江苏省盱眙中学2013届高三上学期第二次月考数学试题


说明:1.测试时间:120 分钟

总分:150 分

2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要 求的) 1.已知定义在R上的函数 y ? f (x ) 满足下列三个条件: ①对于任意的x ? R都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ②对于任意的

0 ? x1 ? x2 ? 2都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于y轴对称,则下列结论正确的是 A. f (6.5) ? f (5) ? f (15.5) C. f (5) ? f (15.5) ? f (6.5) B. f (5) ? f (6.5) ? f (15.5) D. f (15.5) ? f (5) ? f (6.5)

2.关于直线 l,m 及平面α ,β ,下列命题中正确的是 A.若l∥α ,α ∩β =m,则l∥m B.若l∥α ,m∥α ,则l∥m C.若l⊥α ,l∥β ,则α ⊥β D.若l∥α ,m⊥l,则m⊥α 3.对于命题 p 和命题 q , p ? q 为真命题”的必要不充分条件是 “ A. p ? q 为假命题 C. p ? q 为真命题 4.已知 a>l, f ( x) ? a A. C.
x2 ? 2 x

B. (?p) ? (?q) 为假命题 D. (?p) ? (?q) 为真命题

, 则使, f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是
B. D.

?1 ? x ? 0

?2 ? x ? 1

?2 ? x ? 0
2

0 ? x ?1

5.下列命题中是假命题的是

f ( x) ? (m ?1) xm A. ?m ? R ,使
B.

? 4 m ?3

是幂函数,且在(0,+∞)上递减;

?x ? (0, ??), ex ? x ? 1;
cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? ;

C. ?? , ? ? R, 使 D.

?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数

6.设平面向量 A. B. C.

,若

,则 D. 3
[来源:学。科。网]

等于

7.设 P,Q 为△ABC 内的两点,且 AP ? 积与△ABQ 的面积之比为

??? ?

? ? 5 ??? 1 ???? ???? 2 ??? 1 ???? AB ? AC , AQ ? AB ? AC ,则△ABP 的面 2 5 3 4

5 A. 8
8. 下列表示① A.1 9.函数 B.2

3 B. 5
② C.3 D.4 ③

5 C. 4


4 D. 5
中,正确的个数为( )

f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x ?1 ,给出下列四个命题
? 5?
8 , 8 ] 上是减函数;

①函数在区间 [ ②直线 x ?

?
8

是函数图象的一条对称轴;

③函数 f ( x ) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移 ④若 x ? [0,

?
2

? 而得到; 4

] ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2]
C.3 D.4

其中正确命题的个数是 A.1 B.2 10.直线 A.

2 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是

| b |? 2

B. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? D. 2 ? b ? 1
2

2

C. ?1 ? b ? 2
2

11.若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作 的切线长的最小值是 A.2 B.3

C.4

D. 6

12.已知正方形 APP2 P 的边长为 4,点 B, C 位边 P P2 , P2 P 的中点,沿 AB , BC , CA 折叠成一个三棱锥 1 3 1 3

P ? ABC (使 P , P2 , P3 重合于点 P ) ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球表面积为 1
A. 24? B. 12? C. 8? D. 4?

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 是

?1n( x ? 1), x ? 0 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x, x ? 0
.

若函数 g ( x) ? f ( x)? m有 3 个零点,则实数 m 的取值范围

14.若 a,b,c 是直角△ABC 的三边的长(c 为斜边),则圆 M:x +y =4 截直线 l:ax+by+c=0 所得的弦长 为________. 15.设

2

2

e| x| ? sin x ? 1 f ( x) ? 在 [?m, m](m ? 0) 上的最大值为 p,最小值为 q,则 p+q= e| x| ? 1



16.设 X n

? {1,2,3?n}(n ? N * ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素,当 A 取遍 X n
, Sn = 。

的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 S,则 S2 = 三、解答题 17.已知数列 分) 是首项为 ,公比

的等比数列,且

成等差数列,求公比 的值。 (4

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4Sn ? an ? 1(n ? N* ) . (1)求 a1 , a 2 ; (2)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

19. 本小题满分 12 分) ( 在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2, AB=1, G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得 恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小; (3)求点 G 到平面 BCE 的距离.

