高中数学:坐标系与参数方程


理科

知识框架

考试说明
1.坐标系 (1)理解坐标系的作用. (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况. (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极 坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行 极坐标和直角坐标的互化.

(4)能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆 心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义. 2.参数方程 (1)了解参数方程,了解参数的意义. (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程.掌握直线的参数方程及参数的几何意义.能用直线 的参数方程解决简单的相关问题.

命题趋势
从2010年全国高考看,这部分内容难度属中低档.考 查的重点:一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系;二 是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量.主要 考查对方程中各量几何意义的理解,知识面不太广,重在 考查基础知识.

使用建议
本单元内容是选修4—4坐标系与参数方程.共2讲, 第1讲坐标系,第2讲参数方程.这部分内容作为高考的选 考内容,在考试中所占的分值为7分,但在培养综合应用 基础知识的能力,扩大解题思路,灵活解题上作用很 大.特别是参数方程中体现的参数思想,常要渗透到高考 综合题的解题过程.为此,在复习中建议注意以下几点: 1.高度重视基础知识 以课本知识为主,不要刻意加大难度.本单元的重点 是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程.极坐标应重点

放在极坐标化为直角坐标,并熟练掌握直线、圆的极坐 标方程与曲线之间的对应关系.参数方程的重点是普通 方程与参数方程的互化 ,尤其是参数方程化为普通方 程. 2.注意参数思想的应用 参数思想在本单元的体现是简化运算,减少未知量 的个数,在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重 要的作用. 3.注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交 汇

由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇,又 与解析几何的轨迹方程的求解有关,因此必须加强参数 法的应用意识,体会参数法的特点,进一步体验参数法 解决实际问题的高效.希望备考时引起足够重视. 本单元共2讲,每讲1课时,45分钟单元能力训练卷1 课时,共约需3课时.

知识梳理
1. 伸缩变换:设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意
?x′=λ· x,(λ>0) ? φ:? ?y′=μ· y,(μ>0) 一点, 在变换 ?

的作用下,点 P(x,y)

对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换,简称伸缩变换. 2.极坐标系:在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极 点 O 引一条射线 Ox,叫做 极轴 ;再选定一个长度单位、一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这

极坐标系 。设 M 是平面内一点,极点 样就建立了一个 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径 ,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的 极坐标 ,记作 M(ρ,θ).一 般地,ρ≥0,θ 为任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化:把直角坐标系的原点作为 极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位.设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极 ?x=ρcosθ ? ? ? 坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:?y=ρsinθ ;又可得到

关系式: ρ2=x2+y2 标的互化公式. 4.半径为 a,圆心坐标为 C(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程 ρ=2acosθ . 为 5.柱坐标系与球坐标系:设空间中一点 M 的直角坐标为 (x,y,z),M 在 xOy 坐标面上的投影为 M0,点 M0 在 Oxy 坐 标面上的极坐标为(ρ, 则三个有序数 ρ、 z 构成的数组(ρ, θ), θ、 θ,z)称为空间中点 M 的柱坐标.在柱坐标中,限定 ρ≥0,0≤θ <2π,z 为任意实数.

y tanθ=x(x≠0) , ,这就是极坐标与直角坐

设空间中一点 P 的直角坐标为(x,y,z),记 P 与原点 O 的 距离|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ,P 在 Oxy 平面上 的射影为 Q, 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正 Ox 角为 θ,这样,点 P 的位置可用有序数组(r,φ,θ)表示,则(r, φ,θ)叫做点 P 的球坐标,在球坐标中,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.

要点探究
? 探究点1
例1

平面直角坐标系中图象的变换

通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换, 可 (x+1)2 (y-1)2 以把椭圆 + =1 变为中心在原点的单位圆, 求上 9 4 述平移变换与伸缩变换,以及这两种变换合成的变换.

【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中 心在原点的椭圆,再通过伸缩变换化为中心在原点的单位 圆.

?x′=x+1, ? 【解答】先通过平移变换? ?y′=y-1 ?

