辽宁省沈阳二中高三数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

辽宁省沈阳二中 2015 届高三上学期期中考试 数学理试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心 知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、 三视图、导数、简单的线性规划、数列、三角函数的性质等;考查学生解决实际问题的能力。 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
2 【题文】1.若复数( a ? 1)+( a ? 1 )i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (

)

A.±1 B.-1 C.0 D.1 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】 B 因为复数 a2-1+ (a-1) i (i 为虚数单位) 是纯虚数, 所以 a2-1=0 且 a-1≠0, 解得 a=-1.故选 B. 【思路点拨】复数是纯虚数,实部为 0 虚部不为 0,求出 a 的值即可.

4x N ? {y | y ? , x ? M } 2 2 【题文】2. 已知集合 M ? {x | x ? x } , ,则 M
1 1 A.{ x |0< x < 2 } B.{ x | 2 < x <1}

N?

(

)

C.{ x |0< x <1} D.{ x |1< x <2}

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】B 对于集合:M:由 x>x2,解得 0<x<1,∴M={x|0<x<1}.∵0<x<1,∴

1 4x 1 1 1<4x<4∴. 2 < 2 <2.∴N={y| 2 <y<2}.∴M∩N={x| 2 <x<1}.故选 B.
【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合 M,N.再利用交集的 运算即可得出. 【 题 文 】 3. 下 列 有 关 命 题 的 说 法 正 确 的 是 ( ) A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .
2 2

B. “ x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案解析】C 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”.所以,选项 A 不正确; 由 x=-1, 能够得到 x2-5x-6=0. 反之, 由 x2-5x-6=0, 得到 x=-1 或 x=6. 所以, “x=-1” 是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.所以,选项 B 不正确;“若 x=y”,则“sinx=siny”为 真命题,所以其逆否命题也为真命题.所以,选项 C 正确;命题“? x0∈R,x02+x0+1<0”

的否定是“对? x∈R,x2+x+1≥0”.所以,选项 D 不正确.故选 C. 【思路点拨】题目给出的四个命题,A 是写出一个命题的否命题,既要否定条件,又要否定结 论;B 是分析充要条件问题,由 x=-1,一定能得到 x2-5x-6=0,反之,由 x2-5x-6=0,得到的 x 的值还可能是 6;C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假;D 是考查特称命题的否定,特 称命题的否定式全称命题.

a11 ? a13 1 ? 3a1 , a3 , 2 a2 { a } a ? a n 2 8 10 【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列 中, 成等差数列,则
( A. 27 ) B.3 C.

?1 或 3

D.1 或 27

【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3

1 3a1 , a3 , 2a2 2 【答案解析】A ∵ 成等差数列∴3a1+2a2=a3,∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0

a11 ? a13 ? a ? a 8 10 ∵q>0∴q=3∴ =q3=27 故选 A
【 思 路 点 拨 】 由 已 知 可 得 , 3a1+2a2=a3 , 结 合 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 求 公 比 q , 而

a11 ? a13 ? a8 ? a10 =q3,代入即可求解.
【 题 文 】 5. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0,1] , 则 函 数 ( ) B. [?5,?2) C. [?5,?2] ? [1,4] D. [?5,?2) ? (1,4]

f (lg

x2 ? x ) 2 的定义域为

A. [?5,4]

【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】D 函数 f ( x) 的定义域(0,1)所以 0< 则 1 ? x ? 4 或 ?5 ? x ? ?2 故选 D. 【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。

lg

x2 ? x x2 ? x 2 ? 1,0< 2 ? 10

cos(x ?
【 ( 题 ) 文 】 6. 已 知

?
6

)??

3 3

cos x ? cos( x ?
, 则

?
3

)?

2 3 3 A. ?

?
B.

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2

? ? ? ? 3 【答案解析】C ∵cos(x- 6 )=- 3 ,∴cosx+cos(x- 3 )=cosx+cosxcos 3 +sinxsin 3
3 1 ? 3 3 3 = 2 cosx+ 2 sinx= 3 ( 2 cosx+ 2 sinx)= 3 cos(x- 6 )= 3 ×(- 3 )=-1 故选 C.

