选修2-1椭圆的几何性质练习题[1]

高中数学选修 2-1

第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 002
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椭圆的简单几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

顶点

轴长 焦点 焦距 离心率

长轴长=

,短轴长=



x2 1.若椭圆 2+y2=1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则椭圆的离心率为( a A. 3 2 1 B. 2 C. 2 2 D. 5 2

)

1 2.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆的方程是( 3 x2 y2 A. + =1 144 128 x2 y2 B. + =1 36 20 x2 y2 C. + =1 32 36 x2 y2 D. + =1 36 32

)

3.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 点坐标.

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶 2

1

4.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 5 ; 5 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-4).

5.F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30° .试求椭圆的 离心率.

6.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为 P.若 △F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.

7.若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 方程是( ) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 C. + =1 81 45 x2 y2 D. + =1 81 36 x2 y2 A. + =1 81 72

8.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦点在 x 轴上, 且 a-c= 3,则椭圆的方程是________.

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第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 002

x2 y2 3a 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一 a b 2 点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|, 3 3 ∴2( a-c)=2c,∴3a=4c,∴e= . 2 4 答案:C x2 y2 10 4.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( 5 m 5 A.3 C. 5 25 B.3 或 3 D. 15或 5 15 3 )

解析:由椭圆的标准方程,易知 m>0 且 m≠5. ①若 0<m<5,则 a2=5,b2=m. m 10 2 3 由 =1-( ) = ,得 m=3. 5 5 5 ②若 m>5,则 a2=m,b2=5. 5 10 2 3 25 由 =1-( ) = ,得 m= . m 5 5 3 25 所以 m 的值为 3 或 . 3 答案:B 5.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦点在 x 轴上, 且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. 解析:如图所示, |OF2| cos∠OF2A=cos 60° = , |AF2| c 1 即 = .又 a-c= 3, a 2 ∴a=2 3,c= 3, ∴b2=(2 3)2-( 3)2=9. x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9

3

x2 y2 答案: + =1 12 9 x2 y2 6.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于 a b ________. 解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上, ∴在直线 x+2y-2=0 中, 令 y=0 得 c=2;令 x=0 得 b=1. c 2 5 ∴a= b2+c2= 5.∴e= = . a 5 2 5 答案: 5 7.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐 2 标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c,则 2 F1(-c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3 焦 点 为

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b b2 5 ∴e2= 2= 2 =1- 2= , a a a 9

∴e=

5 . 3

法二:设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 2 则 M(c, b). 3 c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9

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c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3

第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 002

参考答案

椭圆的简单几何性质: 焦点的位 置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

顶点

轴长 焦点 焦距

长轴长=

,短轴长=



离心率

x2 1.若椭圆 2+y2=1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则椭圆的离心率为( a A. 3 2 1 B. 2 C. 2 2 D. 5 2

)

解析:由椭圆方程知长轴长为 2a,短轴长为 2, ∴2a=2×2=4,∴a=2,∴c= c 3 22-12= 3,∴e= = .答案:A a 2 3 , 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 焦点坐标、 2

2. 已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 顶点坐标.
5

x2 y2 解:椭圆方程可化为 + =1. m m m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> , m+3 m+3 m+3 m 即 a2=m,b2= ,c= m+3 由 e= 3 得 2 a2-b2= m?m+2? . m+3

m+2 3 = ,∴m=1. 2 m+3

y2 ∴椭圆的标准方程为 x2+ =1. 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1; 两焦点分别为 F1(- 四个顶点分别为 1 1 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2 3 3 ,0),F2( ,0); 2 2

1 3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆的方程是( 3 x2 y2 A. + =1 144 128 x2 y2 B. + =1 36 20 x2 y2 C. + =1 32 36 x2 y2 D. + =1 36 32

)

c 1 解析:由题意 2a=12,∴a=6.又 e= = , a 3 x2 y2 ∴c=2,∴b2=62-22=32,∴椭圆方程是 + =1. 36 32 答案:D 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-4). x2 y2 5 5 解:(1)将方程 4x2+9y2=36 化为 + =1,可得椭圆焦距为 2c=2 5.又因为离心率 e= ,即 = 9 4 5 5 5 ,所以 a=5,从而 b2=a2-c2=25-5=20. a x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,则其标准方程为 + =1; 25 20 5 ; 5