把椭圆

(x+1)2 (y-1)2 x′2 y′2 + =1 变为椭圆 + =1, 9 4 9 4 x′ ? ?x″= 3 , x′2 y′2 再通过伸缩变换 ? 把椭圆 + =1 变 9 4 y′ ?y″= ? 2 为单位圆 x″2+y″2=1.由上述两种变换合成的变换是 x+1 ? ?x″= 3 , ? ?y″=y-1. 2 ?

.

【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象 的变换的基本应用.意在通过曲线图象的变换, 来表示对应 的坐标伸缩变换.对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是 应该掌握的,但在本讲中只作了解.

变式题

已知圆 x2+y2=16 在点 P(2,2 3)处的切线

为 l,把 x2+y2=16 向 x 轴进行压缩,使图象上每一个点 1 的纵坐标缩短为原来的 ,得到曲线 C. 4 (1)求切线 l 的方程; (2)判断 l 与曲线 C 的位置关系.

【思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程.

2 3 3 【解答】(1)∵kOP= = 3,∴kl=- , 2 3 3 ∴l 的方程 y-2 3=- (x-2), 3 ?x′=x, ? (2)设 P′(x′, y′)是曲线 C 上的任意一点, ? 则 1 ?y′=4y, ? ?x=x′, ? 即? 代入 x2+y2=16, ?y=4y′, ? 即 x+ 3y-8=0.

得 x′2+16y′2=16. ∴曲线 C 的方程为 x2+16y2=16. 把直线 x+ 3y-8=0 与椭圆方程 x2+16y2=16 联立,消 去 x,得 19y2-16 3y+48=0. ∵Δ=(16 3)2-4× 48<0,∴直线 l 与曲线 C 相离. 19×
【点评】曲线的伸缩变换和平移变换在具体解题时往往要综
合使用,两个步骤的变换,变换的顺序不同,变换的大小是不一 样的,通过实例比较加以区别.

?

探究点2
例2

极坐标与直角坐标的互化
[2009· 盐城模拟] 若两条曲线的极坐标方程分
? π? ρ=2cos?θ+3 ?,它们相交于 ? ?

别为 ρ=1 与

A,B 两点,求线

段 AB 的长.

【思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐 标方程化为直角坐标方程.

【解答】由 ρ=1 得 x2+y2=1.
? π? 又∵ρ=2cos?θ+3 ?=cosθ- ? ?

3sinθ,

∴ρ2=ρcosθ- 3ρsinθ, ∴x2+y2-x+ 3y=0.
?x2+y2=1, ? 由? 2 2 ?x +y -x+ ?

3y=0,



? 1 A(1,0),B?- ,- ? 2

3? ?, 2?

∴AB=

? 1 ?2 ? ?1+ ? +?0+ 2? ? ?

3?2 ? = 3. 2?

【点评】 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个
条件才能使用:(1)原点和极点重合;(2)x轴正半轴与极轴重合; (3)两坐标系中长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中,更

要注意等价性,特别是两边同乘ρn时,方程增加了一个n重解ρ=
0,要判断它是否是方程的解,若不是要去掉该解.

?

探究点3

极坐标方程的求解

1 例 3 在△ABC 中,底边 BC=10,∠A= ∠B,以 B 2 点为极点,BC 为极轴,顶点 A 的轨迹的极坐标方程为 ________.

图 72-1

【答案】 ρ=10+20cosθ
【解析】 设顶点 A 的极坐标为(ρ,θ), 1 则∠B=θ,AB=ρ.∵∠A= ∠B, 2 θ 3θ ∴∠A= ,∠ACB=π- . 2 2 AB BC 在 △ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得 = ,即 sin∠ACB sinA 10 = θ, ? 3θ? sin?π- 2 ? sin2 ? ? ρ

3θ 10sin ? ? 2 2θ ∴ρ= =10?3-4sin 2?=10+20cosθ, θ ? ? sin 2 故顶点 A 的轨迹的极坐标方程为 ρ=10+20cosθ.
【点评】求曲线的极坐标方程,关键就是找出曲线上的点满

足的几何条件,将它们用极坐标表示,通过解三角形得到.当然,
直角坐标系中轨迹方程的求解方法,对极坐标方程的求解也适用, 如直译法、定义法、动点转移法等.