? ? 【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将 cosx+cos(x- 3 )化为 3 cos(x- 6 )即可.

【题文】7. 已知 x,y 满足 7, 则 b, c 的值分别为 A. -1,-2 B. -2,-1 【知识点】简单的线性规划问题 E5

记目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,最大值为 ( C. 1,2 D. 1,-2 )

? 2 x ? y ? 7 ?2 x ? y ? 1 ? ? x ? y ? 4 x ? 1 的交点,即经过 ? 【答案解析】A 由题意得知,直线 x+by+c=0 经过 和? ?3 ? b ? c ? 0 ? 1 ? b ? c ? 0 则 b=-1,c=-2. (3,1)和(1,-1)点,所以 ?
【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出 b,c. 【题文】 8. 已知等比数列 时,

?an ? 满足 an >0,n =1,2,…,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ≥1
( )

log2 a1 ? log2 a2 ???? ? log2 a2n?1 =

A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】C 由等比数列的性质可得 an2=a5?a2n-5=22n,=(2n)2, ∵an>0,∴an=2n,故数列首项 a1=2,公比 q=2, 故 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2

n(0 ? 2n ? 2) 2 =log22n?2 =log22n+n2-n=log22n2=n2,故答案为 C.
【 思 路 点 拨 】 由 题 意 可 得 an=2n , 可 得 数 列 首 项 a1=2 , 公 比 q=2 , 进 而 可 得 原 式 =log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2,代入由对数的性质化简可得答案. 1+2sin2x ? π? 【题文】 9. 已知 x ∈ ?0, ? ,且函数 f(x) = 的最小值为 b ,若函数 g(x) = 2? sin 2x ?

π? ?π -1? <x< ? ? ? ?4 2? ? π? ? 8x2-6bx+4?0<x≤ ? ? ? 4? ? A.?

,则不等式 g(x)≤1 的解集为

(

)

?π ,π ? ? ?4 2?

B.?

3? ?π , ? ?4 2 ?

C.?

3? ? 3 , ? 2? ?4

D.?

? 3 π? , ? ? 4 2?

【知识点】三角函数的图象与性质 C3

? 3sin 2 x ? cos 2 x 【答案解析】D ∵x∈(0, 2 ),∴tanx>0.∴f(x)= 2sin x cos x
1 1 1 3tan x ? tan x = = 2 (3tanx+ tan x )≥

? 3 3 .当且仅当 tanx= 3 ,即 x= 6 时取等号.

? ? ? 0? x? 4 ? ? ? ? 3 2 ?8x ? 6 3 ? 4 ? 1 因此 b= 3 . 不等式 g (x) ≤1?① 4 <x< 2 或② ? , 解②得 4 ≤x≤ 4 .
? ? 3 ? 3 ? 因此不等式 f(x)≤1 的解集为[ 4 , 4 ]∪( 4 , 2 )=[ 4 , 2 ).故选 D.
【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出 f(x)的最小值即 b.再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出. 【题文】10. 如图,长方形 ABCD 的长 AD ? 2 x ,宽 AB ? x ( x ? 1) ,线段 MN 的长度为 1, 端点 M , N 在长方形 ABCD 的四边上滑动, 当 M , N 沿长方形的四边滑动一周时, 线段 MN 的 中点 P 所形成的轨迹为 G ,记 G 的周长与 G 围成的面积数值的差为 y ,则函数 y ? f ( x) 的 图象大致为 ( )

【知识点】函数的图像 B8 【答案解析】C :∵线段 MN 的长度为 1,线段 MN 的中点 P,

1 1 1 1 ∴AP= 2 ,MN= 2 ,即 P 的轨迹是分别以 A,B,C,D 为圆心,半径为 2 的 4 个 4 圆,以及线
段 GH,FE,RT,LK,部分.∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段 GH,FE,RT,LK 的长,即周