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第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 002

y2 x2 若椭圆焦点在 y 轴上,则其标准方程为 + =1. 25 20 (2)依题意 2a=2· 2b,即 a=2b. x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b a=2b, 2 ? ? ? ?a =68, ? 则有? 4 16 解得 2 ?b =17, ? ?a2+ b2 =1. ? x2 y2 所以标准方程为 + =1. 68 17 若椭圆焦点在 y 轴上, y2 x2 设其标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b a=2b, ? ?a2=32, ? ? 则有?16 4 解得? 2 ? ?b =8. ? ? a2 +b2=1, x2 y2 所以标准方程为 + =1. 8 32

[例 3] F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30° .试求椭圆 的离心率. [思路点拨] 通过已知条件 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30° ,得到 Rt△MF1F2 中边的关系,结合椭圆的定 义建立参数 a,b,c 之间的关系,进而求出椭圆的离心率. [精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c.因为 MF2⊥F1F2,所以△MF1F2 为直 角三角形. 又∠MF1F2=30° ,所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|= 而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a, 因此|MF1|= ∴2c= 4a 2a ,|MF2|= , 3 3 3 |MF1|. 2

3 4a c 3 × ,即 = , 2 3 a 3 3 . 3

即椭圆的离心率是

x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 a b y 轴于点 P.若 A P =2 PB ,则椭圆的离心率是( A. 3 2 B. 2 2
7

??? ?

??? ?

) 1 C. 3 1 D. 2

解析:∵ A P =2 PB ,∴| A P |=2| PB |. |PA| |AO| 2 又∵PO∥BF,∴ = = , |AB| |AF| 3 即 a 2 c 1 = ,∴e= = . a 2 a+c 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

答案:D 6.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为 P.若 △F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________. 解析:由题意知 PF2⊥F1F2,且△F1PF2 为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|= 2· 2c, 2c 1 从而 2a=|PF1|+|PF2|=2c( 2+1),所以 e= = = 2-1. 2a 2+1 答案: 2-1

1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( A.(± 13,0) C.(0,± 13) B.(0,± 10) D.(0,± 69)

)

解析:由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10, 则 c= a2-b2= 69,故焦点坐标为(0,± 69). 答案:D 2.若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 方程是( ) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 C. + =1 81 45 x2 y2 D. + =1 81 36 x2 y2 A. + =1 81 72

1 1 解析:由已知得 a=9,2c= · 2a,∴c= a=3. 3 3 x2 y2 又焦点在 x 轴上,∴椭圆方程为 + =1. 81 72 答案:A x2 y2 3a 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一 a b 2 点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|, 3 3 ∴2( a-c)=2c,∴3a=4c,∴e= . 2 4 答案:C
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第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 002
)

x2 y2 10 4.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( 5 m 5 A.3 C. 5 25 B.3 或 3 D. 15或 5 15 3

解析:由椭圆的标准方程,易知 m>0 且 m≠5. ①若 0<m<5,则 a2=5,b2=m. m 10 2 3 由 =1-( ) = ,得 m=3. 5 5 5 ②若 m>5,则 a2=m,b2=5. 5 10 2 3 25 由 =1-( ) = ,得 m= . m 5 5 3 25 所以 m 的值为 3 或 . 3 答案:B 5.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦点在 x 轴上, 且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. 解析:如图所示, |OF2| cos∠OF2A=cos 60° = , |AF2| c 1 即 = .又 a-c= 3, a 2 ∴a=2 3,c= 3, ∴b2=(2 3)2-( 3)2=9. x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9 x2 y2 答案: + =1 12 9 x2 y2 6.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于 a b ________. 解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上, ∴在直线 x+2y-2=0 中, 令 y=0 得 c=2;令 x=0 得 b=1. c 2 5 ∴a= b2+c2= 5.∴e= = . a 5 2 5 答案: 5 7.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐
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2 标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c,则 2 F1(-c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3 焦 点 为

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b b2 5 ∴e2= 2= 2 =1- 2= , a a a 9

∴e=

5 . 3

法二:设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 2 则 M(c, b). 3 c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9 c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3

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