变式题 [2009· 连云港模拟] 已知圆 C 的参数方程 ?x= 3+2cosθ, ? 为? (θ 为参数),若 P 是圆 C 与 y 轴正半 ?y=2sinθ ? 轴的交点,以圆心 C 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,求过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程.

【 思 路 】 先 把 圆 C的 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程,然后在所建的极坐标系中构造三角形.

【解答】由题设知,圆 C 的直角坐标方程为(x- 3)2+y2 =4, π ∴圆心 C( 3,0),P(0,1),∴∠PCO= , 6 且 PC=2. 设 M(ρ,θ)是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点, 则在 Rt△PMC 中, MC=ρ,∠MCx=θ, π 5π ∴∠MCP=π- -θ= -θ. 6 6 ? 5π? 在△MCP 中,有 ρcos?θ- 6 ?=2, ? ? 即为所求切线的极坐标方程.
图72-2

【点评】本题中极坐标极点与直角坐标系的原点不重合,
不能用极坐标与直角坐标的互化公式求解,这是同学解题时易犯 的错误,

?

探究点4

简单的极坐标方程的应用

例 4 [2008· 广东卷] 已知曲线 C1, 2 的极坐标方程分 C 别为
? π? ρcosθ=3,ρ=4cosθ?ρ≥0,0≤θ<2 ?,则曲线 ? ?

C1 与 C2

交点的极坐标为________.

【思路】有两种解题思路,一是在极坐标系下联立方 程组求解,另一种方法是化为直角坐标方程求解.

【答案】

? ?2 ?

π? 3, ? 6?

【解析】

方法 1:解方程组

? π? ? ?ρ≥0,0≤θ< ?得? 2 ? ?θ=π ?

?ρ=2 3, ? 6

?ρcosθ=3, ? ? ?ρ=4cosθ ?

? ,即两曲线的交点为?2 ?

π? 3, ?. 6?

方法 2: 曲线 C1 的极坐标方程 ρcosθ=3 化为直角坐标 方程 x=3,曲线 C2 的极坐标方程
? π? ρ=4cosθ?ρ≥0,0≤θ<2?化 ? ?

为直角坐标方程(x-2)2+y2=4(y≥0), 则两曲线直角坐标方
? 程的交点为(3, 3),再化为极坐标即为?2 ? ? π? 线的交点为?2 3,6 ?. ? ?

π? 3, ?,故两曲 6?

【点评】本题有两种解法,一种是在极坐标系下,结合图形

求解;另一种是先化成直角坐标,然后在直角坐标系下求解.由极
坐标方程解决的问题,若不好处理,就直角坐标化;由直角坐标给 出的问题,若用极坐标方法处理较为简便,就极坐标化.

变式题

在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系.设椭圆的长轴长为 10,中 心为(3,0),一个焦点在直角坐标原点. (1)求椭圆的直角坐标方程,并化为极坐标方程; 640 (2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为 时,求 91 弦所在的直角坐标方程.

【思路】 (1)利用直角坐标与极坐标的互化公式;(2) 设极坐标求解.

【解答】 (1)由已知, 得到 a=5, c=3, b= a2-c2 故 =4, (x-3)2 y2 所以椭圆的直角坐标方程为 + =1. 25 16 (ρcosθ-3)2 由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入上式得到 25 (ρsinθ)2 + =1, 16 即 25ρ2=(16+3ρcosθ)2,即 5ρ=16+3ρcosθ, 16 所以椭圆的极坐标方程为 ρ= . 5-3cosθ

(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为 θ,弦的两端 点分别为 P1(ρ1,θ),P2(ρ2,θ+π),则有 16 16 640 ρ1= ,ρ2= ,由于 ρ1+ρ2= , 91 5-3cosθ 5+3cosθ 16 16 640 1 所以 + = ,解得 cosθ=± , 91 2 5-3cosθ 5+3cosθ π 2π ∴θ= 或 θ= . 3 3 所以所求直线的直角坐标方程为 y= 3x, y=- 3 或 x.

【点评】本题在处理过椭圆中心的弦长时,用极坐标方法
比直角坐标方法要简便的多.