1 1 1 1 1 长=2π × 2 +2(2x- 2 - 2 )+2(x- 2 - 2 )=π +4x-2+2x-2=6x+π -4, 面积为矩形的面积减去 4 个

1 1 ? 4 圆的面积,即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为 2x?x-π ×( 2 )2=2x2- 4 ,∴f(x)

? 5? =6x+π -4-(2x2- 4 )=-2x2+6x+ 4 -4,是一个开口向下的抛物线,∴对应的图象为 C,故选:
C. 【思路点拨】根据条件确定点 P,对应的轨迹,然后求出相应的周长和面积,求出函数 f(x) 的表达式,然后根据函数表达式进行判断图象即可. 【题文】11.若曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y) =0 的“自公切线”.下列方程:①x2-y2=1;②y=x2-|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x| + 1 = 4-y2 对 应 的 曲 线 中 存 在 “ 自 公 切 线 ” 的 有 ( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【知识点】双曲线及其几何性质周期性 B4 H6

1 1 ? ( x ? )2 ? ? ? 2 4 ? ?( x ? 1 ) 2 ? 1 ? 2 4, 【答案解析】 B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线, 没有自公切线; ②y=x2-|x|= ?
1 1 在 x= 2 和 x=- 2 1 处的切线都是 y=- 4 , 故②有自公切线. ③y=3sinx+4cosx=5sin (x+φ ) ,

3 4 cosφ = 5 ,sinφ = 5 ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点
的切线都重合,故此函数有自公切线.④由于|x|+1= 象可得,此曲线没有自公切线.故答案为 B.

4 ? y2

,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图

1 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②在 x= 2

1 和 x=- 2 处的

1 切线都是 y=- 4 ,故②有自公切线.③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过
图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.④结合图象可得,此曲线没有自公切线. 【题文】12.函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c

,在定义域

x ?? ?2, 2?

上表示的曲线过原点,且在

x ? ?1 处的切线斜率均为 ?1 .有以下命题:


f ? x?

是奇函数; ②若

f ? x ? 在? s, t ?

内递减, 则

t ?s

的最大值为 4; ③

f ? x?

的最大值为 M,

?x ???2,2?,k ? f ? ? x ? 最小值为 m,则 M ? m=0 ;④若对 恒成立,则 k 的最大值为 2.其中
正确命题的个数为 ( 1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】B 函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象过原点,可得 c=0; 又 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f(x)在 x=±1 处的切线斜率均为-1, )

?3 ? 2a ? b ? ?1 ? 3 ? 2a ? b ? ?1 ,解得 a=0,b=-4.所以 f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4. 则有 ?
①可见 f(x)=x3-4x 是奇函数,因此①正确;x∈[-2,2]时,[f′(x)]min=-4,则 k≤f'

2 3 2 3 (x) 恒成立, 需 k≤-4,因此④错误.②令 f′ (x)=0,得 x=± 3 .所以 f (x)在[- 3 , 2 3 4 3 2 3 16 3 3 ]内递减, 则|t-s|的最大值为 3 , 因此②错误; 且f (x) 的极大值为 f (- 3 ) = 9 , 2 3 16 3 极小值为 f( 3 )=- 9 , 16 3 16 3 两端点处 f (-2) =f (2) =0, 所以 f (x) 的最大值为 M= 9 , 最小值为 m=- 9 , 则 M+m=0,
因此③正确.故选 B. 【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数 f(x)过原点,列方程组求出 f(x)的解析式; 然后根据奇函数的定义判断函数 f(x)的奇偶性,且由 f′(x)的最小值求出 k 的最大值, 则命题①④得出判断;最后令 f′(x)=0,求出 f(x)的极值点,进而求得 f(x)的单调区 间与最值,则命题②③得出判断. 第Ⅱ卷(90 分) 【题文】二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.
0 【题文】 13.. 若函数 在 R 上可导, . 【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案解析】-4 ∵f(x)=x3+x2f′(1) ,∴f′(x)=3x2+2xf′(1) ,∴f′(1)=3+2f′ (1) ,

f ? x?

f ? x ? ? x 3 ? x 2 f ? ?1?

f ? x ? dx ? , 则?