20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1) ,且方向向量 a ? (1, k )的直线l与 ? C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1,相交于 M、N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON

?

???? ???? ?

???? ???? ?

? 12, 求k的值 .

21.(本小题满分 12 分)已知函数 g ( x ) ?

1 ? ln x在 ?1, ?? ? 上为增函数,且 ? ? (0, ? ) , x ? sin ?

f ( x) ? mx ?

m ? 1 ? 2e ? ln x , m ? R . x

(1)求 ? 的值; (2)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (3)若在 [1, e] 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. 选考题(请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分)

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,∠BAC 的平分线 与 BC 和外接圆分别相交于 D 和 E,延长 AC 交过 D、E、C 三点的圆于点 F。 (Ⅰ)求证: EF 2 ? ED ? EA ; (Ⅱ)若 AE ? 6, EF ? 3 ,求 AF ? AC 的值。

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知极点与原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C 1 的极坐标方程为:5? ? 3? cos 2? ? 8 ? 0 ,
2 2

? x ? 1 ? 3t ? 直线的参数方程为: ? (为参数).(Ⅰ)求曲线 C 1 的直角坐标方程; ?y ? t ?
(Ⅱ)直线上有一 定点 P(1, 0) ,曲线 C 1 与交于 M,N 两点,求 PM . PN 的值.
[来源:Z+xx+k.Com]

24 .(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ?x-1?,g(x)= - ?x+3? + a (a?R) (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g ( x) ? 6 ; (Ⅱ)若函数 y ? 2 f ( x) 的图像恒在函数 y ? g ( x) 的图像的上方,求实数 a 的取值范围。

[来源:学.科.网]

参考答案
一、 选择 题

二、填空题 13、 (0,1) 14、2 3 15、 2 16、 S2 ? 5, Sn ? (n ?1)2n ? 1 ,

13、解析:由数形结合可得 m ? (0,1) . 15 、 解 析 : f ( x )?
x sin x e ?s i n ? 1 x sx n i ? 1 x ? , 设 g ( x) ? ? x , 可 知 g ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 x e ?1 e ?1 e ?1

p ? q ? 2 ? g ( x)max ? g ( x)min ? 2 .

三、解答题

18、解:解答: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1 , ∴ a1 ?

1 ,?2 分 3
1 ; 9
??5 分

又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 4(a1 ? a2 ) ? a2 ? 1 ,∴ a2 ? ? (2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (an ? 1) ? (a n ?1 ?1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易证数列各项不为零(注:可不证) , 故有

an 1 1 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立,∴ ?an ? 是首项为 ,公比为 ? 的等比数列, an ?1 3 3 3
1 1 n ?1 (? ) ? (?1) n ?1 3? n , 3 3
???10 分 ???12 分

∴ an ?

∴ bn ? log3 | an |? log3 3?n ? ?n .

19、解法一:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过点 A 和点 E, 则 各 点 的 坐 标 为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0) , E (0, 0, 2) ,

B (2, 0, 1)



C (1, 3, 0) ,
(1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 B F G C y

z
E

x A

D

1 3 F( , , 1) , 2 2

??? ? 3 3 , 0) , ∴ BF ? (? , 2 2
显然 BF 与平面 xOy 平行,此即证得 BF∥平面 (2)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 n ? CB ,且 n ? CE ,

??? ?

ACD; ???4 分

?

?

??? ?

?

??? ?

[来源:Zxxk.Com]

由 CB ? (1, ? 3,1) , CE ? (?1, ? 3, 2) , ∴?

??? ?

??? ?

?x ? 3y ? z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?

,不妨设 y ?

? ?x ? 1 ,即 n ? (1, 3, 2) , 3 ,则 ? ?z ? 2
???8 分

? n ? (0,0,1) 2 ? ∴所求角 ? 满足 cos ? ? ,∴ ? ? ; ? ? 2 4 |n|
??? ?

(3)由已知 G 点坐标为(1,0,0) ,∴ BG ? (?1,0, ?1) , 由(2)平面 BCE 的法向量为 n ? (1, 3, 2) ,

[来源:学.科.网]

?

