三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课时跟踪检测理

课时跟踪检测(十三)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快
2

导数的概念与计算

1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为________. 解析:∵f(x)=(x+2a)(x-a) =x -3a x+2a , ∴f′(x)=3(x -a ). 答案:3(x -a ) 2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)= ________. 1 解析:由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ .
2 2 2 2 2 3 2 3

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案:-1 3.(2016·徐州一中检测)曲线 y=f(x)=x(x-1)(x-2)·…·(x-6)在原点处的切线 方程为________. 解析:y′=(x-1)(x-2)·…·(x-6)+x[(x-1)·(x-2)·…·(x-6)]′,所以

f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)×(-6)+0=720.故切线方程为 y=720x.
答案:y=720x 4.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点 (2,7),则 a=________. 解析:∵f′(x)=3ax +1, ∴f′(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 答案:1 5.已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l 与直线 4x-y-1=0 平行,且点 P0 在第三 象限,则点 P0 的坐标为________. 解析:设 P0(x0,y0). 由 y=x +x-2,得 y′=3x +1. 由已知,得 3x0+1=4,解得 x0=±1. 当 x0=1 时,y0=0; 当 x0=-1 时,y0=-4. 又点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). 答案:(-1,-4)
1
2 3 2 3 2 3

?二保高考,全练题型做到高考达标 3 2 1.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t + (t 的单位:s,s 的单位:m),则它在第

t

4 s 末的瞬时速度为________ m/s. 3 解析:∵s′=2t- 2,∴在第 4 s 末的瞬时速度 v=s′|

t

t=4

3 125 =8- = m/s. 16 16

125 答案: 16 2.(2015·苏州二模)已知函数 f(x)=(x +2)(ax +b),且 f′(1)=2,则 f′(-1)= ________. 解析:f(x)=(x +2)(ax +b)=ax +(2a+b)x +2b,f′(x)=4ax +2(2a+b)x 为奇 函数,所以 f′(-1)=-f′(1)=-2. 答案:-2 3.已知 f(x)=x(2 015+ln x),若 f′(x0)=2 016,则 x0=________. 1 解析:f′(x)=2 015+ln x+x· =2 016+ln x,故由 f′(x0)=2 016 得 2 016+ln
2 2 4 2 3 2 2

x

x0=2 016,则 ln x0=0,解得 x0=1.
答案:1 2 3 4.(2016·金陵中学模拟)设点 P 是曲线 y=x - 3x+ 上的任意一点,P 点处切线倾 3 斜角 α 的取值范围为________. 解析:因为 y′=3x - 3≥- 3,故切线斜率 k≥- 3,所以切线倾斜角 α 的取值
2

? π ? ?2π ,π ?. 范围是?0, ?∪? ? 2? ? 3 ? ? ? π ? ?2π ,π ? 答案:?0, ?∪? ? 2? ? 3 ? ?
1 2 7 5.已知 f(x)=ln x,g(x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相 2 2 切,且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 的值为________. 1 解析:∵f′(x)= ,

x

∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0, ∴切线 l 的方程为 y=x-1.

g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0),
1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x0+mx0+ ,m<0, 2 2
2

于是解得 m=-2. 答案:-2 6.(2016·太原一模)函数 f(x)=xe 的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________. 解析: ∵f(x)=xe , ∴f(1)=e,f′(x)=e +xe , ∴f′(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 y= 2ex-e. 答案:y=2ex-e 7.(2015·无锡调研)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=
x x x x

kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, 令 g(x)=xf(x), 其中 g′(x)
是 g(x)的导函数,则 g′(3)=________. 1 解析:由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- , 3 1 即 f′(3)=- . 3 又因为 g(x)=xf(x), 所以 g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),

? 1? 由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+3×?- ?=0. ? 3?
答案:0 8.设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c 是两两不等的常数),则

a + f′?a?

b c + =________. f′?b? f′?c?
解析:∵f(x)=x -(a+b+c)x +(ab+bc+ca)x-abc, ∴f′(x)=3x -2(a+b+c)x+ab+bc+ca,
2 3 2

f′(a)=(a-b)(a-c), f′(b)=(b-a)(b-c), f′(c)=(c-a)(c-b).
∴ = =

a b c + + f′?a? f′?b? f′?c?
+ + ?a-b??a-c? ?b-a??b-c? ?c-a??c-b?

a

b

c

a?b-c?-b?a-c?+c?a-b? =0. ?a-b??a-c??b-c?