2

2 1 ? 0 ∴f′(1)=-3,∴f(x)=x3-3x2,∴ 0 f(x)dx=( 4 x4-x3) =4-8=-4,故答案为:-4.
2
【思路点拨】先根据导数的运算法则求导,再求出 f′(1)=-3,再根据定积分的计算法计算 即可. 【 题 文 】 14. 若

x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1 , 则 2 x ? 3 y 2 的 最 小 值

为 . 【知识点】函数的单调性与最值 B3

3 【答案解析】 4

1 ∵x,y 为非负数且 x+2y=1,∴x=1-2y≥0,解得 0≤y≤ 2 .

2 2 1 ∴f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y- 3 )2+ 3 ,因此 f(y)在[0, 2 ]上单调递减, 1 1 3 3 ∴当 y= 2 ,x=0 时,函数 f(y)取得最小值,f( 2 )= 4 .故答案为 4 . 1 【思路点拨】x,y 为非负数且 x+2y=1,可得 x=1-2y≥0,解得 0≤y≤ 2 . 2 2 可得 f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y- 3 )2+ 3 ,再利用二次函数的单调性即可得出.
bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) n 若数列 ?a n ? 是等差数列,对于 ,则数列 ?bn ?也是等差 1

【题文】15.

数 列 。 类 比 上 述 性 质 , 若 数 列 ?c n ? 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 对 于 d n ? 0 , 则 d n = 时,数列 ?d n ? 也是等比数列. 【知识点】单元综合 D5 【答案解析】
n

c1c2 .......cn

在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路

有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数

1 等,故我们可以由数列{an}是等差数列,则当 bn= n (a1+a2+..+an) ,时,数列{dn}也是等差
数列. 类比推断: 若数列{cn}是各项均为正数的等比数列, 则当 dn= 也是等比数列.故答案为
n n

c1c2 .......cn

时, 数列{dn}

c1c2 .......cn

【思路点拨】本题考查的知识点是类比推理,在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时, 我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推

1 理为几何平均数等,故我们可以由数列{an}是等差数列,则当 bn= n (a1+a2+..+an) ,时,数
列 {bn} 也 是等 差数 列.类 比 上述 性质 ,若 数列 {cn} 是各 项均 为正 数的 等比 数 列, 则当 dn=
n

c1c2 .......cn

时,数列{bn}也是等比数列.

?| log 3 x |,0 ? x ? 3 ? f ( x) ? ? 1 2 10 x ? x ? 8, x ? 3 ? 3 ?3 【 题 文 】 16. 已 知 函 数 , 若 存 在 实 数 a, b, c, d , 满 足
f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是
【知识点】对数函数 B7 .

1 10 1 10 【答案解析】 (21,24) 由题意可得-log3a=log3b= 3 c2- 3 c+8= 3 d2- 3 d+8 可得 log3(ab)
=0, 故 ab=1. 结合函数 f (x) 的图象, 在区间[3, +∞) 上, 令f (x) =1 可得 c=3、 d=7、 cd=21. 令 f(x)=0 可得 c=4、d=6、cd=24.故有 21<abcd<24,故答案为(21,24) .

1 10 1 10 【思路点拨】由题意可得-log3a=log3b= 3 c2- 3 c+8= 3 d2- 3 d+8,可得 log3( ab) =0,
ab=1.结合函数 f(x)的图象,在区间[3,+∞)时,令 f(x)=1 可得 c=3、d=7、cd=21.令 f(x)=0 可得 c=4 d=6、cd=24.由此求得 abcd 的范围. 【题文】三、解答题:本大题共六个大题,满分 70 分;解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 【题文】17.(本题满分 10 分)

cos ? ?
(1)已知

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ? , ? ? (0, ) 7 14 ,且 2 ,求 cos ? 的值;

??) 2 4 sin ? ? 4 ,求 cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 的值. (2)已知 ? 为第二象限角,且 cos(
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5

?