??? ? ? BG ? n 3 ∴所求距离 d ?| ? |? 2. 4 |n|

?????12 分

解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

??2 分

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,?BF // 平面 ACD;??4 分 (2)由已知条件可知 ?ACD 即为 ?BCE 在平面 ACD 上的射影,

设所求的二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

S?ACD , ?????6 分 S?BCE

易求得 BC=BE ? 5 ,CE ? 2 2 , ∴ S?BCE ?

1 CE | CE | ? BE 2 ? ( )2 ? 6 , 2 2
3 | AC |2 ? 3 , 4

而 S?ACD ?

∴ cos ? ? ∴? ?

? S?ACD 2 ,而 0 ? ? ? , ? 2 S?BCE 2
??8 分

?
4



(3)连结 BG、CG、EG,得三棱锥 C—BGE, 由 ED ? 平面 ACD,∴平面 ABED ? 平面 ACD , 又 CG ? AD ,∴ CG ? 平面 ABED, 设 G 点到平面 BCE 的距离为 h ,则 VC ? BGE ? VG? BCE 即 S ?BGE ? GC ? 由 S ?BGE ?

1 3

1 S ?BCE ? h , 3

3 , S?BCE ? 6 , CG ? 3 , 2

3 3 S?BGE ? GC 2 3 ? ? 2 即为点 G 到平面 BCE 的距离。...12 分 ∴h ? S?BCE 4 6

(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得

(1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0
? x1 +x2 = 4(1+k 2 ) 7 , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2
? 4k(1+k ) ? 4, 解得k ? 1 1? k 2

???? ???? ? 4k(1+k ) ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 1? k 2

又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 ...........12 分
/ 21.解: (1)由已知 g ( x) ? ?

1
2

sin ? ? x sin ? ? x ? 1 ? 0 ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? 0 , 即 sin ? ? x 2

?

1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x

故 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,只需 sin ? ? 1 ? 1 ? 0 ,

即 sin ? ? 1 ,∴只有 sin ? ? 1 ,由 ? ? (0, ? ) 知 ? ? (2)∵ m ? 0 ,∴ f ( x) ? ?

?
2

; ???3 分

?1 ? 2e ? ln x , x ? (0, ??) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x / ? ? ∴ f ( x) ? , x2 x x2

∴ x , f ( x ) 和 f ( x ) 的变化情况如下表: 即函数的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, ??) , 有极大值 f (2e ? 1) ? ?1 ? ln(2e ? 1) ; (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ? ?????8 分

/

m ? 2e ? 2ln x , x m 2e ? 0, 当 m ? 0 时,由 x ? [1, e] 有 mx ? ? 0 ,且 ?2 ln x ? x x
∴此时不存在 x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立;
/ 当 m ? 0 时, F ( x) ? m ?

m ? 2e 2 mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? , x x2 x2

2 / ∵ x ? [1, e] ,∴ 2e ? 2 x ? 0 ,又 mx ? m ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,

故 F ( x ) 在 [1, e] 上单调递增,∴ F ( x) max ? F (e) ? me ?

m ?4, e

m 4e ? 4 ? 0 ,则 m ? 2 , e e ?1 4e , ??) . 故所求 m 的取值范围为 ( 2 e ?1
令 me ?

???12 分

22. (本小题满分 10 分)

解: (Ⅰ)如图,连接 CE,DF。 ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC??2 分 在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE。 ∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED, ∴Δ AEF∽Δ FED, ∴ ∴ EF ? ED ? EA ??5 分
2

EF AE ? , ED EF

要证明角度相等,找中间角度作为桥梁。 要证明 EF ? ED?EA ,可以把乘法变为除法,变为:
2

EF EA EF ED ? 或者 ? ,于是得到“分子三角形 ED EF EA EF

和分母三角形” :

?EFA ?EFD 或者 。这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形。这样就可以做出 ?EFD ?EFA

辅助线,构造相似三角形。 另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确。从求证出发,向已知进行靠拢。

EA (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EF ? ED ? ∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2??8 分
2

∴ACAF=ADAE= 6 ? 9 ? 2 =27??????????????10 分 23. (本小题满分 10 分)

(Ⅱ) 把直线的参 数方程代入到曲线 C 1 的直角坐标方程,得 7t ? 2 3t ? 3 ? 0 ??8 分
2

得到 t1t 2 ? ?

3 12 .由的几何意义知 PM . PN ? (2t1 ).(2t2 ) ? ? ???? 10 分 7 7


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