贵阳市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

贵阳市第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题 一、选择题
1. 已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是( )

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

A.

B.

C.

D.

2. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A. =1
2

) C. =2
2

B. =1

2

D.2=2 )

3. 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示,这种框图通常称为( A.程序流程图 A.¬p B.¬p∨q B.工序流程图 C.p∧q D.p∨q C.知识结构图 D.组织结构图

4. 已知命题 p:2≤2,命题 q:? x0∈R,使得 x02+2x0+2=0,则下列命题是真命题的是(



x2 y 2 ? ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, a 2 b2 3 ?1 若 ?PF1 F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为( ) 2 A. 2 B. 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 1
5. F1 , F2 分别为双曲线 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 6. 已知双曲线 A. B. ﹣ C. =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为( D. ) D. )

7. 已知 a>b>0,那么下列不等式成立的是( A.﹣a>﹣b B.a+c<b+c

C.(﹣a)2>(﹣b)2 )

8. 下列哪组中的两个函数是相等函数( A. f ? x ? = x ,g ? x ? ?
4 4

? x?
4

4

x2 ? 4 , g ? x? ? x ? 2 B. f ? x ? = x?2

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C. f ? x ? ? 1, g ? x ? ? ?

?1, x ? 0 ?1, x ? 0

D. f ? x ? =x,g ? x ? ?

3

x3

9. 利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是( A.①② A.M∪N B.① B.M∩NC.? IM∪? IN D.? IM∩? IN ) C.③④ ) D.①②③④ )

10.已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6},则集合{2,7,8}是( 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.8+2

B.8+8

C.12+4

D.16+4 )

12.四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是(

A. AC ? BD C. AC PQMN

B. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45

二、填空题
13.如图所示是 y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题: ①f(x)在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中真命题为 (填写所有真命题的序号).

14.设 p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)上单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的 15.设 A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},A∩B=B,则 a 的取值范围是 16.已知 a= ( .

条件.

cosx﹣sinx)dx,则二项式(x2﹣ )6 展开式中的常数项是



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17 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 R , 直 线 x ? 1 和 x ? 2 是 曲 线 y ? f ( x ) 的 对 称 轴 , 且 f ( 0 ) ? 1 , 则

f ( 4 ) ? f (10) ?

. ( 为自然对数的底数),若 ,则实数 的取值范围为______.

18 . 【 徐 州 市 2018 届 高 三 上 学 期 期 中 】 已 知 函 数

三、解答题
19. (1)求证: (2) ,若 . .

20.已知 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)若 x∈[1,3]时,f(x)>1﹣4c2 恒成立,求实数 c 的取值范围.

21.某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为 4800 立方米,深度为 3 米.池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元.设池底长方形长为 x 米. (Ⅰ)求底面积并用含 x 的表达式表示池壁面积; (Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?

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22.已知双曲线 C:

与点 P(1,2).

(1)求过点 P(1,2)且与曲线 C 只有一个交点的直线方程; (2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P,若存在,求出弦 AB 所在的直线方程,若不存在,请说明 理由.

23.(1)直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R).若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (2)已知 A(﹣2,4),B(4,0),且 AB 是圆 C 的直径,求圆 C 的标准方程.

24.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ksin B=sin A+sin C(k 为 正常数),a=4c. 5 (1)当 k= 时,求 cos B; 4 (2)若△ABC 面积为 3,B=60°,求 k 的值.

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贵阳市第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 2. 【答案】D 【解析】解:由题意知圆半径 r= ∴圆的方程为 =2. 故选:D. 【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题. 3. 【答案】D 【解析】解:用来描述系统结构的图示是结构图, 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示. 故选 D. 【点评】本题考查结构图和流程图的概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4. 【答案】D 【解析】解:命题 p:2≤2 是真命题,
2 方程 x +2x+2=0 无实根, 2 故命题 q:?x0∈R,使得 x0 +2x0+2=0 是假命题, 2 x



故命题¬p,¬p∨q,p∧q 是假命题, 命题 p∨q 是真命题, 故选:D 5. 【答案】D
2 2 2 2 【 解 析 】 ∵ PF 1 ? PF2 , 即 ?PF 1 F2 为 直 角 三 角 形 , ∴ PF 1 ? PF 2 ?F 1F 2 ? 4c , 1 ? PF 2 ? 0 , ∴ PF

| PF1 ? PF2 |? 2a ,则 2PF1 ? PF2 ? PF12 ? PF22 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4(c2 ? a2 ) ,
(PF1 ? PF2 )2 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4PF1 ? PF2 ? 8c2 ? 4a2 .所以 ?PF1 F2 内切圆半径
r? PF1 ? PF2 ? F1 F2 3 ?1 ? 2c 2 ? a 2 ? c ,外接圆半径 R ? c .由题意,得 2c 2 ? a 2 ? c ? c ,整理,得 2 2

c ( ) 2 ? 4 ? 2 3 ,∴双曲线的离心率 e ? 3 ? 1 ,故选 D. a
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6. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 x±y=0.

