2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019 学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析 版)
一.填空题(共 12 小题,满分 54 分)
1.若实数 a 满足:a2∈{1,4,a},则实数 a 的取值集合为_____. 【答案】{﹣1,﹣2,2,0} 【解析】 【分析】 由 a 2 ∈{1,4,a},得到 a 2 =1 或 a 2 =4,或 a 2 = a ,由此求出实数 a 的取值,根据互异性验证后可得所求集 合. 【详解】∵实数 a 满足: a 2 ∈{1,4, a }, ∴ a 2 =1 或 a 2 =4,或 a 2 =a, 解得 a =﹣2 或 a =2 或 a =﹣1 或 a =1 或 a =0, 当 a =1 时,集合为{1,4,1},不合题意; 当 a =﹣1,或 a =±2,或 a =0 时,满足题意. ∴实数 a 的取值集合为{﹣1,﹣2,2,0}. 故答案为:{﹣1,﹣2,2,0}. 【点睛】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,对得到的结果要进行验证,注意集合中 元素性质的合理运用. 2.函数 y = x + 2 + lg(3 - x) 的定义域为_____. 【答案】[﹣2,3) 【解析】 【分析】 由根式内部的代数式大于等于 0 和对数的真数大于 0 得到关于变量 x 的不等式组, 解不等式组后可得定义域. 【详解】由题意得 í

ì x +2 ? 0 ? ,解得 - 2 ? x 3 . ? 3- x >0 ?

∴函数的定义域为:[﹣2,3) . 故答案为:[﹣2,3) .

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,解题的关键是构造关于自变量的的不等式(组) ,是基础题. 3.命题“若 ab=0,则 b=0”的逆否命题是______. 【答案】“若 b≠0,则 ab≠0” 【解析】 因为一个命题的逆否命题,是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到, 所以命题“若 ab=0,则 b=0”的逆否命题是“若 b≠0,则 ab≠0”. 故答案为:“若 b≠0,则 ab≠0”. 4.函数 y=

1 +2 的单调区间是_____. x

【答案】 (﹣∞,0)和(0,+∞) 【解析】 【分析】 求出函数的定义域,利用反比例函数的单调性可求得答案. 【详解】由题意得函数 y = 又函数 y =

1 + 2 的定义域为 ( - ゥ,0) ? ( 0, x

),

1 在 - ? ,0) 和 ( 0, + ? ) 上单调递减, x ( 1 所以函数 y = + 2 的单调减区间是 ( - ? ,0) 和 ( 0, + ? x
故答案为: ( - ∞,0)和(0,+∞) .

).

【点睛】本题考查函数单调区间的求法,属于基础题,熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础, 同时还应注意函数的单调区间不能并在一起. 5.已知 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x(1 + x) ,则当 x < 0 时, f ( x) = __________. 【答案】 x(1 - x) 【解析】 设 x < 0 ,则 - x > 0 由已知当 x ? 0 时, f x = x 1 + x ,

()

(

)

\ 当 - x > 0 时,可得 f ( - x) = - x (1- x)
\ f ( x) = - f ( - x) = x (1- x)

ì 1, x > 0 ? ? 6.已知符号函数 sgn(x) = í 0, x = 0 ,则函数 f(x)=sgn(x)﹣2x 的所有零点构成的集合为_____. ? ? ? - 1, x < 0
【答案】 睚 【解析】 【分析】 根据 x 的取值进行分类讨论,得到等价函数后分别求出其零点,然后可得所求集合. 【详解】①当 x>0 时,函数 f(x)=sgn(x)﹣2x =1﹣2x,令 1﹣2x=0,得 x= 即当 x>0 时,函数 f(x)的零点是

禳 镲1 1 , 0, 镲 铪2 2

1 , 2

1 ; 2
1 , 2

②当 x=0 时,函数 f(x)=0,故函数 f(x)的零点是 0; ③当 x<0 时,函数 f(x)=﹣1﹣2x,令﹣1﹣2x=0,得 x= 即当 x<0 时,函数 f(x)的零点是 -

1 . 2

综上可得函数 f(x)=sgn(x)﹣x 的零点的集合为: 睚 -

禳 镲1 1 . , 0, 镲2 2 铪

故答案为: 睚 -

禳 镲1 1 . , 0, 镲2 2 铪

【点睛】本题主要考查函数零点的求法,解题的关键是根据题意得到函数的解析式,考查转化思想、分类 讨论思想,是基础题. 7.函数 f ( x) = log 3(8 x +1) 的值域为_______. 【答案】 (0, +? ) 【解析】 由指数函数的性质可知: 8x > 0,\ 8x +1 >1 , 据此可知: f x = log 3 8 x +1 > 0 , 函数的值域为 0, +?

