【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《变量间的相关关系》(知识梳理+典例讲解+习题)_图文

10.3 变量间的相关关系 考纲点击 1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认 识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程.

考点梳理 1.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另 一类是①__________;与函数关系不同,相关关系是一种② __________关系. (2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为③__________, 点分布在左上角 到右下角的区域内,两个变量的相关关系为④__________.

2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布在通过 散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有⑤ __________,这条直线叫⑥________.
n i=1 ^ ∑xiyi-nxy (2)回归直线方程为⑦__________,其中b= n ,a ∑xi2-n x 2 i=1 =⑧__________.

(3)通过求 Q=∑ (yi-bxi-a)2 的最小值而得出回归直线 i=1 的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小,这一方法叫做最小二乘法.

n

答案:①相关关系 ⑤线性相关关系

②非确定性 ③正相关 ④负相关 ^ ^ ^ ^ ⑥回归直线 ⑦y=bx+a ⑧ y -b x

考点自测 1.下列选项中,两个变量具有相关关系的是( ) A. 参加 60 年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕 式的人数 B.正方体的体积与棱长 C.人体内的脂肪含量与年龄 D.汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失

解析:B 中的两个变量是确定的函数关系,A、D 中的两 个变量不具有任何关系,C 中人体内的脂肪含量与年龄有相关 关系. 答案:C

2.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个 样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回 归直线(如图),以下结论正确的是( )

A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相 同

解析:由样本点的中心( x , y )落在回归直线上可知 A 正 确;x 和 y 的相关系数表示为 x 与 y 之间的线性相关程度,不 表示直线 l 的斜率,故 B 错;x 和 y 的相关系数应在-1 到 1 之间,故 C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对 平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故 D 错. 答案:A

^

3.设有一个回归直线方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一 个单位( ) A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加两个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少两个单位

^ ^ 解析:回归直线方程y=2-1.5x 可以看作y是 x 的一次函 数,且单调递减,又 x 的系数为-1.5,∴变量 x 增加一个单 位,y 平均减少 1.5 个单位. 答案:C

4. 在一次实验中, 测得(x, y)的四组值为(1,2), (2,3), (3,4), (4,5),则 y 与 x 之间的回归直线方程为( )
^ ^ ^ ^

A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1 D.y=x-1

^ ^ 解析:将(x,y)的四组值代入公式求得b、a即可,也可注 意到所给的四组值,发现 y 总比 x 大 1, ^ 故回归直线方程为y=x+1. 答案:A

5.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮 食支出 y(单位: 万元), 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有 ^ 线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: = y 0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万 元,年饮食支出平均增加________万元.

解析:由题意知其回归系数为 0.254,故家庭年收入每增 加 1 万元,年饮食支出平均增加 0.254 万元. 答案:0.254

疑点清源 1.相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同,函数关系中的两个变量间是一 种确定性关系.例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S=x2 就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是 非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额与广告 费是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.

2.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要解 决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系, 如果有就找出它们 之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值, 预测变量的取值及判断变量取值的变 化趋势; (3)求出回归直线方程.

题型探究 题型一 利用散点图判断两个变量的相关关系 例1 5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 A B C D E 学科 80 75 70 65 60 数学 70 66 68 64 62 物理 画出散点图,并判断它们是否有相关关系

解析:以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相 应的散点图如图所示:

由散点图可见,两者之间具有相关关系.

点评:判断变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行 的方法就是绘制散点图.

变式探究 1 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…, 10),得散点图(1);对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…, 10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

解析:本题考查相关关系的正相关和负相关.夹在带状区 域内的点,总体上呈上升趋势的属于正相关,总体呈下降趋势 的属于负相关. 由这两个散点图可以判断, 变量 x 与 y 负相关, u 与 v 正相关,选 C. 答案:C

题型二 求回归直线方程 例 2 某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位: 万元)之间有下表所对应的数据: 广告支出 x(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收入 y(单位:万元) 12 28 42 6 (1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的回归直线方程.