2 2 根据圆(x﹣2) +y =1 的圆心(2,0)到切线的距离等于半径 1,

可得,1=

,∴

=



,可得 e= 故此双曲线的离心率为: 故选 D.

. .

【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 的值,是 解题的关键. 7. 【答案】C
2 2 【解析】解:∵a>b>0,∴﹣a<﹣b<0,∴(﹣a) >(﹣b) ,

故选 C. 【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,属于基础题. 8. 【答案】D111] 【解析】

考 点:相等函数的概念. 9. 【答案】A 【解析】

考 点:斜二测画法.
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10.【答案】D 【解析】解:∵全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6}, ∴M∪N={1,2,3,6,7,8}, M∩N={3}; ?IM∪?IN={1,2,4,5,6,7,8}; ?IM∩?IN={2,7,8}, 故选:D. 11.【答案】D 【解析】解:根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱,AA1=2,AB=2,高为 ,

根据三视图得出侧棱长度为 ∴该几何体的表面积为 2×(2× 故选:D

=2, +2×2+2×2)=16 ,

【点评】本题考查了空间几何体的三视图,运用求解表面积,关键是恢复几何体的直观图,属于中档题. 12.【答案】B 【解析】 试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN , QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD, QM // 平面 BDA , 所以 PQ // AC, QM // BD, 由 PQ ? QM 可得 AC ? BD ,所以 A 正确;由于 PQ // AC 可得 AC // 截面

PQMN , 所以 C 正确; 因为 PN ? PQ , 所以 AC ? BD , 由 BD // PN , 所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD PN AN MN DN 0 ? , ? 所成的角,且为 45 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN , PQ // AC ,所以 ,而 BD AD AC AD AN ? DN, PN ? MN,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键.

二、填空题

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13.【答案】 ① 【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增, ∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确, x=3 是 f(x)的极小值点,②④不正确; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确, 故答案为:①. 14.【答案】 必要不充分

x 【解析】解:由题意得 f′(x)=e + +4x+m, x 2 ∵f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增, x ∴f′(x)≥0,即 e + +4x+m≥0 在定义域内恒成立,

由于 +4x≥4,当且仅当 =4x,即 x= 时等号成立,
x 故对任意的 x∈(0,+∞),必有 e + +4x>5 x ∴m≥﹣e ﹣ ﹣4x 不能得出 m≥﹣5 x 但当 m≥﹣5 时,必有 e + +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立

∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件 故答案为:必要不充分 15.【答案】 a≤0 或 a≥3 . 【解析】解:∵A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},且 A∩B=B, ∴B?A, 则有 a+1≤1 或 a≥3, 解得:a≤0 或 a≥3, 故答案为:a≤0 或 a≥3. 16.【答案】 240 . 【解析】解:a= ( cosx﹣sinx)dx=( sinx+cosx) =﹣1﹣1=﹣2, ?2r?x12﹣3r, ?24=240,

2 6 2 6 则二项式(x ﹣ ) =(x + ) 展开始的通项公式为 Tr+1= 2 6

令 12﹣3r=0,求得 r=4,可得二项式(x ﹣ ) 展开式中的常数项是 故答案为:240.

【点评】本题主要考查求定积分,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.

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17.【答案】2 【解析】直线 x ? 1 和 x ? 2 是曲线 y ? f ( x ) 的对称轴, ∴ f (2 ? x) ? f ( x) , f (4 ? x) ? f ( x) , ∴ f (2 ? x) ? f (4 ? x) ,∴ y ? f ( x ) 的周期 T ? 2 . ∴ f ( 4) ? f (10) ? f ( 0) ? f ( 0) ? 2 . 18.【答案】 【解析】令 所以 即 点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 去掉“ ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 与 的形式,然后根据函数的单调性 的取值应在外层函数的定义域内 ,则 为奇函数且单调递增,因此