( )

(

)

(

).
a 2 + 4 + 4ab + 4b 2 的最小值为_____. a + 2b

8.已知 a>0,b>0,则

【答案】4 【解析】 【分析】 由题意构造出基本不等式的形式,然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意得

a 2 + 4 + 4ab + 4b2 (a + 2b)2 + 4 4 , = = (a + 2b) + a + 2b a + 2b a + 2b

∵ a > 0, b > 0 , ∴ a + 2b > 0 , ∴ (a + 2b) +

4 4 ? 2 (a 2b) ? a + 2b a + 2b

4 ,当且仅当 a + 2b =

4 ,即 a + 2b = 2 时等号成立. a + 2b



a 2 + 4 + 4ab + 4b 2 的最小值为 4. a + 2b

故答案为:4. 【点睛】应用基本不等式求最值时,需要注意使用的条件,即“一正、二定、三相等”,若不满足此条件, 则要通过“拼、凑”等方法进行变形,使得满足所需条件.本题考查“构造思想”与基本不等式的运用, 属于基础题. 9.设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R ﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=_____ 【答案】{1,2,4} 【解析】 【分析】 根据并集与交集的定义计算即可. 【详解】∵A={1,2,6},B={2,4}, ∴A∪B={1,2,4,6}, 又 C={x ﹣1≤x≤5,x∈R}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}. 故答案为:{1,2,4}. 【点睛】本题考查交集与并集的运算,解题时根据集合运算的定义求解即可,是基础题. 10.若 y=f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的单调减函数,且 f(x)<f(2x﹣2) ,则 x 的取值范围_____. 【答案】 (﹣∞,2)

【解析】 【分析】 根据 y=f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的单调减函数可由 f(x)<f(2x﹣2)得到 x>2x﹣2,解不等式 可得 x 的取值范围. 【详解】∵f(x)<f(2x﹣2) ,且 y=f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的单调减函数, ∴x>2x﹣2, 解得 x<2. ∴x 的取值范围为(﹣∞,2) . 故答案为: (﹣∞,2) . 【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法,解题时注意转化思想方法的运用,属于 简单题. 11.若函数 f x = í 【答案】1 【解析】 【分析】 根据函数的解析式可推导出 f(5)=f(3)=f(1) ,由此可得所求结果. 【详解】由题意得 f 5 = f 5 - 2 = f 3 = f 3 - 2 = f 1 =12 =1 . 故答案为:1. 【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力,解题的关键是分清自变量所在的范围,然后代 入求值,属于基础题. 12.定义:若平面点集 A 中的任一个点(x0,y0) ,总存在正实数 r,使得集合

( )

ì x 2 , x ? [ 1,1] ? ? ? f ( x - 2) , x ? ( 1, ?

)

,则 f 5 =_____.

()

()

(

)

()

(

)

()

{( x, y) |

( x - x ) +( y - y )
0 0
2 2

2

2

< r} ? A ,则称 A 为一个开集.给出下列集合:
②{(x,y) x+y+2>0}; ④ { x, y | 0 < x 2 + y -

①{(x,y) x +y =1}; ③{(x,y) x+y ≤6};

(

)

(

2

)

2

< 1} .

其中不是开集的是_____. (请写出所有符合条件的序号) 【答案】①③ 【解析】

【分析】 弄清开集的定义是解决本题的关键,解答本题时根据新定义进行计算后判断,即所选的集合需要满足:存 在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆,且圆的内部均在该集合内. 【详解】对于①,集合 A={(x,y) x +y =1}表示以原点为圆心,1 为半径的圆,则在该圆上任意取点(x0, y0) ,以任意正实数 r 为半径的圆面,均不满足 B = { x, y | 集. 对于②,集合 A={(x,y) x+y+2>0},对于 A 中的任一点(x0,y0) ,设该点到直线 x+y+2=0 的距离为 d, 取 r=d,则满足 B = { x, y |
2 2

(

) ( x - x ) +( y - y )
0 0

2

2

< r} ? A ,故①不是开

(

) ( x - x ) +( y - y )
0 0 2 2 0 0

2

2

< r} ? A ,故②是开集.

