国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第30届)

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 30 届)
1. 试证明集合{1,2,...,1989}可以分拆成 117 个子集合 A1,A2,...,A117 (即这些 子集合互不相交且并集为整个集合) ,满足每个 Ai 包含 17 个元素,并且每个 Ai 中元素 之和都相等. 2. 锐角△ABC, 内角∠A 的角平分线交△ABC 的外界圆于 A_1, 类似定义 B1, 1 点. C 设 AA1 与∠ B,∠C 的外交平分线交于 A0 点,类似定义 B0,C0 点. 求证:△A0B0C0 的面积是六边形 AC1BA1CB1 的 两倍也是△ABC 面积的至少 4 倍. 3. 设 n,k 是正整数,S 是由平面上 n 个点构成的集合并且无三线共点,对任何 S 中的 点 P 至少存在 S 中的 k 个点与 P 等距离. 求证: k<1/2+ 2n .

4. 凸四边形 ABCD 的边 AB,AD,BC 满足 AB=AD+BC,四边形内部有一与直线 CD 距离为 h 的点 P,并且 AP=h+AD,BP=h+BC, 求证:1/ h <=1/ AD +1/ BC .

5. 试证明对每个正整数 n,存在 n 个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂. 6. 设{x1, 2, xm} 是{1, ..., x ..., 2, 2n}的一个排列, 其中 n 是一个正整数. 如果|xi-xi+1|=n 对至少 {1,2,...,2n-1}中的一个 i 成立就说这个排列{x1,x2,...,xm}具有性质 P. 试 证明对于任意的 n,具有性质 P 的排列都比不具有的多.

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