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵ ∴an+1=f(an)= 则 ∴{ , }是首项为 1,公差为 3 的等差数列; =3n﹣2, ,
n n﹣1 =2n﹣1, n﹣1 ,

, ,

(2)由(1)得, ∵{bn}的前 n 项和为

∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2

而 b1=S1=1,也满足上式,则 bn=2 ∴ = =(3n﹣2)2n﹣1,



=20+4?21+7?22+…+(3n﹣2)2n﹣1,①

1 2 3 n 则 2Tn=2 +4?2 +7?2 +…+(3n﹣2)2 ,②

①﹣②得:﹣Tn=1+3?21+3?22+3?23+…+3?2n﹣1﹣(3n﹣2)2n,
n ∴Tn=(3n﹣5)2 +5.

20.【答案】 【解析】解:(1)由题意:f′(x)=3x2+6ax+3b 直线 6x+2y+5=0 的斜率为﹣3;

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由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

所以由 f′(x)=3x2﹣6x>0 得心 x<0 或 x>2; 所以当 x∈(0,2)时,函数单调递减; 当 x∈(﹣∞,0),(2,+∞)时,函数单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)知,函数在 x∈(1,2)时单调递减,在 x∈(2,3)时单调递增; 所以函数在区间[1,3]有最小值 f(2)=c﹣4 要使 x∈[1,3],f(x)>1﹣4c2 恒成立 只需 1﹣4c2<c﹣4 恒成立,所以 c< 故 c 的取值范围是{c|c 或 c>1.

或 c>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函数在闭区间上的最 值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于中档题.

21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设水池的底面积为 S1,池壁面积为 S2, 则有 (平方米), 米,则

可知,池底长方形宽为 (Ⅱ)设总造价为 y,则 当且仅当

,即 x=40 时取等号,

所以 x=40 时,总造价最低为 297600 元. 答:x=40 时,总造价最低为 297600 元. 22.【答案】 【解析】解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.… 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y﹣2=k(x﹣1),代入 C 的方程,
2 2 2 2 * 并整理得(2﹣k )x +2(k ﹣2k)x﹣k +4k﹣6=0 ( ) 2 (ⅰ)当 2﹣k =0,即 k=± * 时,方程( )有一个根,l 与 C 有一个交点

所以 l 的方程为 (ⅱ)当 2﹣k ≠0,即 k≠±
2 2 2 2

… 时

2 △=[2(k ﹣2k)] ﹣4(2﹣k )(﹣k +4k﹣6)=16(3﹣2k),

①当△=0,即 3﹣2k=0,k= 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 所以 l 的方程为 3x﹣2y+1=0…

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综上知:l 的方程为 x=1 或
2 2 2 2 则 2x1 ﹣y1 =2,2x2 ﹣y2 =2,

或 3x﹣2y+1=0…

(2)假设以 P 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),

两式相减得 2(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2)… 又∵x1+x2=2,y1+y2=4, ∴2(x1﹣x2)=4(y1﹣y2) 即 kAB= = ,…

∴直线 AB 的方程为 y﹣2= (x﹣1),…
2 2 2 代入双曲线方程 2x ﹣y =2,可得,15y ﹣48y+34=0,

由于判别式为 48 ﹣4×15×34>0,则该直线 AB 存在.

2



【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题,考查直线方程问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.

23.【答案】 【解析】解:(1)当 a=﹣1 时,直线化为 y+3=0,不符合条件,应舍去; 当 a≠﹣1 时,分别令 x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0,a﹣2),( ∵直线 l 在两坐标轴上的截距相等, ∴a﹣2= ,解得 a=2 或 a=0; ,0).

(2)∵A(﹣2,4),B(4,0), ∴线段 AB 的中点 C 坐标为(1,2). 又∵|AB|= ∴所求圆的半径 r= |AB|= . ,

2 2 因此,以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程为(x﹣1) +(y﹣2) =13.

24.【答案】 5 5 【解析】解:(1)∵ sin B=sin A+sin C,由正弦定理得 b=a+c, 4 4 5 又 a=4c,∴ b=5c,即 b=4c, 4 a2+c2-b2 (4c)2+c2-(4c)2 1 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 8 2×4c·c

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(2)∵S△ABC= 3,B=60°. 1 ∴ acsin B= 3.即 ac=4. 2 又 a=4c,∴a=4,c=1. 1 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=42+12-2×4×1× =13. 2 ∴b= 13, ∵ksin B=sin A+sin C, a+c 5 5 13 由正弦定理得 k= = = , b 13 13 5 13 即 k 的值为 . 13

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