对于③,集合 A={(x,y) x+y ≤6},在曲线 x+y =6 任意取点(x0,y0) ,以任意正实数 r 为半径的圆面, 均不满足 B = { x, y |

(

) ( x - x ) +( y - y )
)

< r} ? A ,故该集合不是开集.
<1} 表示以点 0, 2 为圆心,以 1 为半径除去圆心和圆周的

对于④,集合 A= { x, y | 0 < x 2 + y -

(

(

2

)

2

(

)

圆面,在该平面点集 A 中的任一点(x0,y0) ,则该点到圆周上的点的最短距离为 d,取 r=d,则满足

B = {( x, y) |

( x - x ) +( y - y )
0 0

2

2

< r} ? A ,故该集合是开集.

综上可得①③中的集合不是开集. 故答案为:①③. 【点睛】本题属于集合的新定义型问题,考查学生即时掌握信息、解决问题的能力,正确理解开集的定义 是解决本题的关键.

二.选择题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分)
13.设 x∈R,则“ x﹣2 <1”是“x2﹣x﹣6<0”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行 判断即可. 【详解】由 x﹣2 <1 得﹣1<x﹣2<1,解得 1<x<3 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

由 x ﹣x﹣6<0,得﹣2<x<3. 因为 {x |1 <x < 3}

2

{x | - 2<x < 3} ,

所以“1<x<3”是“﹣2<x<3”的充分不必要条件, 即“ x﹣2 <1”是“x ﹣x﹣6<0”的充分不必要条件. 故选 A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,解题时可转化为两集合间的包含关系求解,根据不 等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键. 14.已知函数 f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sinx+x 的零点依次为 x1,x2,x3,则以下排列正确的是 ( ) B. x1<x3<x2 C. x3<x1<x2 D. x2<x3<x1
2

A. x1<x2<x3 【答案】B 【解析】 【分析】

将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标,画出函数的图象,利用数形结合,判断出函数的零点的大小 即可. 【详解】函数 f(x)=3 +x,g(x)=log3x+x,h(x)=sinx+x 的零点依次为 x1,x2,x3, 在坐标系中画出 y=3 ,y=log3x,y=sinx 与 y=﹣x 的图象,如下图所示:
x x

由图形可知 x1<0,x2>0,x3=0, 所以 x1<x3<x2. 故选 B. 【点睛】求函数零点的常用方法有: (1)解函数对应的方程 f ( x) = 0 ,得到函数的零点; (2)将函数的 零点转化为两函数图象的交点的横坐标,画出函数的图象,根据数形结合求解.

15.已知非空集合 M 满足:若 x∈M,则 A. 0 B. 1 C. -1

1 ∈M,则当 4∈M 时,集合 M 的所有元素之积等于( ) 1- x

D. 不确定

【答案】C 【解析】 试题分析:依题意,得

1 1 1 3 1 = - ? M ,从而 = ? M, = 4? M , 1 4 3 1- 4 3 1+ 13 4 1 3 1 3 于是集合 M 的元素只有 4, - , 所有元素之积等于 4×( - )× =-1 3 4 3 4
当 4∈M 时,有 考点:元素与集合关系的判断 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意的 x∈R,均有 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[0,1)时,f (x)=2 ﹣1,则下列结论正确的是( A. f(x)的图象关于 x=1 对称 B. f(x)的最大值与最小值之和为 2 C. 方程 f(x)﹣lg x =0 有 10 个实数根 D. 当 x∈[2,3 时,f(x)=2x+2﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数和 x∈[0,1)时的解析式,可求出当 x∈(﹣1,0 时函数的解析式,再根据函数的周期 性画出函数 y=f(x)的图象,再画出 y=lg x 的图象,结合图象对四个选项作出判断即可. 【详解】由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可得 f (0) = 0 . 又当 x∈[0,1)时,f(x)=2 ﹣1, 所以,当 x∈[﹣1,0)时,﹣x∈[0,1) ,则 f(﹣x)=2 ﹣1=﹣f(x) , ∴ f ( x) = 1 - 2﹣x . 又 f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)是周期为 2 的周期函数. 画出函数 y=f(x)与 y=lg x 的图象,如图所示,
﹣x x x



对于 A,结合图象可得函数 f(x)的图象无对称轴,所以 A 不正确. 对于 B,由图象可得,函数 f(x)没有最大值和最小值,所以 B 不正确. 对于 C,结合图象可得当 x>0 时,函数 y=f(x)与 y=lg x 的图象有 4 个交点,当 x<0 时,函数 y=f(x) 与 y=lg x 的图象有 6 个交点,故方程 f(x)﹣lg x =0 有 10 个实数根.所以 C 正确. 对于 D,当 x∈[2,3)时,x﹣2∈[0,1),所以 f ( x) = f ( x - 2) = ? 2x- 2 - 1 .故 D 不正确. 故选 C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性,以及函数零点个数的判断,考查转化能力和运算能力, 解题时借助函数的图象求解是关键,属于中档题.