1 7 【答案解析】 (1) 2 (2) 7

cos ? ?
(1)∵

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ? , ? ? (0, ) 7 14 , 2

4 3 5 3 2 1 ? cos ( ? ? ? ) ∴sinα = 1 ? cos ? = 7 ,sin(α +β )= = 14 ,
2

11 1 5 3 4 3 ∴cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα =- 14 × 7 + 14 × 7
49 1 = 14 ? 7 = 2 ;

2 14 2 (2)∵α 为第二象限角,sinα = 4 ,∴cosα =- 1 ? sin ? = 4 ,
28 ? 2 ? 8 2 2 cos( ? ? ) cos ? ? sin ? 28 ? 2 28 7 4 2 2 2 2 16 ∴ cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 = cos ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 1 = = 7
【思路点拨】 (1) 由已知可得 sinα 和 sin (α +β ) , 代入 cosβ =cos[ (α +β ) -α ]=cos (α +β ) cosα +sin(α +β )sinα ,化简可得; (2)由已知可得 cosα 的值,由三角函数的公式化简 要求的式子,代入化简可得. 【题文】18. (本题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】(Ⅰ) π (Ⅱ)4 3 (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

(Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), ∴sin C= 3 π ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C= 2 3

π π (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a2+b2-2abcos =4,即 a2+b2-ab=4 3 3 ∴(a+b)2=4+3ab≤4+3·?

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ? ? 2 ?

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4. 【思路点拨】根据正限定求出角,根据余弦定理和均值不等式求出最大值。 【题文】19. (本题满分 12 分)

3 S n ? (bn ? 1) a ? b , a ? b { a } { b } S 1 5 2 2 设数列 n 是等差数列,数列 n 的前 n 项和 n 满足 且 2
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

{a n } 和 {bn } 的通项公式:

cn ? an ? bn , ,设 Tn 为 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn .

【知识点】 等差数列等比数列数列求和 D2 D3 D4 【答案解析】(1)

an ? 2n ? 1, bn ? 3n . (2) Tn ? 3 ? (n ?1)3n?1

3 3 (1)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 2 (bn-1) ,∴b1=S1= 2 (b1-1),解得 b1=3. 3 3 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= 2 (bn-1)- 2 (bn-1-1),化为 bn=3bn-1.

∴数列{bn}为等比数列,∴bn=3×3n-1=3n.∵a2=b1=3,a5=b2=9. 设等差数列{an}的公差为 d.

? a1 ? d ? 3 ? a ? 4d ? 9 ∴? 1 ,解得 d=2,a1=1.∴an=2n-1.综上可得:an=2n-1,bn=3n.
(2)cn=an?bn=(2n-1)?3n. ∴Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)?3n-1+(2n-1)?3n, 3Tn=32+3×33+…+(2n-3)?3n+(2n-1)?3n+1.

2 ? 3(3n ? 1) 3 ?1 ∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)?3n+1= -(2n-1)?3n+1-3
=(2-2n)?3n+1-6.∴Tn=3+(n-1)3n+1. 【思路点拨】 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; ( 2)利用“错位相减法” 和等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【题文】20.(本题满分 12 分)
2 f (? x) ? f ( x) ? 2 x 已知二次函数 f ( x ) ? x ? x ,若不等式 的解集为 C.

(1)求集合 C; (2)若方程 f (a ) ? a
x x ?1

? 5 (a ? 0, a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围.

