正弦余弦定理应用举例课件 PPT_图文

一、正弦定理 a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C S? ? 1 absin C 2 ? 1 bc sin A 2 BA ? 1 ac sin B 2 CA b a c BC 正弦定理应用的两种类型: 1)知两角和任一边,求其它的两边和一角 2)知两边和其中一边的对角,求另一边和角 三角形的一些基本性质 1)在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180° 2)大边对大角,即 a>b ∠A>∠B C b a A c B 二、余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cosA b2 ? a2 ? c2 ? 2accosB c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC b2 ? c2 ? a2 cosA ? 2bc cosB ? a2 ? c2 ? b2 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab 利用余弦定理可解决两类解三角形问题 (1)知三边求三角 CA (2)知两边和它们的夹角,求第三边, b a 进而可求其它的角 BA c BC 距离 高度 角度 正弦定理和余弦定理 在实际问题中的应用 工具:经纬仪,钢卷尺 等测量角和距离 解三角形的应用---实地测量举例 想一想: 如何测定河两岸两点A、 B间的距离? A B 解三角形的应用---实地测量举例 想一想: 如何测定河两岸两点A、 B间的距离? 在B的同一侧选定一点C A αC β B 例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出 AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB=75o, 求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形 AB = AC sin C sin B 解:根据正弦定理,得 AB ? AC sin ?ACB sin ?ABC AB ? AC sin ?ACB ? 55sin ?ACB sin ?ABC sin ?ABC ? 55sin 75? sin(180? ? 51? ? 75? ) ? 55sin 75? sin 54? ? 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米。 解三角形的应用---实地测量举例 为了测定河对岸两点A、B间的 距离。 在岸边选定基线CD. B D A C 例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。 分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。 例2 如图,为了测量河对岸A、B两点间 的距离,在河的这边测定CD ? 3 千米, A 2 ?ADB ? ?CDB ? 30?,?ACD ? 60?, ?ACB ? 45?,求AB两点的距离. D 30° 30° B 45° 60° C 解法: 1. 在△BDC中求BC 2. 在△ABC中求AB 注意: 在例题中我们根据测量需要适当确定 的线段叫做基线. 在测量过程中,要根据实际需要选取合 适的基线长度,使测量具有较高的精确度. 解应用题的基本思路 实际问题 实际问题的解 抽象概括 示意图 还原说明 数学模型 推演 理算 数学模型的解 小结:求解三角形应用题的一般步骤: 1.审题(分析题意,弄清已知和所求, 根据题意,画出示意图; 2.建模(将实际问题转化为解斜三角形 的数学问题) 3.求模(正确运用正、余弦定理求解) 4.还原。 例题3:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A的俯 角? ? 60 ,在塔底 C处测得点 A 的俯角? ? 45 , 已知铁塔BC部分高 32 米,求山高CD。 解 : 在 △ ABC 中 , ∠ ABC= 30°,∠ACB =135°, ∴∠CAB =180-(∠ACB+∠ABC) =180°-(135°+30°)=15° 又BC=32, 由正弦定理 BC ? AC , sin ?BAC sin ?ABC 得 AC ? BC sin ?ABC ? 32sin 30? ? 16 sin ?BAC sin15? sin15? 例题3:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A的俯 角? ? 60 ,在塔底 C处测得点 A 的俯角? ? 45 , 已知铁塔BC部分高 32 米,求山高CD。 在等腰Rt△ACD中,故 CD ? 2 AC ? 2 ? 16 ? 8 2 ? 16( 3 ? 1) 2 2 sin15? sin15? ∴山的高度为16( 3 ? 1) 米。 练习1.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). (1)什么是最大仰角? (2)练习题中涉及一个怎样的三角 形? 在△ABC中已知什么,要求什么? 最大角度 C A B 练习1.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC. 解:由余弦定理,得 最大角度 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ?1.402 ? 2 ?1.95?1.40 ? cos 66?20? ? 3.571 ?BC ? 1.89(m) 答:顶杆BC约长1.89m。 A C B 例4、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北

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