三.解答题(共 5 小题,满分 76 分)
17.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0. (1)若 a=1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?q 是?p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) 1,3 ; (2) 0,1 【解析】 【分析】 (1)先求出关于 p,q 的 a 的范围,根据当 p 且 q 为真,即可得出实数 x 的取值范围是(2,3) . (2)根据?q 是?p 的充分不必要条件,利用集合间的包含关系,解得实数 a 的取值范围. 【详解】(1)由 x2-4ax+3a2<0 得(x-3a)(x-a)<0, 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时,实数 x 的范围是 1<x<3; 由 q 为真时,实数 x 的范围是-2≤x≤3, 若 p 且 q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是(1,3). (2)?p:x≤a 或 x≥3a,?q:x<-2 或 x>3,

( )

( ]

ìa? 2 ? ? 由?q 是?p 的充分不必要条件,有 í 3a ? 3 得 0<a≤1, ? ? ? a >0
显然此时?p ? ?q,即 a 的取值范围为(0,1 . 【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

ì 1 2 ? - x + 2,0 < x ? 3 ? 18.已知函数 y=f (x) 为定义在 (﹣∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的奇函数, 且当 x>0 时,f ( x) = í 3 3 ? - , x >3 ? x ?
(Ⅰ)试求 f(﹣2)的值; (Ⅱ)指出 f(x)的单调递增区间(直接写出结论即可) ; (Ⅲ)求出 f(x)的零点. 【答案】 (1) f ( - 2) = 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得 f(﹣2)的值; (Ⅱ)利用函数的奇偶性以及分段函数的 解析式可写出 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)把函数 f(x)的零点转化为方程的根,解方程可得函数的零 点. 【详解】 (Ⅰ)∵函数 f x 为奇函数, ∴ f -2 =- f 2 =- 琪 - ? 22 琪

2 ; (2) (﹣∞,﹣3)和(3,+∞) ; (3) 6 和 - 6 . 3

()

( )

( )

骣1

桫3

2 =-

2 . 3

ì 1 2 ? - x + 2, 0 < x ? 3 ? (Ⅱ)当 x>0 时,函数 f ( x) = í 3 在(3,+∞)上单调递增, 3 ? - , x >3 ? x ?
又函数 y=f(x)为定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, ∴函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣3)上也单调递增, ∴函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣3)和(3,+∞). (Ⅲ)当 x > 0 时,由 f x = 0 ,得 -

()

1 2 x + 2 = 0 ,解得 x = 6 , 3

∴ 6 是函数 f x 的零点. 又函数 f x 为奇函数, ∴ - 6 也为函数 f x 的零点. 综上可得函数 f x 的零点为 6 和 - 6 . 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法,解题时注意 函数图象对称性的应用,考查计算能力和转化应用的能力,属于基础题. 19.已知函数 f x = x - 2 + x +3 . (1)求不等式 f x ? 15 的解集; (2)若 - x2 + a ? f x 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) - 8,7 ;(2) - ? ,5 【解析】 试题分析:(1)根据“零点分段法”分为 x < - 3 , - 3 #x

()

()

()

()

()

()

()

[

]

(

]
2 , x > 2 三种情形,分别解出不等式,再取并

集即可;(2)法一: - x2 + a ? f x 对 x ? R 恒成立等价于 a ? x2 角 不 等 式 , 求 得 x2 + f x 取 得 最 小 值 , 即 可 求 得

()

f ( x) 对 x ? R 恒成立,利用绝对值三

()

a 的 取 值 范 围 ; 法 二 : 设 g ( x) = - x2 + a , 则

g ( x) m a x = g( 0) = a,根据绝对值三角不等式求得 f ( x) 得最小值,从而求得 a 的取值范围.
ì - 2 x - 1, x < - 3 ? ? 试题解析:(1)因为 f ( x) = í 5, - 3 #x 2 , 1 ? x - 3 ? ? ? 2 x +1, x > 2
所以当 x < - 3 时,由 f x ? 15 得 - 8 ? x 当 - 3 #x

()

-3; 2;

2 时,由 f ( x) ? 15 得 - 3 #x

当 x > 2 时,由 f x ? 15 得 2 < x ? 7 . 综上, f x ? 15 的解集为 - 8,7 . (2)法一:由 - x2 + a ? f x 得 a ? x2 因为 f x ?