答案:0

3

9.求下列函数的导数. (1)y=x·tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 解:(1)y′=(x·tan x)′=x′tan x+x(tan x)′
2 2 sin x? cos x+sin x ? =tan x+x·? ?′=tan x+x· cos2x ?cos x?

=tan x+ 2 . cos x (2)y′=(x+1)′[(x+2)(x+3)]+(x+1)[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+ 1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x +12x+11. 10.已知曲线 y=f(x)= -1(a>0)在 x=1 处的切线为 l,求 l 与两坐标轴所围成的三 角形的面积的最小值. 1 ? 1 ? 解:因为 f(1)= -1,所以切点为?1, -1?.
2

x

x2 a

a

?

a

?

2x 2 由已知,得 f′(x)= ,切线斜率 k=f′(1)= ,

a

a

?1 ? 2 所以切线 l 的方程为 y-? -1?= (x-1), ?a ? a
即 2x-ay-a-1=0. 令 y=0,得 x=

a+1
2

;令 x=0,得 y=-

a+1 . a

1 a+1 a+1 1 ? 1? 1 1 所 以 l 与两 坐标 轴所围成 的三 角形 的面 积 S = × × = ?a+ ? + ≥ 2 2 a 4 ? a? 2 4 ×2

a× + =1,当且仅当 a= ,即 a=1 时取等号,所以 Smin=1. a 2 a
故 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为 1. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知曲线 C:f(x)=x -ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它
3

1

1

1

们的倾斜角互补,则 a 的值为________. 解析: 设切点坐标为(t, t -at+a).由题意知,f′(x)=3x -a,切线的斜率 k=y′|
x=t
3 2

=3t -a ①,所以切线方程为 y-(t -at+a)=(3t -a)(x-t) ②.将点 A(1,0)代入

2

3

2

3 3 3 2 ②式得-(t -at+a)=(3t -a)(1-t),解得 t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入①式, 2 2 27 27 得 k=-a 和 k= -a,由题意得它们互为相反数,故 a= . 4 8

4

27 答案: 8

?π ? ?π ? 2 .(2016·无锡一中检测 ) 已知函数 f(x) = f′ ? ? cos x + sin x ,则 f ? ? 的值为 4 ? ? ?4?
________.

?π ? 解析:∵f(x)=f′? ?cos x+sin x, ?4? ?π ? ∴f′(x)=-f′? ?sin x+cos x, ?4?
2 2 ?π ? ?π ? ∴f′? ?=-f′? ?× + , 2 ?4? ?4? 2

?π ? ∴f′? ?= 2-1. ?4?
2 2 ?π ? 故 f? ?=( 2-1)× + =1. 2 2 ?4? 答案:1 3.(2016·苏北四市调研)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形 的面积为定值,并求此定值. 解:(1)f′(x)=a+ 2. ∵点(2,f(2))在切线 7x-4y-12=0 上, 2×7-12 1 ∴f(2)= = . 4 2 又曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0, 7 ? ?f′?2?=4, ∴? 1 ? ?f?2?=2

b x

b x

b 7 ? ?a+4=4, ?? b 1 ? ?2a-2=2 x

??

? ?a=1, ?b=3. ?

3 ∴f(x)的解析式为 f(x)=x- . 3? ? (2)设?x0,x0- ?为曲线 y=f(x)上任意一点,

?

x0?

3 则切线的斜率 k=1+ 2,

x0

5

3? ? 3? ? 切线方程为 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0), x x

?

0

? ?

0

?

6 令 x=0,得 y=- .

x0

3? ? 3? ? ?y-? ?x0-x0?=?1+x2 ??x-x0?, 0? ? ? ? 由? ? ?y=x,

得?

? ?x=2x0, ?y=2x0. ?

∴曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积 S 1 ? 6? = |2x0|?- ?=6,为定值. 2 ? x0?

6


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