【知识点】单元综合 B14

0?a? 2 或a ? 5 【答案解析】 (1) C ? [?1,1] (2)
(1) f ( x) ? f (? x) ? 2x
2
2 当 x ? 0 时, 2 x ? 2 x ? 0 ? x ? 1

1

2 当 x ? 0 时, 2 x ? ?2 x ? ? 1 ? x ? 0

所以集合 C ? [?1,1]

x x ?1 x 2 x x (2) f (a ) ? a ? 5 ? 0 ? (a ) ? (a ? 1)a ? 5 ? 0 ,令 a ? u 2 则方程为 h(u) ? u ? (a ? 1)u ? 5 ? 0

h(0) ? ?5

1 1 ? 1 ? h( ) ? 2 ? 1 ? ? 5 ? 0 a ? a a 1 1 2 u ? [ , a] [ , a] ? h ( a ) ? a ? ( a ? 1 )a ? 5 ? 0 ? a ? 5 h ( u ) ? 0 a 当 a ? 1 时, , 在 a 上有解,则 ?

? h(a) ? 0 ? 1 1 1 ?h( 1 ) ? 0 u ?[a, ] g (u ) ? 0 [ a, ] 0?a? ? ? a , 2 当 0 ? a ? 1 时, 在 a 上有解,则 ? a

所以,当

0?a?

1 2 或 a ? 5 时,方程在 C 上有解,且有唯一解。

【思路点拨】利用二次函数求结果,复合函数求参数 a.

【题文】21.(本题满分 12 分)

P ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是 曲 线 C : 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y 2 ) 、 … 、 n 如图, P y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai ,0)( i ? 1,2,3?n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是
正三角形(

A0 是坐标原点) .

(1)写出 a1 、 a2 、 (2)求出点

a3 ;

An (a n ,0) ( n ? N? )的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.

【知识点】单元综合 D5 【答案解析】 (1) (1)

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; (2) an ? n(n ? 1), (n ? N ? )

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12;

(2)依题意,得

xn ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 , yn ? 3 ? n y 2 ? 3 ? xn 得 2 2 ,由此及 n

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) (a ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 2 2 ,即 n
an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) .

由(Ⅰ)可猜想:

下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
2 得 [ak ?1 ? k (k ? 1)] ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得 ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) , 即当 n ? k ? 1 时,命题成立.由(1) 、 (2)知:命题成立. 【思路点拨】构造新数列求出表达式,利用数学归纳法证明结论。

【题文】22.(本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx 2 .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

7 b? x , x ( x ? x ) 2 是函数 g ( x ) 的两个极值点,若 2 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. (Ⅲ)设 1 2 1
【知识点】导数的应用 B12

15 【答案解析】 (1)1(2)b>3(3) 8 -2ln2 a (1)∵f(x)=x+alnx,∴f′(x)=1+ x ,
∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直,∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,解得 a=1.

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x (2)∵g(x)=lnx+ 2 x2-(b-1)x,∴g′(x)= ,x>0, 1 由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解,即 x+ x +1-b<0 有解, 1 1 1 ∵定义域 x>0,∴x+ x ≥2,x+ x <b-1 有解,只需要 x+ x 的最小值小于 b-1,
∴2<b-1,解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}.

1 (3)∵g(x)=lnx+ 2 x2-(b-1)x,

x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ∴g′(x)= =0,∴x1+x2=b-1,x1x2=1

x1 1 x1 x2 x x x ∴g(x1)-g(x2)=ln 2 - 2 ( 2 - 1 ) x1 1 1 x ∵0<x1<x2,∴设 t= 2 ,0<t<1,令 h(t)=lnt- 2 (t- t ) ,0<t<1,
(t ? 1) 2 2 则 h′(t)=- 2t <0,∴h(t)在(0,1)上单调递减,

7 25 又∵b≥ 2 ,∴(b-1)2≥ 4 , 1 1 15 ∵0<t<1,∴4t2-17t+4≥0,∴0<t< 4 ,h(t)≥h( 4 )= 8 -2ln2, 15 故所求的最小值为 8 -2ln2.
【思路点拨】 (1)求导数,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值.

1 (2) ) ,由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解即 x+ x +1-b<0 有解,由此能求出实数 b
的取值范围.

x1 1 x1 x2 x x x ,由此利用构造成法和导数性质能求出 g(x1) (3)g(x1)-g(x2)=ln 2 - 2 ( 2 - 1 )
-g(x2)的最大值.


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