

(3)可加性 > ①如果a_______ b,那么a+c>b+c. > b+d. ②如果a>b,c>d,那么a+c_______ (4)可乘性 > ①如果 a > b , c > 0 ,那么 ac_______ bc ;如果 a > b , c < < 0,那么ac_______ bc. > bd. ②如果a>b>0,c>d>0,那么ac_______

(5)乘方

> bn(n 为正整数). 如果 a>b>0,那么 an_______
(6)开方 如果 a>b>0,那么 a> b(n∈N,n≥2).
n n

2.(1)“如果 a>b,且 c>d,那么 a-c>b-d”一定成立 吗? a b (2)“如果 a>b>0,c>d>0,那么c >d”一定成立吗? 提示:(1)不一定成立,如 5>2,-3>-10,而 5-(-3) <2-(-10). 5 2 (2)不一定成立,如 5>2>0,10>1>0,而10<1.

1 1 1 1 甲同学认为 a>b?a<b,乙同学认为 a>b>0?a<b,丙 1 1 同学认为当 ab>0 时,a>b?a<b.请你思考一下,谁的观点正 确?

1 1 解:丙.如果 a=2,b=-3,那么2>-3.所以甲同学的观

1 1 1 点错误.如果a=-2<b=1,那么 a=-2 不大于 b=1.因此, 乙同学的观点也是错的.同号的两个数,大的倒数小、小的倒 数大,因此,丙同学的观点正确.

比较大小
(1)已知 m>1,a= m+1- m,b= m- m-1, 则 a________b.(选填“>”“<”或“=”) (2)比较 1816 与 1618 的大小.
1 解析:a= m+1- m= , m+1+ m 1 b= m- m-1= , 因为 m>1, 所以 m+1+ m+ m-1 m>0, m+ m-1>0.又 m+1+ m- m- m-1>0,所 以 m+1- m< m- m-1,即 a<b. 答案:<

16 18 1816 1 916 1 16 16 18 (2)解:显然 18 >0,16 >0,1618=16 ×162=8 × 2 16 = . 8 2

9



16 ∈(0,1),∴ <1. 8 2 8 2

9

9

∴1816<1618.

【点评】比较大小的常用方法及步骤 (1)作差法:a≥b?a-b≥0,a≤b?a-b≤0. 一般步骤是作差变形判号定论. 变形是作差法的关键, 配方和因式分解是常用的变形手段. (2)作商法:当 a>0,b>0 时,把比较 a,b 的大小转化为 a 比较b与 1 的大小关系,此即为作商法. 理论依据是不等式的基本性质: a a 若 a>0,b>0,则b≥1?a≥b,b≤1?a≤b. 一般步骤为作商变形与 1 比较大小定论.

1.(1)若 a>b>c,则下列不等式成立的是( 1 1 A. > a-c b-c C.ac>bc 1 1 B. < a-c b-c D.ac<bc

)

解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0. 1 1 ∴ < . a-c b-c
答案:B

1 1 4 (2)已知 x,y 均为正数,设 m=x +y ,n= ,试比较 m x+y 和 n 的大小.
x+y 1 1 4 4 解:m-n=x +y - = xy - x+y x+y ?x+y?2-4xy ?x-y?2 = = , xy?x+y? xy?x+y? 因为 x,y 均为正数, 所以 x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0. 所以 m-n≥0,即 m≥n.

利用不等式的基本性质判断命题的真假
下列命题正确的是( (1)若 a>b,c>b,则 a>c; a (2)若 a>b,则 lgb>0; (3)若 a>b,c>d,则 ac>bd; 1 1 (4)若 a>b>0,则a<b; )

a b (5)若c >d,则 ad>bc; (6)若 a>b,c>d,则 a-d>b-c. A.(1)(2) C.(3)(6) B.(4)(6) D.(3)(4)(5)

解析:(1)错误.因为当取 a=4,b=2,c=6 时,有 a>b, c>b 成立,但 a>c 不成立. a (2)错误.因为 a,b 的符号不确定,所以无法确定b>1 a 是否成立.从而无法确定 lgb>0 是否成立.

(3)错误.此命题当 a,b,c,d 均为正数时才成立. 1 1 1 (4)正确.因为 a>b>0,所以 ab>0.两边同乘ab,得a<b. (5)错误.只有当 cd>0 时,结论才成立. (6)正确.因为 c>d,所以-d>-c. 又 a>b,所以 a-d>b-c. 综上,(4)(6)正确.
答案:B

【点评】

在利用不等式的基本性质判断命题结论的真假

时,关键是要搞清性质中的条件与所研究的结论的条件是否一 致,如果一致则为真,而不一致的,只需举一个反例即可否定 这个结论.

2.对于实数 a,b,c,判断下列命题的真假: (1)若 a>b,则 ac<bc: (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 a<b<0,则|a|>|b|; a b (5)若 c>a>b>0,则 > . c-a c-b

解:(1)由于 c 的符号未知,因而不能判断 ac,bc 的大小关 系,故该命题是假命题. (2)由 ac2>bc2,知 c≠0.而 c2>0,则 a>b.故该命题是真命 题.
? ? ?a<b, ?a<b, 2 (3)∵? ?a >ab,? ?ab>b2, ? ? ?a<0 ?b<0

∴a2>ab>b2.故该命题是真命题. (4)两个负实数,较小的离原点远,其绝对值反而大,故该 命题是真命题.