?

探究点5

柱坐标和球坐标的应用
? π 5π? 的球坐标为?2,4, 4 ?,则点 ? ?

例 5 已知空间点 A

A

的空间直角坐标为________.

【答案】

(-1,-1, 2)

规律总结
1.极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条 件才能使用: (1)原点和极点重合; 轴正半轴与极轴重合; (2)x (3)两坐标系中长度单位相同. 极坐标和直角坐标的互化中, 更要注意等价性. 2.由曲线的极坐标方程判断曲线的类型 ,通常是将极 坐标方程化为直角坐标方程再去判断 而求曲线的极坐标方 . 程的常用方法是直接法、转化法和待定系数法.

知识梳理
1.参数方程与普通方程:一般地,在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数 t 的函数 ?x=f(t), ? ? ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组 ①所确 ?y=g(t), ? 定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程 ①就叫做这条曲线 的 参数方程 ,联系变数 x,y 的变数 t 叫做 参变数 , 简称 参数 .相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关 系的方程叫做 普通方程 .

2.经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 L 的参数方程为
?x=x0+tcosα ? ? ?y=y0+tsinα ?

(t 为参数);
?x=rcosθ ? ? ?y=rsinθ ?

圆 x2+y2=r2 的参数方程为

(θ 为参数);
?x=acosφ ? ? ?y=bsinφ ?

x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个参数方程 a b (φ 为参数),φ∈[0,2π);

x2 y2 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个参数方程为 a b
?x=asecφ ? ? ?y=btanφ ?

π 3π (φ 为参数),φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ ; 2 2 (t 为参数).

?x=2pt2 ? 2 抛物线 y =2px(p>0)的一个参数方程为? ?y=2pt ?

要点探究
? 探究点1 曲线的参数方程

例 1 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?x=t+3 ?x=2cosθ ? ? ? (参数 t∈R). C 的参数方程为? 圆 (参 ?y=3-t ?y=2sinθ+2 ? ? 数 θ∈[0,2π)),则圆 C 的圆心坐标为______,圆心到直线 l 的距离为________.

【思路】把参数方程化成普通方程,在直角坐标系下 求解圆心到直线l的距离.

【答案】 (0,2)

2 2

【解析】圆 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4, 故圆 C 的圆心坐标为(0,2). 直线 l 的参数方程为 x+y-6=0, |2-6| 则圆心到直线 l 的距离为 d= =2 2. 2

【点评】曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的 不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到 普通方程,有利于识别曲线的类型.在参数方程与普通 方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致.

变式题

一个半径是 8 的定圆 O 和一个半径为 2 的

动圆 C 相内切,当圆 C 沿圆 O 无滑动地滚动时,则圆 C 上定点 M(开始在点 A)的轨迹方程为________.

图 73-1

【思路】当小圆上的定点从A点滚动到M点时,小圆 ? AB 滚动的弧长 BM 等于所滚的大圆弧长 ? .
【答案】
?x=8cos3θ ? ? ?y=8sin3θ ?

(θ 为参数)

【解析】 小圆 C 滚动到如图 73-2 位置时, 小 圆 滚 动 的 弧 长 BM 等 于 所 滚 的 大 圆 弧 长 AB . 设 ∠AOB=θ,则 AB =8θ, BM 所对的圆心角∠BCM=φ,则 BM =2φ. 由 AB = BM ,得 8θ=2φ,∴φ=4θ.

设轨迹上任一点 M(x,y),在 Rt△COE 和 Rt△CMD 中,
? ?π ?? x=OE+MD=6cosθ+2sin ?π-4θ-?2-θ?? =6cosθ ? ? ??

+2cos3θ=8cos3θ.
? ?π ?? y=EC-CD=6sinθ-2cos?π-4θ-?2-θ??=6sinθ- ? ? ??

2sin3θ=8sin3θ. 所以 M

?x=8cos3θ, ? 的轨迹方程为? ?y=8sin3θ. ?

(θ 为参数).

【点评】本题实际上是求内摆线的参数方程.

?