()

()

[

]

()

f ( x) ,
2 取等号,

( ) ( x 2) - ( x + 3)

= 5 ,当且仅当 - 3 #x

所以当 - 3 #x

2 时, f ( x) 取得最小值 5 .

所以当 x = 0 时, x2 + f x 取得最小值 5 , 故 a ? 5 ,即 a 的取值范围为 - ? ,5 . 法二:设 g x = - x2 + a ,则 g x 当 - 3 #x

()

(

]

()

()

max

= g ( 0) = a ,

2 时, f ( x) 取得最小值 5 ,

所以当 x = 0 时, x2 + f x 取得最小值 5 , 故 a ? 5 时,即 a 的取值范围为 - ? ,5 . 点睛:含绝对值不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 20.函数 f(x)的定义域为 D={ ≠0},且满足对任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 【答案】 (1)0; (2)见解析; (3) (- 15,1) ? 1,17 【解析】 试题分析: (1)抽象函数求具体指,用赋值法; (2)根据定义求证函数的奇偶性找 f(-x)和 f(x)的关系; (3) 4)=f(4)+f(4)=2 得到 f(x-1)<2?f( x-1 )<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可. 先利用 f(4× (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)= f(1)=0. 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数,∴f(x-1)<2?f( x-1 )<f(16).又 f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴0< x-1 <16, 解之得-15<x<17 且 x≠1.

()

(

]

(

)

∴x 的取值范围是{x -15<x<17 且 x≠1}. 21.已知函数 f ( x) = lg(

2 + a) , a ? R . x- 1

(1)若函数 f ( x ) 是奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,判断函数 y = f ( x) 与函数 y = lg 2 x 的图象公共点个数,并说明理由; (3)当 x ? 1, 2 时,函数 y = f (2x ) 的图象始终在函数 y = lg(4 - 2x ) 的图象上方,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) a = 1 . (2) 函数 y = f ( x) 与函数 y = lg 2 x 的图象有 2 个公共点;说明见解析. (3) (3 - 2 2, +? ) . 【解析】 分析:(1)由题意可得 f x + f - x = 0 ,解出 a = 1 ; (2)要求方程 lg

[ )

()

( )

x +1 2 = lg2 x 解的个数,即求方程 2 x - 1 = 0 在定义域 D 上的解的个数,令 x- 1 x- 1

F ( x) = 2 x -

2 - 1 ,利用零点存在定理判断即可; x- 1

(3)要使 x ? 1, 2 时,函数 y = f 2 x 的图象始终在函数 y = lg 4 - 2 x 的图象的上方, 必须使

[ )

( )

(

)

2 令 t = 2x , 则t ? 2 + a > 4 - 2 x 在 x ? 1, 2) 上恒成立, , 4 2 -1
x

[

上式整理得 t +( a - 5) t +6 - a > 0 [ ),
2

在 t ? 2, 4 恒成立,分类讨论即可. 详解:(1)因为 f x 为奇函数,所以对于定义域内任意 x ,都有 f x + f - x = 0 , 即 lg 琪 琪

[ )

()

()

( )

骣2

骣 2 + a + lg 琪 +a = 0 , 琪 x- 1 - x- 1 桫 桫 骣 2 ?琪 a =1, 琪 桫 x +1
1.

骣 2 \ 琪 a+ 琪 桫 x- 1

显然 x ? 1 ,由于奇函数定义域关于原点对称,所以必有 x ? 上面等式左右两边同时乘以 x - 1

(

)( x +1) 得

轾 a ( x - 1) + 2 ? 轾 a ( x 1) - 2 = x 2 - 1 ,化简得 臌 臌

( a - 1) x - ( a
2 2

2

- 4a + 3 = 0 ,.

)

上式对定义域内任意 x 恒成立,所以必有 í 解得 a = 1 .