? ?-a<-b<0, (5)a>b>0?? ? ?c>a>b>0

?0<c-a<c-b 1 ? 1 ? > >0, ??c-a c-b ? ?a>b>0 a b ? > .故该命题是真命题. c-a c-b

利用不等式的基本性质证明不等式
若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: e e (1) > ; a-c b-d e e (2) > . ?a-c?2 ?b-d?2

证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.(*) 1 1 (1)由(*)式,知 < . a-c b-d e e ∵e<0,∴ > . a-c b-d

(2)由(*)式,知(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 ∴ > . ?b-d?2 ?a-c?2 ∵e<0, e e e e ∴ 2< 2,即 2> 2. ?b-d? ?a-c? ?a-c? ?b-d?

【点评】

利用不等式的基本性质证明简单的不等式的实

质就是根据基本性质把不等式进行变形(要注意不等式的基本性 质成立的条件),如果不能直接由不等式的基本性质得到结论, 可先分析需要证明的不等式的结构,再利用不等式的基本性质 进行转化.

3.(1)已知 a>b>0,d<c<0,用不等式的基本性质证明: a b c<d. (2)已知 y<x<0,0<a<b,求证:y2- a>x2- b.
证明:(1)因为 a>b>0, 所以 a> b>0. 因为 d<c<0, 1 所以 cd>0,cd>0. ①

1 1 1 1 所以 d· cd<c· cd<0,即c <d<0. 1 1 所以-c >-d>0. a b 由①②,得- c >- d >0. a b 所以 c < d . ②

(2)因为 y<x<0,所以-y>-x>0. 所以(-y)2>(-x)2>0,即 y2>x2. 因为 0<a<b,所以 0< a< b. 所以- a>- b. 由①②,得 y2- a>x2- b. ② ①

利用不等式的基本性质求范围
已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值

范围.
解:法一 设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b). ? 5 ? ?x=2, ?x+y=2, 所以? 解得? ? ?x-y=3. ?y=-1. 2 ?

因为-1<a+b<3 且 2<a-b<4, 5 5 15 1 所以-2<2(a+b)< 2 ,-2<-2(a-b)<-1. 9 5 1 13 所以-2<2(a+b)-2(a-b)< 2 , 9 13 即-2<2a+3b< 2 .

法二

? ?-1<a+b<3, 由? 确定的平面区域如图阴影部分 ? ?2<a-b<4

所示(不包括边界).

? ?a-b=4, 由? 得 ? a + b =- 1 , ? ? ?a-b=2, 由? 得 ? a + b = 3 , ?

3 5 A2,-2.

5 1 B2,2.

3 5 15 9 所以当 a=2,b=-2时,2a+3b=3- 2 =-2; 5 1 3 13 当 a=2,b=2时,2a+3b=5+2= 2 . 9 13 所以-2<2a+3b< 2 .

[互动探究] 本例条件不变,求2a-3b的取值范围.

解:设 2a-3b=x(a+b)+y(a-b). 1 ? ? ?x=-2, ?x+y=2, 所以? 解得? ? ?x-y=-3. ?y=5. ? 2

因为-1<a+b<3 且 2<a-b<4, 3 1 1 5 所以-2<-2(a+b)<2,5<2(a-b)<10. 7 1 5 21 所以2<-2(a+b)+2(a-b)< 2 , 7 21 即2<2a-3b< 2 .

【点评】本题易出现扩大 2a+3b 的取值范围的错解: 7 ?1 <a<2, ? ?-1<a+b<3, ?2 由? 得? ? ?2<a-b<4, ?-5<b<1. 2 ? 2 13 17 从而得出- 2 < 2a + 3b < 2 . 导致错误的原因是该解法中 多次运用同向不等式相加这一性质(单向性), 导致取值范围的扩 大.

4 .已知 60 < x < 84,28 < y < 33 ,则 x - y 的取值范围为 x ________,y的取值范围为________. 解析:∵28<y<33, 1 1 1 ∴-33<-y<-28,33<y <28.

∵60<x<84, 60 x 84 ∴27<x-y<56,33<y<28, 20 x 即11<y<3.

答案:(27,56)

20 11,3

1 .不等式的基本性质是解不等式和证明不等式的依据, 主要涉及以下两个问题:

(1)理解不等式的基本性质的条件和结论,注意条件的加强
或减弱与结论的关系. (2)正确运用不等式的基本性质,注意结论成立的条件.

2 .比较实数大小,常用作差法或作商法.作差法中差式 最后的形式可以有多种,如常数、平方数(式)、因式相乘 等.这些结果形式在某些条件下是非常容易判断差式符号的, 但在作差变形中,也存在一定的变化技巧,如平方相减、配方 等.

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