探究点2

参数方程与普通方程的互化

例 2 [2008· 海南、宁夏卷] 已知曲线
?x=cosθ, ? C1:? ?y=sinθ ?

(θ 为参数),

2 ? ?x= 2 t- 2, 曲线 C2:? (t 为参数). ?y= 2t ? 2 (1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点 的个数;

(2)若把 C1, 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, C 分别得到曲线 C1′,C2′.写出 C1′,C2′的参数方程.C1′与 C2′公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明 你的理由.

【思路】 参数方程化为普通方程,利用普通方程讨 论曲线的位置关系.

【解答】(1)C1 是圆,C2 是直线. C1 的普通方程为 x2+y2=1,圆心 C1(0,0),半径 r=1. C2 的普通方程为 x-y+ 2=0. 因为圆心 C1 到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1, 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为 ?x=cosθ, ? C1′:? 1 ?y=2sinθ ? (θ 为参数);

2 ? ?x= 2 t- 2, C2′:? (t 为参数). ?y= 2t ? 4 1 2 2 2 化为普通方程为:C1′:x +4y =1,C2′:y= x+ , 2 2 联立消元得 2x2+2 2x+1=0, 其判别式 Δ =(2 2)2-4× 1=0, 2× 所以压缩后的直线 C2′与椭圆 C1′仍然只有一个公共点, 和 C1 与 C2 公共点个数相同.

│要点探究

【点评】曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不 同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通 方程,有利于识别曲线的类型. 由于参数方程中的参数多 数都用角表示,消参的过程就要用到三角函数的有关变形 公式,故参数方程与三角函数关系紧密,必须熟练掌握三 角变形公式.

变式题 与圆

[2009· 福建卷] 已知直线 L:3x+4y-12=0 (θ 为参数).试判断他们的公

?x=-1+2cosθ, ? C:? ?y=2+2sinθ ?

共点个数.

【解答】 圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4.其圆 心为 C(-1,2),半径为 2. |3× (-1)+4× 2-12| 7 由于圆心到直线的距离 d= = 2 2 5 3 +4 <2,故直线 L 与圆 C 的交点个数为 2.
【点评】化成普通方程后才能较好地判断交点个数.

?

探究点3
例3

直线的参数方程

[2009· 无锡模拟] 过点 P(-3,0)且倾斜角为 30° 1 ? ?x=t+ t , 的直线和曲线? (t 为参数)相交于 A、B 两点.求 1 ?y=t- t ? 线段 AB 的长.

【思路】利用直线参数方程的标准形式的参数的几何 意义求解.

【解答】 参数)

3 ? ?x=-3+ 2 s, 直线的参数方程为? ?y=1s, ? 2

(s 为

1 ? ?x=t+ t , 曲线? ?y=t-1 t ?

(t 为参数)可以化为 x2-y2=4.

将直线的参数方程代入上式,得 s2-6 3s+10=0. 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2,

∴s1+s2=6 3,s1s2=10.
? s1-s2?= (s1+s2)2-4s1s2=2 17. AB= ? ? ? ?

【点评】直线参数方程的标准形式下的参数t具有明显的 几何意义,即参数|t|对应点M到点M0的距离.下面设计的变式 训练进一步体现直线方程的运用.

变式题 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴和 y 轴的 正半轴分别交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值为最小时直线 l 的方程.
【思路】可设直线的倾斜角为α,利用直线的参数方程求
解,进而转化为三角函数的问题来解.

【解答】 设直线 l 的倾斜角为 α,由题知
?x=3+t· cosα ? 则它的参数方程为? ?y=2+t· sinα ?

?π ? α∈?2,π?, ? ?

(t 为参数),

由 A,B 是坐标轴上的点, ∴yA=0,xB=0. 2 ∴0=2+t· sinα 即|PA|=|t|= , sinα 3 0=3+t· cosα 即|PB|=|t|=- , cosα 3 ? 2 ? 12 ?- ?=- ∴|PA|· |PB|= · . sinα ? cosα? sin2α

π ∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 3π ∴2α= 时,|PA|· |PB|有最小值 12. 2 3π 此时 α= . 4 2 ? ?x=3- 2 t ∴直线 l 的参数方程为? (t 为参数),化为 ?y=2+ 2t ? 2 普通方程即 x+y-5=0.