2 ì ? a - 1=0 , 2 ? ? a - 4a + 3 = 0

(2)由(1)知 a = 1 ,所以 f x = lg 琪 1+ 琪 由

( )



x +1 2 , ,即 f ( x) = lg x 1 x 1 桫

x +1 > 0 得 x < - 1 或 x >1 , x- 1

所以函数 f x 定义域 D = - ? , 1 ? 1, ? 由题意,要求方程 lg

()

(

) (

).

x +1 = lg2 x 解的个数,即求方程 x- 1

2 - 1 = 0 在定义域 D 上的解的个数. x- 1 2 令 F ( x) = 2 x - 1 ,显然 F ( x) 在区间 ( - ? , 1) 和 (1, +? x- 1 2x 又 F - 2 = 2- 2 -

) 均单调递增,

( )

3 骣3 2 1 1 2 1 1 2 = 2 - 1= - >0 - 1= - < 0, F 琪 琪 5 -3 4 3 2 2 5 桫2 2

且F琪 琪

3 骣 3 2 2 = 2 2 - - 1 = 2 2 - 5 < 0 , F ( 2) = 22 - - 1 = 1 > 0 . 1 1 2 桫 2

所以函数 F x 在区间 琪 - 2, 琪

()

骣 桫

骣 3 3 和琪 琪 , 2 上各有一个零点, 2 2 桫

即方程 2 x -

2 - 1 = 0 在定义域 D 上有 2 个解, x- 1

所以函数 y = f x 与函数 y = lg2x 的图象有 2 个公共点. (附注:函数 y =

()

x +1 与 y = 2x 在定义域 D = ( - ? , 1) ? (1, ? x- 1

) 上的大致图象如图所示)

(3)要使 x ? 1, 2 时,函数 y = f 2 x 的图象始终在函数 y = lg 4 - 2 x 的图象的上方, 必须使

[ )

( )

(

)

2 + a > 4 - 2 x 在 x ? 1, 2) 上恒成立, 2 -1
x

[

令 t = 2 x ,则 t ? 2, 4 ,上式整理得 t 2 + a - 5 t +6 - a > 0 在 t ? 2, 4 恒成立. 方法一:令 g t = t 2 + a - 5 t +6 - a , t ? 2, 4 . ① 当

[ )

(

)

[ )

()

(

)

[ )

5- a ? 2 ,即 a ? 1 时, g ( t) 在 2,4) 上单调递增, 2

[

所以 轾 g t 臌 ② 当

()

min

= g ( 2) = 4 + 2 ( a - 5) + 6 - a = a ? 1 0 ,恒成立;

5- a ? 4 ,即 a ? 3 时, g ( t) 在 2,4) 上单调递减, 2 2 只需 g ( 4) = 3a + 2 ? 0 ,解得 a ? 与 a ? 3 矛盾. 3 5- a ③ 当2 < < 4 ,即 - 3 < a < 1 时, 2

[

轹 轾 5- a 5- a 上单调递减,在 ê g ( t) 在 犏 2, , 4÷ ÷上单调递增, ê 犏 滕2 臌 2
所以由 轾 g t 臌

()

min

骣 5- a - a 2 + 6a - 1 = g琪 = > 0 ,解得 3 - 2 2 < a < 3 + 2 2 , 琪 4 桫2

又 - 3 < a < 1 ,所以 3 - 2 2 < a <1 综合①②③得 a 的取值范围是 3 - 2 2, +?

(

).
( )

方法二:因为 t 2 + a - 5 t +6 - a > 0 在 t ? 2, 4 恒成立. 即 t - 1 a >- t 2 +5t - 6 ,

(

)

[ )

又 1 ? t 1 < 3 ,所以得 a >

- t 2 + 5t - 6 在 t ? [ 2, 4) 恒成立 t-1

令 u = t - 1 ,则 u ? 1,3 ,且 t = u +1 ,

[ )

- t 2 + 5t - 6 - ( u +1) + 5 ( u +1) - 6 所以 = =3t-1 u
由基本不等式可知 u +

2

骣 2 琪 u+ , 琪 桫 u

2 2 匙 2 u = 2 2 (当且仅当 u = 2 ? [1,3) 时,等号成立.) u u

即琪 琪 u+

骣 2 桫 u

=2 2,
min

所以 犏

轾 - t 2 + 5t - 6 犏 臌 t-1

max

轾 =犏 3犏 臌

骣 2 琪 u+ 琪 桫 u

= 3- 2 2 ,
max

所以 a 的取值范围是 3 - 2 2, +?

(

).

点睛:函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的 单调性、对称性或结合函数图象.


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