解析:(1)作出的散点图如图所示

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近, 列出下 表: y x2 xy 序号 x 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 ∑ 10 138 30 418

5 69 易得 x = , y = , 2 2 5 69 ∑xiyi-4xy 418-4×2× 2 73 ^ i=1 所以b= 4 = ? 5? = 5 , 2 2 ∑xi -4 x 30-4×?2?2 =1 i ? ? 69 73 5 ^ ^ a= y -b x = - × =-2. 2 5 2 ^ 73 故 y 对 x 的回归直线方程为y= 5 x-2.
4

点评:①只有散点图大致表现为线性相关时,求回归直线 方程才有意义;②求回归直线应给出线性回归系数公式,在求 解时为了计算更准确和有条理,不妨列出上表;③回归直线过 点( x , y ).

变式探究 2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的 几组对应数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出表中数据的散点图; (2)请根据表中提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的
^ ^ ^

回归方程y=bx+a.

解析:(1)由题设所给数据,可得散点图如下图,

(2)对照数据,计算得 ∑x2=32+42+52+62=86, i=1 i 3+4+5+6 x= =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 y= =3.5, 4
4 4

∑xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5. i=1 所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为

4

y i=1 ^ ∑xiyi-4 x · 66.5-4×4.5×3.5 b= 4 = =0.7, 2 86-4×4.5 ∑x2-4 x 2 i =1 i ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. ^ ^ ^ 回归方程为y=a+bx=0.7x+0.35. ^ 因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.

题型三 利用回归直线方程对总体进行估计 例 3 某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计 数据: 2002 2004 2006 2008 2010 年份 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y =bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需 求量.

解析:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直 线上升,下面来配回归直线方程.为此对数据预处理如下: 年份-2006 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2, ?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29 b= 42+22+22+42 260 = 40 =6.5, a= y -b x =3.2.

^ 由上述计算结果,知所求回归直线方程为y -257=b(x- 2006)+a=6.5(x-2006)+3.2, ^ 即y=6.5(x-2006)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6 . 5×(2012- 2006) + 260.2 = 6.5×6 + 260.2 = 299.2(万 吨).

变式探究 3 某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位: 万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大?

解析:(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示:
5 5 25 250 2 (2)计算得: x = =5, y = =50, ?xi =145, ?xiyi=1380. 5 5 i=1 i=1

?xiyi-5 x y
^ i 于是可得b=
=1

5

?x2-5 x 2 i
i=1

5

1380-5×5×50 = =6.5, 145-5×52 ^ ^ a= y -b x =50-6.5×5=17.5. ^ 因此,所求的回归直线方程是y=6.5x+17.5.

(3)由上面求得的回归直线方程可知, 当 x=10 万元时, ^ y=6.5×10+17.5=82.5(万元), 因此,当宣传费支出为 10 万元时,销售额大约为 82.5 万 元.

归纳总结 ?方法与技巧 ^ ^ ^ ^ 1.求回归方程,关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的 计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生 ^ ^ 错误.(注意回归直线方程中一次项系数为b,常数项为a,这 与一次函数的习惯表示不同.) 2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要 解决: (1)确定特定量之间是否有相关关系, 如果有就找出它们之 间贴近的数学表达式;(2)根据一组观察值,预测变量的取值及 判断变量取值的变化趋势;(3)求出回归直线方程.

?失误与防范 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才 有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义. 2.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真 实发生的值.

新题速递 1.(2013· 湖南卷)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i= ^ 1,2, …, 用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71, n), 则下列结论中不正确的是( ) ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg

^ 解析:因为当 x=170 cm 时,估计值y=58.79,所以其体 重估计为 58.79 公斤,所以选 D. 答案:D

2.(2013· 北京卷)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的 关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最 高,m 的值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11

Sn Sn-0 解析:年平均产量为 n = ,表示点(n,Sn)与原点连线 n-0 的斜率,由图可知(9,S9)与原点连线的斜率最大,故选 C. 答案:C

3. (2013· 新课标全国卷)在一组样本数据(x1,1), 2,2), y (x y …, (xn,yn)(n≥2,x1,x2,…xn 不全相等)的散点图中,若所有样本 1 点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数 据的样本相关系数为( ) A.-1 B.0 1 C.2 D.1

1 解析:因为点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=2x+1 上, 所以 r=1,所以选 D. 答案:D


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