【点评】经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 L 的参
?x=x0+tcosα ? 数方程为? ?y=y0+tsinα ?

,(t 为参数),其参数 t 的几何意

?????? 义是: |t|表示参数 t 对应的点 M 到点 M0 的距离. M 0 M 与 当 ?????? e 同向时,t 取正数;当 M 0 M 与 e 反向时,t 取负数(直

线 L 的方向向量是 e=(cosα,sinα)).利用参数 t 的几何意 义可求直线与曲线的交点的距离问题,可简化运算量.

?

探究点4
例4

圆锥曲线的参数方程及其应用

[2008· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中, P(x, 点

x2 2 y)是椭圆 +y =1 上的一个动点,求 S=x+y 的最大值. 3

【思路】利用椭圆的参数方程,转化为求三角函数的 最值.

x2 2 【解答】 因椭圆 +y =1 的参数方程为 3 ?x= 3cosφ, ? ? (φ 为参数), ?y=sinφ ? 故可设动点 P 的坐标为( 3cosφ,sinφ), 其中 0≤φ<2π. 因此 S=x+y= ? π? 2sin?φ+3 ?, ? ? π 所以,当 φ= 时,S 取最大值 2. 6
? 3cosφ+sinφ=2 ? ? ? 3 1 cosφ+ sinφ? = 2 2 ?

【点评】通过三角函数换元,二元函数x+y转化为φ的一 元函数.圆锥曲线(包括圆)的参数方程的探求与应用,与代数 变换、三角函数及向量都有密切的联系,且参数方程中的参数 都有确定的几何意义,但它们的几何意义不像圆的参数方程中 的参数那样明确.圆锥曲线的参数方程的应用在于通过参数可 以简明地表示曲线上任意点的坐标,将解析几何中的计算问题 转化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求解最值、 参数范围等问题.下面设计一变式训练,利用参数方程求距 离.

变式题 [2009· 东莞模拟] 在椭圆 7x2+4y2=28 上求 一点 A,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求 出这一最短距离.
【思路】用角度表示椭圆上的动点,转化为求三角函数的
最值。

【解答】

x2 y2 把椭圆方程化为 + =1,则可设椭圆上 4 7

点 A(2cosθ, 7sinθ), 则点 A 到直线 l 的距离为 |6cosθ-2 7sinθ-16| d= 13 |8sin(φ-θ)-16|? 3? ?其中sinφ= ?, = 4? ? 13 π 8 13 ∴φ-θ= 时,d 有最小值,最小值为 . 2 13 π 7 此时 θ=φ- ,∴sinθ=-cosφ=- , 2 4

3 cosθ=sinφ= , 4 所以点 A

?3 7? 的坐标为?2,-4?. ? ?

【点评】因为最短距离的点对应的角度是非特殊值,需借 助三角函数转化为点的直角坐标.

规律总结
1. 参数方程化为普通方程即为解方程组, 常用代入法、 加减消元法、三角恒等式消元法等,但要注意保持同解变 形. 2.求曲线参数方程的一般步骤: ①画图,设点;②选 参数;③建方程,关键是选取适当的参数.选参数时,一 是曲线上每一点的坐标x,y 与参数的关系比较明显,容易 列出方程;二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.选取的参 数不同,其方程是不一样的.参数可以是一个有物理意义 或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

3.应用直线参数方程时,需先判断是否为标准形式, 再考虑参数 t 的几何意义. 其参数 t 的几何意义是: |t|表示 ?????? 参数 t 对应的点 M 到点 M0 的距离.当 M 0 M 与 e 同向时, ?????? t 取正数; 当 M 0 M 与 e 反向时, t 取负数(直线 L 的方向 向量是 e=(cosα,sinα)).直线参数方程的标准形式主要用 来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的距离问题,它可 以避免求交点时解方程的繁琐运算, 简化运算量. 4.圆锥曲线的参数方程的应用主要在于通过参数可以 简明地表示曲线上任意点的坐标,将解析几何中的计算问 题转化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求 解最值、参数范围等问题.


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